7.5 正态分布(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知某批零件的长度误差(单位：mm)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　) 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈95.45%. A．4.56%　　　　　　 B．13.59% C．27.18% D．31．74% 解析　由正态分布的概率公式知P(－3<X<3)＝0.682 7，P(－6<X<6)＝0.954 5， 故P(3<X<6)＝[P(－6<X<6)－P(－3<X<3)]＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9＝13.59%. 答案　B 2．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　因为随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4. 答案　B 3．(多选题)已知三个正态密度函数φi(x)＝·e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2 C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3 解析　由图可知μ2＝μ3>μ1，σ1＝σ2<σ3，故AD正确． 答案　AD 4．(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1．8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析　由题意可知，X～N(1．8,0.12)， 所以P(X>2)<P(X>1．8)＝0.5， P(X<1．9)≈0.841 3， 所以P(X>2)<P(X≥1．9)＝1－P(X<1．9)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2， 所以A错误，B正确． 因为Y～N(2.1,0.12)， 所以P(Y<2.2)≈0.841 3， P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5， 所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3， 所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3 >0.8， 所以C正确，D错误． 综上，选BC. 答案　BC 5．(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________. 解析　由题意可知，P(X>2)＝0.5， 故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14. 答案　0.14 6．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有________人． 解析　设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10<X≤80＋10)＝0.682 7.所以在80分到90分之间的人数为48 000××0.682 7≈16 385(人)． 答案　16 385 7．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.682 7，则σ＝________，P(|X－2|<4)＝________. 解析　∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4. ∵P(2<X<6)≈0.682 7， ∴∴σ＝2. ∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6) ＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6) ＝[P(－2<X<10)－P(2<X<6)]＋P(2<X<6) ＝P(－2<X<10)＋P(2<X<6)＝0.84. 答案　2　0.84 8．设X～N(3,42)，试求： (1)P(－1<X≤7)； (2)P(7<X≤11)； (3)P(X≥11)． 解析　∵X～N(3,42)，∴μ＝3，σ＝4. (1)P(－1<X≤7)＝P(3－4<X≤3＋4) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7. (2)∵P(7<X≤11)＝P(－5<X≤－1)， ∴P(7<X≤11) ＝[P(－5<X≤11)－P(－1<X≤7)] ＝[P(3－8<X≤3＋8)－P(3－4<X≤3＋4)] ＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. (3)∵P(X≥11)＝P(X≤－5)， ∴P(X≥11)＝[1－P(－5<X≤11)] ＝[1－P(3－8<X≤3＋8)] ＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)] ＝(1－0.954 5)＝0.022 75. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)某厂生产的零件外径X～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况正常 B．下午生产情况异常 C．下午生产情况正常 D．上午生产情况异常 解析　因测量值X为随机变量，又X～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4,10.6)，则9.9∈I,9.3∉I. 答案　AB 10．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1)．现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101．7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,101．1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝，故选B. 答案　B 11．若随机变量X的正态分布密度函数是φμ，σ(x)＝×e－2(x∈R)，则E(2X－1)＝________ . 解析　由题知σ＝2，μ＝－2，故E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5. 答案　－5 12．某班有50名学生，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(105,102)，已知P(95≤X≤105)＝0.32，试估计该班学生数学成绩在115分以上(含115分)的人数为________． 解析　∵考试的成绩X服从正态分布N(105,102)， ∴正态曲线关于直线x＝105对称， ∵P(95≤X≤105)＝0.32， ∴P(X≥115)＝×(1－0.64)＝0.18， ∴该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18×50＝9. 答案　9 13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(min)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 解析　还有7分钟时：若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率为 P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7)＝＋P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)． 若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率为 P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7)＝＋P(μ－2.5σ<X≤μ＋2.5σ)． 因为P1<P2，所以应选第二条路线． 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线． [核心价值·探索创新] 14．(多选题)(2024·亳州高二期末)把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法中正确的是(　　) A．曲线b仍然是正态曲线 B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C．以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望小2 D．以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2 解析　密度函数f(x)＝e－，向右移动2个单位后得到密度函数g(x)＝·e－，所以曲线b仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变，故A，B正确；以曲线b为概率密度曲线的总体的期望值为μ＋2，故C错误；以曲线b为概率密度曲线的总体的方差不变．故D错误． 故选AB. 答案　AB 15．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨南海伶仃洋水域接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾立交；桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，设计速度为100千米/小时，限制速度为90～120千米/小时，通车后由桥上监控显示每辆车行车和通关时间的频率分布直方图如图所示． (1)估计车辆通过港珠澳大桥的平均时间；(精确到0.1) (2)以(1)中的平均时间作为μ，车辆通过港珠澳大桥的时间X近似服从正态分布N(μ，36)，任意取通过大桥的1 000辆汽车，求所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目(精确到整数)． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X＜μ＋2σ)＝0.954 5. 解析　(1)由频率分布直方图可得 ＝32.5×0.015＋37.5×0.18＋42.5×0.27＋47.5×0.3＋52.5×0.2＋57.5×0.035 ≈45.5(min)． (2)由题知X～N(45.5,36)， ∴P(X<39.5)＝P(X<μ－σ)＝[1－P(μ－σ<X＜μ＋σ)]＝0.158 65， 所以1 000×0.158 65≈159， 故所用时间少于39.5分钟的大致车辆数目为159. 学科网（北京）股份有限公司 $$