9.1 向量概念 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.1　向量概念 学业标准 素养目标 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) 1．从物理背景、几何背景入手引入向量的概念，提升数学抽象核心素养． 2．通过向量的几何表示、相等向量和平行向量的学习，提升直观想象、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1 向量的概念与表示 1．向量：既有大小，又有方向的量叫作向量． 2．数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 导学2 向量的有关概念和表示方法 1．向量的有关概念 (1)向量的模(长度)：向量的大小称为向量的长度或模，记作||. (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 2．向量的表示 导学3 共线向量、相等向量和相反向量 　 名称 定义 表示 备注 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，又叫作共线向量 向量a与b平行，记作a∥b 零向量与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 与向量a长度相等且方向相反的向量 记作－a (1)零向量的相反向量为零向量 (2)对于任意一个向量a，－(－a)＝a 导学4 向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角 范围 [0°，180°] 特殊 θ＝0° a与b同向 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．(　　) (2)任意两个单位向量都相等．(　　) (3)向量与向量是相等向量．(　　) (4)若非零向量∥，那么AB∥CD.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．如图⊙O中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案　C 3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 解析　终点是N而不是M. 答案　D 4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，以A为始点，可以写出__________个不同的向量．向量与的夹角等于________. 解析　由图可知，以A为始点的向量有，，，，，，共有7个． ∵＝，∴向量与的夹角等于. 答案　7　 题型一　向量的概念 　(多选题)下列说法错误的有(　　) A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量都是相等的 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 [解析]　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确． [答案]　BCD (1)判断一个量是否为向量的两个关键条件： ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题： ①零向量的方向是任意的； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. [触类旁通] 1．给出下列四个命题： ①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若＝，则四边形ABCD是平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有＝； 其中不正确的命题的个数为(　　) A．0　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析　两个向量始点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有始点相同、终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．④正确． 答案　D 题型二　向量的表示 　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向上； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上． [解析]　(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示． (2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示． [素养聚焦]　本题通过向量的表示，突出考查了直观想象等核心素养． [触类旁通] 2．(2023·全国高一专题练习)如图，某人从点A出发，向西走了200米后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了200m到达C点，最后又改变方向，向东走了200 m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)在图中作出、、(图中1个单位长度表示100 m)； (2)求的模． 解析　(1)根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为B(－2,0)， 又因为D点在B点的正北方，所以CD⊥BD， 又＝200，||＝200，所以＝200，即D，C两点在坐标系中的坐标为D(－2,2)，C(－4,2)，即可作，，如下图所示． (2)如图，作出向量， 由题意可知，CD∥AB且CD＝AB＝200，所以四边形ABCD是平行四边形，则＝＝200， 所以D的模为200 m. 题型三　共线向量与相等向量(一题多变) 　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中： (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ [解析]　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. (2)与a共线的向量有，，，，，，，，. [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例中若＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量． 解析　与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. 2．(变结论)本例条件不变，与共线的向量有哪些？ 解析　与共线的向量有，，，，，，，，. 共线向量与相等向量的判断 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c. [触类旁通] 3．(2023·江苏高一专题练习)多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心O为起点、终点的向量中． (1)写出与相等的向量； (2)写出的相反向量； (3)写出与平行的向量； (4)写出与长度相等的向量． 解析　(1)两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，可得与相等的向量为，，. (2)的相反向量是指与方向相反，长度相等的向量，可得的相反向量为，，，. (3)两向量平行，是指两向量方向相同或相反，可得与平行的向量为，，，，，，，，. (4)因图形为正六边形，则AD＝BE＝FC，故与长度相等的向量为，，，，. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 特殊向量的作用 [典例]　给出下列命题： ①若a∥b，则a与b的方向相同或相反； ②若a∥b，b∥c，则a∥c； ③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等； ④若a＝b，b＝c，则a＝c， 其中正确的是________(填序号)． [解析]　由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行， 故取a＝0， 则对于任意的向量b，都有a∥b， 知①错误；取b＝0， 则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知③错误；由两个向量相等的概念可知④正确． [答案]　④ [纠错心得]　(1)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错； (2)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立． 知识落实 技法强化 (1)向量的有关概念及其表示. (1)数形结合. (2)零向量与实数零的区别，零向量的方向是任意的，单位向量的模是确定的. (2)相等向量，共线向量，向量的夹角. 学科网（北京）股份有限公司 $$