7.5 正态分布(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.5　正态分布 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学 正态分布 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 某个区间甚至整个实轴 0 ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数 X～N(μ，σ2) 标准正态分布 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 x＝μ 1 平移 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 瘦高 集中 矮胖 分散 μ σ2 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 [μ－3σ，μ＋3σ] 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．通过误差模型，了解正态曲线、正态分布的概念．(重点) 2．通过借助具体实例的频率分布直方图，了解正态分布的特征及曲线表示的含义．(重点) 3．了解正态分布的均值、方差及其含义．(难点) 4．会用正态分布解决实际问题. 1．通过正态分布相关概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过运用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率，提升数学运算、直观想象等核心素养. 　函数f(x)＝，x∈R的图象如图所示． (3)由以上的讨论得到函数f(x)的解析式是什么？ [提示]　f(x)＝ (1)由图可得到函数f(x)的图象关于哪条直线对称？ [提示]　直线x＝72. (2)函数f(x)取得最大值时，x的值是什么？由此可以得到μ的值是什么？ [提示]　x＝72，μ＝72. ◎结论形成 1．连续型随机变量 如果随机变量不是离散型的，它们的取值充满_________________________，但取一点的概率为___，称这类随机变量为连续型随机变量． 2．正态曲线和正态分布 (1)正态曲线：函数f(x)＝___________________________________________，称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态分布：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_______________________，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从__________________. (3)正态曲线的特点 ①正态曲线是单峰的，它关于直线________对称； ②正态曲线在x＝μ处达到峰值______； ③正态曲线与x轴之间的区域的面积为______； ④当|x|无限增大时，正态曲线无限接近x轴． (4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响 ①当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定．正态曲线随着μ的变化而沿x轴________.如图(1)． eq \f(1,σ\r(2π)) ②当μ一定时，正态曲线的形状可确定．当σ较小时，峰值高，正态曲线“_____”，表示随机变量X的分布比较_____；当σ较大时，峰值低，正态曲线“_____”，表示随机变量X的分布比较________.如图(2)． 3．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝___，D(X)＝_____. 4．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取______________________________的值，这在统计学中称为3σ原则． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴之间的区域的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　) (4)若X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝eq \f(1,2).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(　　) A．0.85　 B．0.70　 　 C．0.35　 D．0.15 解析　P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35. 答案　C 3.如图是正态分布N(μ，σeq \o\al(2,1))，N(μ，σeq \o\al(2,2))，N(μ，σeq \o\al(2,3))(σ1，σ2，σ3＞0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2 D．σ2＞σ1＞σ3 解析　由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1＞σ2＞σ3. 答案　A 4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝_______. 解析　由题意知曲线关于X＝2对称，因此P(X<2)＝eq \f(1,2). 答案　eq \f(1,2) 题型一　正态曲线及其性质 　(多选题)某次我市高三教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图所示曲线可得下列说法中正确的项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数相同 [解析]　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙． [答案]　AD 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))，由此性质结合图象可求σ. (3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．　 [触类旁通] 1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq \f(1,4\r(2π))，求该正态分布的概率密度函数的解析式． 解析　由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是eq \f(1,4\r(2π))，所以eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,4\r(2π))，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x)＝eq \f(1,4\r(2π))·eeq \f(－x2,32)，x∈(－∞，＋∞)． 题型二　利用正态曲线的对称性求概率eq \a\vs4\al(一题多变) 　设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)； (3)P(X>5)． [解析]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7. (2)因为P(3<X≤5)＝P(－3≤X<－1)， 所以P(3<X≤5) ＝eq \f(1,2)[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝eq \f(1,2)[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝eq \f(1,2)×(0.954 5－0.682 7) ＝0.135 9. (3)P(X>5)＝P(X≤－3) ＝eq \f(1,2)[1－P(－3<X≤5)] ＝eq \f(1,2)[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝0.022 8. [母题变式] (变结论)本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值． 解析　因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称． 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， 因此eq \f(c＋1＋c－1,2)＝1，即c＝1． 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝eq \f(1－Pb<X<2μ－b,2).　 [触类旁通] 2．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． (1)求c的值； (2)求P(－4<X≤8)． 解析　(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)． ∵P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， 故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2. (2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5. 题型三　正态分布的实际应用 　在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即X～N(100,100)，已知满分为150分． (1)试求考试成绩X位于区间(80,120]内的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． [解析]　(1)由X～N(100,100)，知μ＝100，σ＝10. ∴P(80＜X≤120)＝P(100－20＜X≤100＋20)＝0.954 5，即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 5. (2)∵P(90＜X≤110)＝P(100－10＜X≤100＋10)＝0.682 7， ∴P(X＞110)＝eq \f(1,2)×(1－0.682 7)＝0.158 65， ∴P(X≥90)＝0.682 7＋0.158 65＝0.841 35. ∴及格人数为2 000×0.841 35≈1 683(人)． [素养聚焦] 解决正态分布的实际应用问题要把握正态分布图象的对称性，强化对其图象对称性的认识，通过解决此类问题提升直观想象数学运算等核心素养. 正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ), (μ－2σ，μ＋2σ), (μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．　 [触类旁通] 3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？ 解析　由于X服从正态分布N(4,0.052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.052)在(4－3×0.05,4＋3×0.05)之外的取值的概率只有0.0027,3.7∉(3.85,4.15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的． 知识落实 技法强化 1．正态曲线及其特点． 2．正态分布． 3．正态分布的应用，3σ原则. 解题过程中常出现概率区间转化不等价. $$