7.4.1 二项分布(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学1 n重伯努利试验 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 两个试验 重复 重复 相互独立 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学2 二项分布 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 X～B(n，p) np np(1－p) 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．通过具体实例，了解伯努利试验．(重点) 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．(难点) 1．通过对伯努利试验和二项分布等概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．利用二项分布解决实际应用问题，提升数学运算、数学建模等核心素养. 　要研究抛掷硬币时出现的统计规律性，需要在相同的条件下多次重复做此试验． (1)试验结果有哪些？ [提示]　正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． (2)各次试验的结果有无影响？ [提示]　无，即各次试验相互独立． ◎结论形成 1．伯努利试验：只包含__________结果的试验叫做伯努利试验． 2．n重伯努利试验 (1)定义：将一个伯努利试验独立地_____进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)n重伯努利试验的特征：①同一个伯努利试验_____做n次；②各次试验的结果_____________. 　射击比赛时，某射击运动员连续射击3次，每次击中靶心的概率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次击中靶心这个事件，用Bk表示事件仅击中k次． (1)用Ai如何表示B1，并求P(B1)． [提示]　B1＝(A1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3)∪(eq \x\to(A)1A2eq \x\to(A)3)∪(eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2A3)， 因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1eq \x\to(A)2eq \x\to(A)3，eq \x\to(A)1A2eq \x\to(A)3，eq \x\to(A)1eq \x\to(A)2A3两两互斥， 故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096. (2)P(B2)和P(B3)的值是什么？ [提示]　P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(B3)＝0.83＝0.512. (3)由以上问题的结果你能得出什么结论？ [提示]　P(Bk)＝Ceq \o\al(k,3)0.8k0.23－k(k＝0,1,2,3)． ◎结论形成 1．二项分布 (1)在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝_____________________，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_______________. (2)性质：eq \i\su(k＝0,n,P)(X＝k)＝1． 2．二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝_____，D(X)＝____________ . Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的．(　　) (2)n重伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)n重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的．(　　) (4)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．下列事件：①运动员甲射击箭靶一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击箭靶一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击箭靶一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是n重伯努利试验的是(　　) A．①　 　 B．②　 　　 C．③　 　 D．④ 解析　①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验． 答案　D 3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为eq \f(4,5)，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　) A．eq \f(12,125) B．eq \f(48,125) C．eq \f(16,125) D．eq \f(96,125) 解析　播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为Ceq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝eq \f(48,125). 答案　B 4．设如果X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4,5)))，那么E(X)＝_______，D(X)＝_______. 解析　E(X)＝4×eq \f(4,5)＝eq \f(16,5)， D(X)＝4×eq \f(4,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(16,25). 答案　eq \f(16,5)　 eq \f(16,25) 题型一　求n重伯努利试验的概率eq \a\vs4\al(一题多变) 　某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为eq \f(3,5)，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次．求： (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率． [解析]　(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq \f(3,5)＝eq \f(108,3 125)； (2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有Ceq \o\al(3,5)种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n重伯努利试验概率模型．故所求概率为P＝Ceq \o\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))2＝eq \f(216,625). [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求该射手射击5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率． 解析　该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有Ceq \o\al(1,3)种情况．故所求概率为P＝Ceq \o\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))2＝eq \f(324,3 125). 解答n重伯努利试验中概率问题的几点注意 (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n重独立重复试验； (2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并； (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．　 [触类旁通] 1．某安全监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率都是0.5.求： (1)恰有两家煤矿必须整改的概率； (2)至少有两家煤矿必须整改的概率． 解析　设需整改的煤矿有X家，则X～B(5,0.5)． (1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,5)×(1－0.5)2×0.53＝eq \f(5,16). (2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整改”，其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝Ceq \o\al(0,5)×(1－0.5)0×0.55＋Ceq \o\al(1,5)×(1－0.5)1×0.54＝eq \f(3,16)， 所以至少有两家煤矿必须整改的概率为 1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16). 题型二　求二项分布的分布列、均值和方差 　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列、均值和方差． [解析]　有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均为eq \f(1,5)，3次取球可以看成3重独立重复试验，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))). ∴P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq \f(64,125)， P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq \f(48,125)， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))1＝eq \f(12,125)， P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))0＝eq \f(1,125). ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(64,125) eq \f(48,125) eq \f(12,125) eq \f(1,125) 因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，所以E(X)＝3×eq \f(1,5)＝eq \f(3,5)，D(X)＝3×eq \f(1,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(12,25). 解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“n重伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式． (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．　 [触类旁通] 2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为eq \f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列、均值和方差． 解析　由题意可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4)))， 所以P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3－k(k＝0,1,2,3)． P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq \f(1,64)， P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)·eq \f(3,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq \f(9,64)， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2·eq \f(1,4)＝eq \f(27,64)， P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq \f(27,64). 所以分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,64) eq \f(9,64) eq \f(27,64) eq \f(27,64) 因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4)))，所以E(X)＝3×eq \f(3,4)＝eq \f(9,5)， D(X)＝3×eq \f(3,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(9,16). 题型三　二项分布的综合应用 　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3). (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． [解析]　(1)由ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则P(ξ＝k)＝Ceq \o\al(k,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5－k，k＝0,1,2,3,4,5. 即P(ξ＝0)＝Ceq \o\al(0,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5＝eq \f(32,243)； P(ξ＝1)＝Ceq \o\al(1,5)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq \f(80,243)； P(ξ＝2)＝Ceq \o\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq \f(80,243)； P(ξ＝3)＝Ceq \o\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq \f(40,243)； P(ξ＝4)＝Ceq \o\al(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4×eq \f(2,3)＝eq \f(10,243)； P(ξ＝5)＝Ceq \o\al(5,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5＝eq \f(1,243). 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P eq \f(32,243) eq \f(80,243) eq \f(80,243) eq \f(40,243) eq \f(10,243) eq \f(1,243) (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq \f(1,3)，k＝0,1,2,3,4， 即P(η＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0×eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)； P(η＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)； P(η＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27)； P(η＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq \f(1,3)＝eq \f(8,81)； P(η＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4×eq \f(1,3)＝eq \f(16,243)； P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5＝eq \f(32,243). 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P eq \f(1,3) eq \f(2,9) eq \f(4,27) eq \f(8,81) eq \f(16,243) eq \f(32,243) (3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5＝eq \f(211,243). [素养聚焦] 在利用二项分布解决简单的实际问题时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等词语的意义，在解题过程中，提升数学建模等核心素养. 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．　 [触类旁通] 3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq \f(2,3)和eq \f(3,4).假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率； (2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； (3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 解析　用A表示事件甲射击一次击中目标，B表示事件乙射击一次击中目标，则A，B相互独立，且P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(3,4). (1)用C表示事件甲射击4次，至少有1次未击中目标，则P(C)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq \f(65,81). (2)用D表示事件两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次，∴P(D)＝Ceq \o\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·Ceq \o\al(3,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3·eq \f(1,4)＝eq \f(1,8). (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2两次至多一次未击中目标，故所求概率P＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2))·eq \f(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq \f(16,243). 知识落实 技法强化 1．n重伯努利试验的概念及特征． 2．二项分布的概念及表示. 在数学建模过程中常出现对二项分布的判断错误. $$