7.4.2 超几何分布(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个红绿灯，记此学生遇到红灯的个数为X D．从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解析　依据超几何分布模型定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布，而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故C中随机变量X不服从超几何分布． 答案　ABD 2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A．　 　 B．　 　　 C.　 　 D． 解析　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝. 答案　B 3．某党支部有10名党员，7男3女，现从中选取2人做汇报，若X表示选中的女党员数，则P＝(　　) A． B． C． D．1 解析　根据超几何分布的概率公式直接计算． 由题意，知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2， 故P＝＝，P＝＝， P＝＝， 于是P＝P＋P＝＋＝. 故选C. 答案　C 4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 解析　本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球，故选B. 答案　B 5．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________(用式子表示)． 解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或4台． 答案　 6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________. 解析　易知P(X＝1)＝＝. 答案　 7．盒子中共有8件产品，其中有2件次品，现从中随机选取3件产品，记次品的件数为X，则X的均值为________． 解析　因为X服从超几何分布，所以E(X)＝＝. 答案　 8．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列． 解析　设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球． (1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝. (2)X的所有可能值为0,10,50,200，且： P(X＝200)＝·＝， P(X＝50)＝·＝， P(X＝10)＝·＝＝， P(X＝0)＝1－－－＝. 综上可知X的分布列为 X 0 10 50 200 P [关键能力·综合提升] 9．(多选题)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　由题意知，＝， 整理，得a2－10a＋16＝0， 解得a＝2或8. 答案　BD 10．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．最多有2个是坏的 解析　“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”， 则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C. 答案　C 11．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝__________. 解析　P(X＝3)＝＝. 答案　 12．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________. 解析　由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－－＝. 答案　 13．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率． 解析　(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则P(A)＝＝. (2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. 所以随机变量X的概率分布列为 X 2 3 4 5 P (3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C， 则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. [核心价值·探索创新] 14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X，则X的均值E(X)＝________. 解析　依题意，甲能通过的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝. 由于P(X＝2)＝＝， 法一　故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3. 法二　E(X)＝＝3. 答案　　3 15．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ. (1)求ξ的分布列和期望； (2)求他至多试开3次的概率． 解析　(1)ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5， 且P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝. 因此ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5)×＝3. (2)由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$