7.4.2 超几何分布(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.2　超几何分布 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学 超几何分布 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 np 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．通过具体实例，了解超几何分布．(重点) 2．能利用超几何分布解决简单的实际问题．(难点) 1．通过超几何分布概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用超几何分布解决实际应用问题，提升数学运算、数学建模等核心素养. 　在含有5名男生的100名学生中，任选3人． (1)求其中恰有1名男生的概率表达式． [提示]　eq \f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,95),C\o\al(3,100)). (2)求其中恰有2名男生的概率表达式． [提示]　eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,95),C\o\al(3,100)). ◎结论形成 1．超几何分布的定义：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N, M∈N*，M≤N，n≤N，则m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的均值：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品的次品数．令p＝eq \f(M,N)，则E(X)＝___＝_____. eq \f(nM,N) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)服从超几何分布的随机试验是不放回抽取．(　　) (2)超几何分布的总体里只有两类物品．(　　) (3)某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布．(　　) (4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq \f(C\o\al(4,7)×C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是(　　) A．P(X＝2)　　　　　 B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析　X服从超几何分布，基本事件总数为Ceq \o\al(10,15)，所求事件数为Ceq \o\al(X,7)Ceq \o\al(10－X,8)， ∴P(X＝4)＝eq \f(C\o\al(4,7)×C\o\al(6,8),C\o\al(10,15)). 答案　C 3．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　) A．eq \f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,50))　　　　　　　 B．eq \f(C\o\al(1,5)＋C\o\al(2,5)＋C\o\al(3,5),C\o\al(3,50)) C．1－eq \f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)) D．eq \f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,45),C\o\al(3,50)) 解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为eq \f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50))，故答案为1－eq \f(C\o\al(3,45),C\o\al(3,50)). 答案　C 4．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率为_____(结果用最简分数表示)． 解析　设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3， 它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)·C\o\al(2,13),C\o\al(3,15))＝eq \f(12,35). 答案　eq \f(12,35) 题型一　超几何分布eq \a\vs4\al(一题多变) 　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1．现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率； (2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列． [解析]　(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝Ceq \o\al(3,6)＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,1)＝6， 所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝eq \f(6,20)＝eq \f(3,10). (2)由题意知X＝0,1,2,3， P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq \f(1,20)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq \f(9,20)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq \f(1,20). 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,20) eq \f(9,20) eq \f(9,20) eq \f(1,20) [母题变式] 1．(变结论)本例的条件不变，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解析　由题意可知η＝0,1，服从两点分布． 又P(η＝1)＝eq \f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq \f(1,2)， 所以η的分布列为 η 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,2) 2.(变条件)把本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解析　(1)取出3个球颜色都不相同的概率P＝eq \f(C\o\al(1,3)×C\o\al(1,2)×C\o\al(1,1)×A\o\al(3,3),63)＝eq \f(1,6). (2)由题意知X＝0,1,2,3. P(X＝0)＝eq \f(33,63)＝eq \f(1,8)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,3)×3×3×3,63)＝eq \f(3,8). P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)×3×3,63)＝eq \f(3,8)， P(X＝3)＝eq \f(33,63)＝eq \f(1,8). 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,8) eq \f(3,8) eq \f(3,8) eq \f(1,8) 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,m)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．　 [触类旁通] 1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求既有豆沙粽又有白粽的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列． 解析　(1)记事件A：取出的3个都是白粽， 则P(A)＝eq \f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(\f(8×7×6,3×2×1),\f(10×9×8,3×2×1))＝eq \f(7,15)， 所以既有豆沙粽又有白粽的概率为 1－P(A)＝1－eq \f(7,15)＝eq \f(8,15). (2)X的可能取值为0,1,2， 则P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(7,15)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(1,15)， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(7,15) eq \f(7,15) eq \f(1,15) 题型二　超几何分布的综合应用 　甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求： (1)甲答对试题数X的分布列； (2)乙所得分数Y的分布列； (3)求乙的得分不低于10分的概率． [解析]　(1)X的可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq \f(4,120)＝eq \f(1,30)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq \f(36,120)＝eq \f(3,10)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq \f(60,120)＝eq \f(1,2)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq \f(20,120)＝eq \f(1,6). 所以甲答对试题数X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,30) eq \f(3,10) eq \f(1,2) eq \f(1,6) (2)乙答对试题数可能为1,2,3，所以乙所得分数Y＝5,10,15. P(Y＝5)＝eq \f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(8,120)＝eq \f(1,15)， P(Y＝10)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(56,120)＝eq \f(7,15)， P(Y＝15)＝eq \f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq \f(56,120)＝eq \f(7,15). 所以乙所得分数Y的分布列为 Y 5 10 15 P eq \f(1,15) eq \f(7,15) eq \f(7,15) (3)由(2)可知，根据随机变量Y的分布列，可以得到乙的得分不低于10分的概率为 P(X≥10)＝P(X＝10)＋P(X＝15)＝eq \f(7,15)＋eq \f(7,15)＝eq \f(14,15). [素养聚焦] 解决超几何分布的实际应用问题的关键是在具体的问题中识别超几何分布，把题目条件和公式相对应，借以应用公式.在此过程中，培养数学建模和数学运算核心素养. (1)在求离散型随机变量的分布列时，明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键． (2)求与分布列有关的概率问题，一般是把所求概率的事件分解为几个互斥的事件，然后利用概率的加法公式计算．　 [触类旁通] 2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 解析　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人． 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq \f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq \f(1,100)，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq \f(1,100)＝eq \f(99,100). (2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3. P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq \f(3,5)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq \f(1,5). 所以X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) 题型三　超几何分布的均值和方差 　某班从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为X，求随机变量X的方差． [解析]　X的所有可能取值为0,1,2，所以依题意得P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq \f(1,10)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq \f(3,5)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq \f(3,10)， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,10) eq \f(3,5) eq \f(3,10) 所以E(X)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5)，或E(X)＝eq \f(3×2,5)＝eq \f(6,5). D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(6,5)))2×eq \f(1,10)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,5)))2×eq \f(3,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(6,5)))2×eq \f(3,10)＝eq \f(9,25). 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)＝eq \f(nM,N)＝np，熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度，但应用公式求均值前要仔细辨别随机变量所服从的分布类型，若不能应用公式，则利用均值的定义计算．　 [触类旁通] 3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　) A．eq \f(6,5)　　　　　　　 B．eq \f(3,10) C．eq \f(4,5) D．eq \f(1,5) 解析　法一　题意得，P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(1,10)， P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq \f(3,10). ∴E(X)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5)，故A正确． 法二　易知X服从超几何分布，所以E(X)＝eq \f(3×2,5)＝eq \f(6,5). 答案　A 知识落实 技法强化 1．超几何分布的概念及特征． 2．超几何分布的均值． 3．超几何分布与二项分布的区别与联系. 超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样. $$