专题01 高二下学期期中真题精选（数列+导数及其应用）（考题猜想，常考17大题型）高二数学下学期北师大版

专题01 高二下学期期中真题精选 （北师大版2019选择性必修第二册第一章数列+第二章导数及其应用）（考题猜想，常考17大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算（高频） · 题型二 等差（比）数列角标和性质（高频） · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质（高频） · 题型五 数列求通项（重点） · 题型六 数列求和之分组求和法（高频） · 题型七 数列求和之裂项相消法（重点） · 题型八 数列求和之错位相减法（重点） · 题型九 导数的定义 · 题型十 借助导数求切线 （易错） · 题型十一 导数的四则运算 （易错） · 题型十二 利用导数求函数（不含参）的单调区间（易错） · 题型十三 由函数在区间上的单调性求参数（难点） · 题型十四 函数与导数图象之间的关系 · 题型十五 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（难点） · 题型十六 函数的极值问题（重点） · 题型十七 函数的最值问题（重点） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共7小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，若，则为（    ） A．20 B．27 C．29 D．32 2．（23-24高三上·北京西城·期中）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升,上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是 升（结果保留分数） 3．（23-24高二下·北京·期中）已知为等差数列，其公差，且成等比，则 ， . 4．（24-25高三上·北京·期中）已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比 . 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则公比 ，数列的前4项的和为 ． 6．（23-24高二下·北京·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则数列公比为 . 7．（24-25高三上·北京·期中）已知等差数列满足. (1)求的通项公式; (2)若等比数列，求的通项公式; 题型二、等差（比）数列角标和性质（共5小题） 1．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（    ） A．8 B．6 C．4 D． 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 4．（23-24高二下·山东日照·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（   ） A．7 B．8 C．或8 D． 5．（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列是等差数列，，，则的值为 ． 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共5小题） 1．（24-25高三上·北京·期中）已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 2．（23-24高二下·北京大兴·期中）设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为 ． 3．（23-24高二下·北京·期中）已知等差数列共有20项，各项之和，首项 (1)求数列的公差； (2)求第20项 4．（23-24高二下·北京西城·期中）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值． 5．（23-24高三上·北京丰台·期中）在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，． (1)求和； (2)设，记，求． 题型四、等差（比）数列前项和性质（共5小题） 1．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 2．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．27 B．45 C．81 D．18 3．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（22-23高二上·北京·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 . 5．（24-25高三上·山东日照·期中）已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则 ． 题型五、数列求通项（共10小题） 1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京·期中）设为数列的前项和，若，则 . 7．（22-23高二下·北京·期中）数列中，若，，则 . 8．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 9．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 10．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； 题型六、数列求和之分组求和法（共5小题） 1．（24-25高三上·北京通州·期中）已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前项和． 2．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 3．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，且. (1)求的值并证明是等比数列； (2)求数列的通项公式和数列的前项和； (3)求. 4．（23-24高二下·北京·期中）已知无穷等比数列的各项均为整数，. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和，并求出的最小值. 5．（23-24高二下·北京·期中）已知等差数列中，，______，其中，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 从①，②，③前项和，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型七、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（22-23高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若满足，求数列的前项和公式. 2．（22-23高二下·北京昌平·期中）在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式和前n项和； (2)设，求数列的前n项和公式． 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知数列中，， ，其中 ． 从①数列的前项和 ，② ，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答. 注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：数列 是等差数列； (3)设数列 ，求数列的通项公式及前20项和 ． 4．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知数列的首项为，且满足． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 题型八、数列求和之错位相减法（共5小题） 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 2．（24-25高三上·福建·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； (3)设求数列的前项和． 4．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知数列：1，，，…，，… (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求； (3)设，，证明：. 5．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 题型九、导数的定义（共5小题） 1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（22-23高二下·北京大兴·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，则 ． 5．（22-23高二下·北京丰台·期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．    题型十、借助导数求切线（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）在曲线上一点处的切线平行于直线，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·北京·期中）下列直线中是曲线的一条切线的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则在的切线中，斜率最小的切线的方程为 . 5．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知曲线，则在处的切线方程为 ，过原点的切线方程为 . 题型十一、导数的四则运算（共4小题） 1．（22-23高二下·北京海淀·期中）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京通州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·北京·期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ） ① ，  ② ， ③ ， ④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（22-23高二下·北京·期中）函数的导数是（    ） A． B． C． D． 题型十二、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京·期中）函数的递增区间是 ． 4．（22-23高二下·北京·期中）函数的单调增区间为 ，极值点是 . 5．（22-23高二下·北京西城·期中）已知函数，则的极大值为 ；的单调递减区间为 ． 题型十三、由函数在区间上的单调性求参数（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）若在上单调递增，则a的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 4．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ；若在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 5．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）已知函数，若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 题型十四、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．2是的极大值点 B．在处的切线斜率大于0 C． D．在上一定存在最小值 2．（23-24高二下·北京·期中）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．是区间上的增函数 B．是区间上的减函数 C．1是的极大值点 D．4是的极小值点 3．（23-24高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．在上单调递增 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 4．（22-23高二下·北京丰台·期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．为极值点 D．为极值点 5．（22-23高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型十五、利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共5小题） 1．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)求的单调区间； 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中. (1)若，求此时的值； (2)求的单调区间； 3．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数（）． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间； 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数． (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中. (1)判断曲线在处切线是否与轴平行； (2)求的单调区间； 题型十六、函数的极值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)若函数在时取得极值，求的值； 2．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知为实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求函数的极小值点； 3．（23-24高二下·北京·期中）已知，． (1)求曲线在点处的切线； (2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围； 4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 5．（23-24高三上·河南·期中）已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直． (1)求l的方程； (2)求的极值． 题型十七、函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数（）在处取得极小值. (1)求a的值，并求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 3．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最小值. 4．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若为的极值点，求实数的值； (2)若，求在区间上的最值； $$专题01 高二下学期期中真题精选 （北师大版2019选择性必修第二册第一章数列+第二章导数及其应用）（考题猜想，常考17大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算（高频） · 题型二 等差（比）数列角标和性质（高频） · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质（高频） · 题型五 数列求通项（重点） · 题型六 数列求和之分组求和法（高频） · 题型七 数列求和之裂项相消法（重点） · 题型八 数列求和之错位相减法（重点） · 题型九 导数的定义 · 题型十 借助导数求切线 （易错） · 题型十一 导数的四则运算 （易错） · 题型十二 利用导数求函数（不含参）的单调区间（易错） · 题型十三 由函数在区间上的单调性求参数（难点） · 题型十四 函数与导数图象之间的关系 · 题型十五 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（难点） · 题型十六 函数的极值问题（重点） · 题型十七 函数的最值问题（重点） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共7小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，若，则为（    ） A．20 B．27 C．29 D．32 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，求解即可求. 【详解】设等差数列的公差为，由， 可得，解得， 所以. 故选：D. 2．（23-24高三上·北京西城·期中）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升,上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是 升（结果保留分数） 【答案】 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】运用等差数列通项公式求解即可. 【详解】解：根据题意，设从下部算起，易得数列为等差数列， 则. 解得， 则． 故答案为：． 3．（23-24高二下·北京·期中）已知为等差数列，其公差，且成等比，则 ， . 【答案】 4 420 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用 【分析】由成等比，可求出；可以看成以为首项，8为公差的等差数列，则由等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意，成等比，得，则， 代入，解得或，因为，所以， 则， 所以可以看成以为首项，8为公差的等差数列， 所以. 故答案为：4，420. 4．（24-25高三上·北京·期中）已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比 . 【答案】3 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】利用等比数列的通项公式及等差数列的性质建立方程可求得结果. 【详解】∵成等差数列， ∴，即， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴. 故答案为：3. 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则公比 ，数列的前4项的和为 ． 【答案】 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的其他性质、求等比数列前n项和 【分析】由等比数列的性质及等差中项，并结合等比数列通项公式列方程求基本量，进而写出前4项即可得前4项和. 【详解】由题设，且， 所以，又，故， 所以，则前4项的和为. 故答案为：， 6．（23-24高二下·北京·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则数列公比为 . 【答案】 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，则利用等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由已知， 所以，即， 解得. 故答案为： 7．（24-25高三上·北京·期中）已知等差数列满足. (1)求的通项公式; (2)若等比数列，求的通项公式; 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）用等差中项得到的值，求出公差即可写出等差数列的通项公式； （2）由（1）得到的值得到的值，求出公比即可写出等比数列的通项公式. 【详解】（1）因为， ∴， ∴，∴， ∴； （2）由题可知，又∵， ∴， ∴， ∴. 题型二、等差（比）数列角标和性质（共5小题） 1．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据下标和性质求出，即可求出公差. 【详解】是等差数列， ，即， ． 故选：A． 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列性质计算即可. 【详解】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 3．（23-24高二下·山东淄博·期中）已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【详解】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选:：D 4．（23-24高二下·山东日照·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（   ） A．7 B．8 C．或8 D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】由韦达定理得到，再根据等比数列性质可以求出. 【详解】等比数列中，是方程的两个根，则， 再根据等比数列性质可以求出. 故选：D. 5．（23-24高二下·北京怀柔·期中）已知数列是等差数列，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】运用等差数列的性质公式即可求解． 【详解】由题意知，， 根据等差数列的性质，得，求出． 故答案为：． 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共5小题） 1．（24-25高三上·北京·期中）已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】求得等比数列的首项和公比，由此化简并求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， ，或（舍去）， 所以. 由，， ，所以的最小值为. 故选：B 2．（23-24高二下·北京大兴·期中）设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为 ． 【答案】(答案不唯一，满足) 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列前项和的基本量计算可求得. 【详解】由题意知等差数列前和公式， 且，，， 解之可得，. 故答案为：(答案不唯一，满足) 3．（23-24高二下·北京·期中）已知等差数列共有20项，各项之和，首项 (1)求数列的公差； (2)求第20项 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】根据等差数列的前n项和公式与通项公式，即可求出公差d与第20项． 【详解】（1）等差数列共有20项，各项之和，首项， 所以，解得公差. （2）等差数列，首项，公差， 所以第20项为. 4．（23-24高二下·北京西城·期中）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式列方程组求解可得； （2）利用通项公式确定数列的负数项，可得最小，然后由求和公式可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由条件得， 解得， 所以． （2）由（1）知， 令，得， 所以数列的前项和是的最小值， 即． 5．（23-24高三上·北京丰台·期中）在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，． (1)求和； (2)设，记，求． 【答案】(1)，. (2) 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列的通项公式与前项和的定义得到的关系式，从而得解； （2）由（1）得，从而利用等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）依题意，，设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得（负值舍去）， 所以，. （2）由（1）得， 所以. 题型四、等差（比）数列前项和性质（共5小题） 1．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】 求得等差数列的首项和公差，从而求得正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 所以. 故选：B 2．（23-24高二上·甘肃临夏·期中）设等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．27 B．45 C．81 D．18 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果. 【详解】因为等差数列，所以，，成等差数列， 可得，即，解得 ，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】等比数列前n项和的其他性质、等比数列片段和性质及应用 【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 4．（22-23高二上·北京·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 . 【答案】6 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值. 【详解】由已知得，， 令n=5，则，， 所以， 故答案为：6. 5．（24-25高三上·山东日照·期中）已知各项均为正数的等比数列，记为数列前项和，若，，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】由已知可得，可求得，可求的值. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， 由，，可得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型五、数列求通项（共10小题） 1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累加法求数列通项 【分析】根据已知条件得出最小项为，再利用累加法，即可得出答案. 【详解】因为，所以当时，，当时，， 所以，显然的最小值是， 又，，则， 所以的最小值是； 故选：A 2．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可. 【详解】当时，； 当时，， 经验证，不符合上式，所以 故选：. 3．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可. 【详解】数列中，，因此， 则数列是常数列，于是，， 所以. 故选：B 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、基本不等式求和的最小值 【分析】根据数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，再根据对勾函数的性质，可得答案. 【详解】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，当时，， 当时，，因为，所以的最小值为. 故选：A. 5．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累乘法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】由已知得，利用累乘法求出，从而可求得，代入中化简，再利用对勾函数的性质可求得结果. 【详解】由，得， 因为，所以 ， 所以， 所以， 因为，所以由对勾函数的性质可知， 当时，取得最小值. 故选：C 6．（24-25高三上·北京·期中）设为数列的前项和，若，则 . 【答案】16 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由数列前项和求出数列为公比为2等比数列，由等比数列的性质即可得到分式结果. 【详解】当时，，∴， 当时，，∴，∴， ∴数列为公比为2的等比数列， ∴， 故答案为：16 7．（22-23高二下·北京·期中）数列中，若，，则 . 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得. 【详解】由题意，，可得，所以， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 【答案】/ 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】利用构造常数列法求，利用累加法求，然后可求得结果. 【详解】当时，有，即， 再由可得：， 所以是常数数列，首项，则，即， 再由可得：，， 由累加法得， 所以，， 当时，，满足， 所以， 则， 故答案为：. 9．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第项的关系求出，进而求出数列的通项，再结合等差数列性质列出不等式组，求解即得. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而满足，因此， 令， 因，则数列是等差数列， 由的最大值为，得，解得， 故实数的最大值是. 故答案为：. 10．（24-25高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】构造法求数列通项、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论； 【详解】（1）已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． 题型六、数列求和之分组求和法（共5小题） 1．（24-25高三上·北京通州·期中）已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、由定义判定等比数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）先由数列的前项和和通项的关系式求出相邻项之间的关系， 判断出数列的类型，再利用等比数列和等差数列的通项公式即可求解； （2）利用分组求和法及公式法进行求和即可． 【详解】（1）解：因为，，① 所以有，．② ②①得． 所以数列成以为首项，以为公比的等比数列． 所以． 又数列是等差数列，且，． 所以，． 所以． （2）因为 设数列的前项和为， 所以 ． 2．（23-24高二下·北京延庆·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，且，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式； （2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和； （3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解 【详解】（1）当时， 得.    由已知① 当时，, ②                               ①-②得.                             所以 .                                     所以数列为等比数列，且公比为 因为，所以.              设数列公差为，       由得                               所以. 综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：. （2）设，前项和 （3）   即，即，解得 3．（23-24高二下·北京·期中）已知数列满足，且. (1)求的值并证明是等比数列； (2)求数列的通项公式和数列的前项和； (3)求. 【答案】(1)，证明见解析 (2)；数列的前项和为 (3) 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）先根据递推公式求出的值，再利用即可得的值；由等比数列定义去证明数列为等比数列； （2）依据等比数列的通项公式，结合，即可得数列的通项公式；数列的前项和,先分组，再按等比、等差数列的求和公式计算即可； （3）由，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，则由等比数列的求和公式计算可得. 【详解】（1）由，，得， 又，所以； 因为， 又，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）可知，又， 所以，所以； 设数列的前项和为， 则 . （3）由（1）可知，则， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 4．（23-24高二下·北京·期中）已知无穷等比数列的各项均为整数，. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和，并求出的最小值. 【答案】(1) (2)，最小值是 【知识点】分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合题干条件列方程组求解，再由公比是整数舍去不符的结果，然后得出通项公式； （2）根据分组求和算出的表达式，利用的大小关系观察得出项中的符号，求得最小值. 【详解】（1）设公比为，由题意有， 代入得，故或2， 又各项均为整数，故， 于是. （2）， ， ， 所以，， 注意到， ，且当时，， 所以，的最小值是. 5．（23-24高二下·北京·期中）已知等差数列中，，______，其中，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 从①，②，③前项和，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)选①，②，③的答案都为， (2). 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）设等差数列的公差为， 若选①，由关系求公差，再由通项公式求， 若选②，由递推关系求公差，再由通项公式求， 若选③，由时，，可求，由此可确定其通项； （2）先求，然后利用分组求和的方法求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 若选①， 由，可得，， 所以， 若选②，由可得，，又， 所以， 若选③，由，可得当时，， 又，满足关系， 所以， （2）因为，，所以 所以； 所以 ， 所以. 题型七、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（22-23高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若满足，求数列的前项和公式. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）求得公差，可求的通项公式； （2）由，利用裂项求和法，即可求数列的前项和公式. 【详解】（1）因为为等差数列，且，， ，， ； 的通项公式； （2）， 设数列的前项和为， . 2．（22-23高二下·北京昌平·期中）在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式和前n项和； (2)设，求数列的前n项和公式． 【答案】(1)， (2) 【知识点】裂项相消法求和、等比中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出结果. 【详解】（1）公差不为零的等差数列中，，又成等比数列， 所以，即， 解得， 则， . （2）由（1）可知，， 可得数列的前项和 . 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知数列中，， ，其中 ． 从①数列的前项和 ，② ，③且，这三个条件中一个，补充在上面的问题中并作答. 注：若选作多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：数列 是等差数列； (3)设数列 ，求数列的通项公式及前20项和 ． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，. 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）选①，利用与的关系求出即可；选②③，判断等比数列，再利用等比数列定义求出通项公式作答. （2）由（1）的结论求出，再利用等差数列定义判断作答. （3）由（2）的结论，利用裂项相消法求和作答. 【详解】（1）选①，当时，，当时，，满足上式， 所以数列的通项公式是 . 选②，依题意，数列为等比数列，其首项为1，公比为2， 所以数列的通项公式是. 选③，由，，知，，则数列为等比数列， 公比为，有，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，显然， 所以数列是以1为公差的等差数列. （3）由（2）知，， . 4．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知数列的首项为，且满足． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）根据条件中的递推关系式，结合等差数列的定义，即可证明，并求通项公式； （2）根据（1）的结果，可知，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，，得，则， 于是， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 故，所以, （2）由（1）知， 所以. 5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【知识点】裂项相消法求和、等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，解方程组即可得解. （2）先求的通项公式，然后再利用裂项相消求和法求得，根据等差中项定义得出等式关系，代入即可得出关于的等式关系，然后取值验证即可得解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 因此，. 假设存在正整数m，n，使得成等差数列， 则， 即，整理得， 显然是50的正约数，又，则或25，50. 当时，即时，与矛盾， 当时，即时，，符合题意， 当时，即时，无解 所以存在正整数使得成等差数列，此时. 题型八、数列求和之错位相减法（共5小题） 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； (2)若，设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等差中项可得，即可根据的关系即可得为等比数列； （2）根据错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题可得，当时，， 当时，，整理得，又， 所以， 数列是以为首项，以2为公比的等比数列， ； （2）由题意可得：， 所以，则有 ， ， 由错位相减得 ， 所以. 2．（24-25高三上·福建·期中）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两个等式作差可推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为数列的前项和为，且， 则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，且， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，. （2）因为， 所以，①， 则②， ②得 ， 因此，. 3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知等差数列的公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列前项和为； (3)设求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】裂项相消法求和、错位相减法求和、等比中项的应用、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）变形得到，裂项相消法求和； （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）根据题意，因为，，，成等比数列， 所以，又， 解得，， 故； （2）因为 ， 所以 ； （3）∵ ∴①， ②， ∴①-②得 ∴. 4．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知数列：1，，，…，，… (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求； (3)设，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、裂项相消法求和、错位相减法求和 【分析】（1）由数列前几项可得，由等差数列求和公式化简即可； （2）由（1）可得，利用“错位相减法”即可求得． （3）由（1）可得，裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由条件可知：. （2）由（1）知， ∴， ∴， ， 两式相减，得 ， ∴. （3）由（1）知， ∴， ∴ ， 故得证. 【点睛】关键点点睛：第三问关键在于得到后利用放缩法得到，进而利用裂项相消法求得，放缩法是证明不等式成立的一种重要方法. 5．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明； （2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可； （3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果. 【详解】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 题型九、导数的定义（共5小题） 1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解即可. 【详解】函数，求导得，， 所以. 故选：A 3．（22-23高二下·北京大兴·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据函数在某一点的导数的定义，由此可得结果. 【详解】因为， 则. 故选: B 4．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】先求出，利用导数求出，即可求解. 【详解】. 因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 5．（22-23高二下·北京丰台·期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．    【答案】1 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求曲线切线的斜率（倾斜角）、已知两点求斜率 【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解. 【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为， 根据导数的定义，可得. 故答案为：1． 题型十、借助导数求切线（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）在曲线上一点处的切线平行于直线，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设，求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可求出的坐标，最后还需检验. 【详解】设，由，可得， 则， 依题意可得，解得或， 所以或， 当时切线为，符合题意； 当时切线为，符合题意. 综上可得或. 故选：B 2．（22-23高二下·北京·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】求导函数， 当时，， ∴曲线在点处的切线方程为：， 即. 故选：A. 3．（22-23高二下·北京·期中）下列直线中是曲线的一条切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】首先求导有，排除AB选项，再分别检验CD选项即可. 【详解】，则切线斜率应大于等于2，故排除AB选项， 对C，令，解得，则，经检验切点位于直线上， 对D，令，解得， 当，，则切点为，经检验不在直线上， 当，，则切点为，经检验不在直线上， 故选：C. 4．（23-24高二下·北京通州·期中）已知函数，则在的切线中，斜率最小的切线的方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对函数求导并求出导函数的最小值及切点坐标，再由点斜式方程即可得出结果. 【详解】由可得， 再由二次函数性质可得，当时，函数取得最小值， 因此可得切线斜率最小值为，此时切点为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 5．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知曲线，则在处的切线方程为 ，过原点的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】求导，根据导数的几何意义可知切点坐标为，切线斜率，即可得切线方程；设切点坐标为，可得切线方程为，代入原点可得，即可得切线方程. 【详解】因为，则， 若，可得，可知切点坐标为，切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为； 设切点坐标为，切线斜率， 可得曲线在处的切线方程为， 若切线过原点，即，解得， 可得切线方程为，即. 故答案为：；. 题型十一、导数的四则运算（共4小题） 1．（22-23高二下·北京海淀·期中）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本函数的导数公式进行求解即可. 【详解】根据导数公式可知选项A、B、D是正确的； 对于C，，故C错误. 故选：C. 2．（22-23高二下·北京通州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据导数公式表以及导数的运算法则运算可得答案. 【详解】，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； ，故D不正确. 故选：C 3．（22-23高二下·北京·期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ） ① ，  ② ， ③ ， ④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可 【详解】因为,所以①错, 因为,所以②错, 因为,所以③错. 因为,所以④错, 故选：A. 4．（22-23高二下·北京·期中）函数的导数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】根据复合函数的求导公式求解即可. 【详解】解：由已知可得， 故选：B. 题型十二、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导后，令，解出单调增区间即可. 【详解】， 因为恒成立， 所以当时，， 即函数的单调递增区间是. 故选：D. 2．（22-23高二下·北京·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，， 因为，由可得， 因此，函数的单调递增区间是. 故选：D. 3．（23-24高二下·北京·期中）函数的递增区间是 ． 【答案】， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由题意求函数定义域，再求导函数，利用，求得函数的单调递增区间即可. 【详解】由题意：函数，定义域为， 且， 令，即，解得或， 所以函数的递增区间是. 故答案为：，. 4．（22-23高二下·北京·期中）函数的单调增区间为 ，极值点是 . 【答案】 1 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】先求解出，求出函数的单调区间，得出函数的极值点. 【详解】因为，令，解得， 所以单调递增区间为， 令，解得，即函数的单调递减区间为， 所以是函数的极大值点. 故答案为：；1 5．（22-23高二下·北京西城·期中）已知函数，则的极大值为 ；的单调递减区间为 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】根据导函数的正负求到单调区间，再根据极大值的定义求值即可. 【详解】由题意得，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以时，函数取得极大值为. 故答案为：；. 题型十三、由函数在区间上的单调性求参数（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）若在上单调递增，则a的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、辅助角公式 【分析】问题转化为在恒成立，在根据三角函数的性质求解。 【详解】由题意可知在恒成立， ， 取，则，即为函数的一个单调区间，所以的最大值为。 故选：C 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出导函数，利用导数讨论的单调性，结合题意可得运算求解即可. 【详解】由，函数定义域为， 当时，函数单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 若函数在区间不单调，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B. 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据导数研究函数的单调性，将单调区间的端点代入导函数值为零，计算并验证即可. 【详解】由题意可得：且，解得 此时，令解得符合题意，故. 故答案为：. 4．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ；若在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围； 在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围. 【详解】因为，， 在区间内单调递增，在上恒成立， 在上恒成立，在上恒成立， ，，因为在， ，则的取值范围是：. 若在上存在单调递增区间，则在上有解， 即在上有解，， 又，.则的取值范围是：. 故答案为：；. 5．（23-24高二下·天津蓟州·阶段练习）已知函数，若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意可得将问题转化为在时恒成立，即在时恒成立，然后求出的最大值即可. 【详解】因为在区间上是增函数， 所以在时恒成立， 即在时恒成立， 令，则， 所以在上单调递减， 所以， 所以，得， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 题型十四、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（23-24高二下·北京·期中）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．2是的极大值点 B．在处的切线斜率大于0 C． D．在上一定存在最小值 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】利用导函数图像，得到原函数单调性，利用极值点的定义判断A，利用导数的几何意义判断B，利用函数的单调性判断C，将极小值与端点值比较判断D即可. 【详解】由图像得在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，显然2是的极大值点，故A正确， 由图像得，而在处的切线斜率即为， 结合可得在处的切线斜率大于0，故B正确， 由图像得在上单调递减，故成立，故C错误， 由图像得在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 是函数极小值，且，， 故在上一定存在最小值，故D正确. 故选：C 2．（23-24高二下·北京·期中）如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．是区间上的增函数 B．是区间上的减函数 C．1是的极大值点 D．4是的极小值点 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】由导函数图象与函数单调性的关系可得函数的单调性，即可得函数的极值点. 【详解】由图可知：当时，， 当时，， 故在、上单调递减，在、上单调递增， 故A错误，B错误，C错误，D正确. 故选：D. 3．（23-24高二下·北京房山·期中）已知函数的定义域为，的导函数的图象大致如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．在上单调递增 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据题意，利用函数的图象，结合函数和的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据函数的图象得，当时，， 所以函数在上单调递增，所以A正确； 对于B中，根据函数的图象知，在的左右两侧附近，可得， 所以单调递增，则不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，根据函数的图象知，当时，，单调递增，； 当时，，单调递减， 所以是函数的一个极大值点，所以C正确； 对于D中，根据函数的图象知，， 即曲线在 处的切线斜率为，所以D正确. 故选：B. 4．（22-23高二下·北京丰台·期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．为极值点 D．为极值点 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由导数图象正负性，零点情况可判断选项正误. 【详解】A，因时，，则在上单调递减，故A正确； B，因时，，则在上单调递增，故B正确； C，由图可得在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，故C正确； D，由图可得在上单调递增，则不为极值点，故D错误. 故选：D 5．（22-23高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】确定函数在和上单调递减，在和上单调递增，对比得到答案. 【详解】设导函数图像与的交点横坐标分别为和，，， 根据图像： 和时，； 和时，； 则函数在和上单调递减，在和上单调递增. 对比图像知C满足. 故选：C. 题型十五、利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共5小题） 1．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)答案见详解 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可； 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，， 若，则，可知函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，当，，当，， 可知函数的增区间为，减区间为； 综上所述：若，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中. (1)若，求此时的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)2 (2)增区间，减区间 【知识点】导数的运算法则、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出导数，由，即可解得的值； （2）利用导数的正负，求得的单调区间； 【详解】（1）函数，则， 因为，所以，解得. （2）的定义域为，， 所以在区间和上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的递增区间为，递减区间为； 3．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数（）． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出，得到函数的单调区间，从而求得函数的最大值； （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性； 【详解】（1）当时，，令，则，于是可列表如下： 1 0 单调递增 极大值 单调递减 ∴当时，取最大值为. （2）（）， 当时，令或， ①当时，由或，由， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由或，由， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 综上： 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间. 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数． (1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)； (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果； （2）求导并对导函数整理变形，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性； 【详解】（1）当a＝1时，，得， ，则， 所以切线方程为：， 即； （2）由题，可得， 当时，当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 当时，的解为，， ①当，即时，恒成立，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 此时在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 即在，上单调递增；在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数，其中. (1)判断曲线在处切线是否与轴平行； (2)求的单调区间； 【答案】(1)平行； (2)答案见详解； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数求出斜率，由解析式求切点纵坐标，求出切线方程可得； （2）求导，分，，讨论可的单调区间； 【详解】（1）因为，所以， 又，所以曲线在处的切线为，与轴平行. （2）令，则或. 当时，时，，； 时，，. 故时，，所以单调递增区间为. 当时，，则有 0 0 0 极大值 极小值 所以单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，，则有 0 0 0 极大值 极小值 所以单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上，当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为和，单调递减区间为. 题型十六、函数的极值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)若函数在时取得极值，求的值； 【答案】(1)和，单调减区间是 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间即可； （2）求导，根据极值点处导数值为0可得，并代入检验即可； 【详解】（1）因为的定义域为， 当时，则，可得， 令，解得或；令，解得； 所以的单调增区间是和，单调减区间是. （2）由题意可得：， 若函数在时取得极值， 则，解得：， 当时，， 当或时，；当时，； 可知的单调增区间是和，单调减区间是， 则是的极大值点，符合题意， 综上所述：. 2．（23-24高二下·北京顺义·期中）已知为实数，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求函数的极小值点； 【答案】(1)； (2)； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，利用导数结合极值点的定义求解即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 则，而，于是切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线的方程. （2）当时，，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有且仅有一个极小值点. 3．（23-24高二下·北京·期中）已知，． (1)求曲线在点处的切线； (2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义得曲线在点处的切线方程为，再结合题意得，进而得答案； （2）由题知在区间上有变号零点，进而分和两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）因为，所以，，则， 所以函数在出的切线方程为，即. （2）由（1）得， 因为函数在区间上存在极值， 所以在区间上有变号零点， 当时，在区间上单调递增，，故不符合题意； 当时，在区间上单调递减，且当趋近于时，趋近于， 故要使在区间上有变号零点，则，即， 综上，，即的取值范围是. 4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； (2)当时，求函数的极值点的个数. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案见详解 (2)答案见详解 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）（ⅰ）求导，结合导数的几何意义列式求解即可；（ⅱ）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）分和两种情况，令整理可得，构建，利用导数分析的单调性，结合的图象分析的极值点的个数. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， （ⅰ）由题意可知：，解得， （ⅱ）此时，， 若，则，可得， 可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：的单调递减区间为，，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. （2）由（1）可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减，无极值点； 若，令，整理得， 构建，则， 若，则；若，则； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于1；当x趋近于时，趋近于； 作出的图象，如图所示： 且，可知： 当，则， 可知与有且仅有一个交点，可知有且仅有一个极值点； 当，则， 可知与没有交点，可知没有极值点； 综上所述：若，有0个极值点； 若，有且仅有1个极值点. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 5．（23-24高三上·河南·期中）已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直． (1)求l的方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）得，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直， 可得，解得，所以 又因为， 故所求切线方程为，即． （2）解：由（1）可知，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增， 故的极大值为， 极小值为． 题型十七、函数的最值问题（共5小题） 1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数（）在处取得极小值. (1)求a的值，并求函数的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为 (2)最大值为，最小值为1. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，根据得到，由求出单调递增区间，由求出单调递减区间； （2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值. 【详解】（1）， 由题意得，解得， ，定义域为R， ， 令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为， 此时函数在处取得极小值，满足题意； （2）由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 又，其中， 故在区间上的最小值为1， 综上，在区间上的最大值为，最小值为1. 2．（23-24高二下·北京·期中）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为36，最小值为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解； （2）令得到或1，分别求得极值和区间的端点值求解. 【详解】（1）解：函数，定义域为， 则， 所以，又因为， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即； （2）函数，， 则， 令得，或1， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为36，最小值为． 3．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)增区间，减区间 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程； （2）令可得单调递增区间，令可得单调递减区间； （3）求出在上单调性，即可利用单调性求出最值. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以曲线在处切线的方程为，即 . （2）由， 令，可得或， 令，可得， 所以函数的增区间为和，减区间为. （3）由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最小值为. 4．（23-24高二下·北京西城·期中）已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点． (1)求函数的解析式； (2)求函数的递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)，； (3)的最大值为，最小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k，根据切点处的导数等于切线斜率可得a，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程； （2）求导，解不等式即可； （3）求导，解方程，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解. 【详解】（1）因为切点为，所以，得． 因为，所以，得． 则． 由得．所以． （2）由得． 令，解得或． 所以函数的递增区间为，． （3）， 令，得． 列表： x 0 1 2 - 0 + 0 递减 极小值 递增 2 因为， 所以当时，的最大值为，最小值为． 5．（23-24高二下·北京·期中）已知函数. (1)若为的极值点，求实数的值； (2)若，求在区间上的最值； 【答案】(1)或 (2)最大值为，最小值为 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，然后利用求出，代入的值验证即可； （2）代入，然后求导，确定单调性，进而可得最值. 【详解】（1）由已知，因为为的极值点， 所以，解得或， 当时，， 令得或，令得， 即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极值点， 当时，， 令得或，令得， 即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极值点， 综上所述：若为的极值点，或； （2）若，则，则， 令得或，令得， 即函数在上单调递减，在和上单调递增， 又，，，， 所以在区间上的最大值为，最小值为 $$