7.3.1 离散型随机变量的均值(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学 离散型随机变量的均值 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 平均水平 aE(X)＋b p 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．能记住离散型随机变量均值的意义和性质，能计算简单离散型随机变量的均值．(重点) 2．会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平．解决一些相关的实际问题．(重点、难点) 1．通过离散型随机变量的均值概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过离散型随机变量均值的定义和性质的应用，提升数学运算、数学建模等核心素养. 　设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6kg,5个重7 kg. (1)任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？ [提示]　X＝5,6,7. (2)X取上述值时，对应的概率分别是多少？ [提示]　P(X＝5)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)， P(X＝6)＝eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)， P(X＝7)＝eq \f(5,12). (3)如何求每个西瓜的平均重量？ [提示]　eq \f(5×4＋6×3＋7×5,12)＝5×eq \f(1,3)＋6×eq \f(1,4)＋7×eq \f(5,12)＝eq \f(73,12). ◎结论形成 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝________________________＝__________为随机变量X的均值或数学期望，简称期望． eq \a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,x)ipi) (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的_____________. (3)性质：E(aX＋b)＝__________________. 2．两点分布的均值，如果随机变量X，服从两点分布，那么E(X)＝___. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) (4)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) 则X的均值E(X)等于(　　) A．eq \f(3,2)　　　　　　　　 B．2 C．eq \f(5,2) D．3 解析　E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2). 答案　A 3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0 B．eq \f(1,2) C．1 D．－1 解析　因为P(X＝1)＝eq \f(1,2)，P(X＝－1)＝eq \f(1,2)， 所以由均值的定义得E(X)＝1×eq \f(1,2)＋(－1)×eq \f(1,2)＝0. 答案　A 4．设E(X)＝4, 则E(2X－5)＝_______. 解析　E(2X－5)＝2E(X) －5＝3. 答案　3 题型一　求离散型随机变量的均值 　某4S店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)．若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠． (1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”； (2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X的分布列及数学期望E(X)． [解析]　(1)个位数字为4的“三位递减数”有984,974,964,954,874,864, 854,764,754,654，共10个． (2)由题意，不同的“三位递减数”共有Ceq \o\al(3,10)＝120(个)． 小明得到的优惠金额X的取值可能为5,3,1． 当X＝5时，三个数字之和可能为20或10， 当三个数字之和为20时，有983,974,965,875，共4个“三位递减数”； 当三个数字之和为10时，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8个“三位递减数”， 所以P(X＝5)＝eq \f(4＋8,120)＝eq \f(1,10). 当X＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”， 故P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(3,5)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,5)－12,120)＝eq \f(48,120)＝eq \f(2,5). 故P(X＝1)＝1－P(X＝5)－P(X＝3)＝1－eq \f(1,10)－eq \f(2,5)＝eq \f(1,2). 所以他得到的优惠金额X的分布列为 X 5 3 1 P eq \f(1,10) eq \f(2,5) eq \f(1,2) 数学期望E(X)＝5×eq \f(1,10)＋3×eq \f(2,5)＋1×eq \f(1,2)＝2.2(万元)． [素养聚焦] 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.在解答此类问题的过程中，提升数学建模和数学运算核心素养. 解答均值运用问题的三个步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．　 [触类旁通] 1． 一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球． (1)求取出的3个球编号都不相同的概率； (2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望． 解析　(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝eq \f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq \f(28,84)＝eq \f(1,3)， 所以P(A)＝1－P(B)＝eq \f(2,3). (2)X的取值为1,2,3,4. P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,7)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq \f(49,84)， P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,9))＝eq \f(25,84)， P(X＝3)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq \f(9,84)， P(X＝4)＝eq \f(1,C\o\al(3,9))＝eq \f(1,84). 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P eq \f(49,84) eq \f(25,84) eq \f(9,84) eq \f(1,84) X的数学期望E(X)＝1×eq \f(49,84)＋2×eq \f(25,84)＋3×eq \f(9,84)＋4×eq \f(1,84)＝eq \f(130,84)＝eq \f(65,42). 题型二　离散型随机变量均值的应用 　某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润． (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求Y的分布列及均值E(Y)． [解析]　(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，eq \x\to(A)表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”． P(eq \x\to(A))＝(1－0.4)3＝0.216，P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝1－0.216＝0.784. (2)Y的可能取值为200元，250元，300元． P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4， P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此Y的分布列为 Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)． 1．实际问题中的均值问题 对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论，对实际问题作出判断． 2．概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． 均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．　 [触类旁通] 2．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 解析　(1)设下周一无雨的概率为p， 由题意知，p2＝0.36，p＝0.6， 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5， 则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1．6－a， 综上，当额外聘请工人的成本高于1．6万元时，不外聘工人；成本低于1．6万元时，外聘工人；成本恰为1．6万元时，是否外聘工人均可以． 题型三　离散型随机变量均值的性质eq \a\vs4\al(一题多变) 　已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) 若Y＝－2X，则E(Y)＝_______. [解析]　由随机变量分布列的性质， 得eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1， 解得m＝eq \f(1,6)， ∴E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30). 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)， 即E(Y)＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))＝eq \f(17,15). [答案]　eq \f(17,15) [母题变式] (变结论)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－eq \f(11,2)，求a的值． 解析　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq \f(17,30)a＋3＝－eq \f(11,2)，所以a＝15. 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．　 [触类旁通] 3．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　) ξ 1 2 3 4 P eq \f(1,4) m n eq \f(1,12) A．eq \f(1,3)　　 B．eq \f(1,4)　　 　 C．eq \f(1,6)　　 D．eq \f(1,8) 解析　因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7， 即E(η)＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34. 所以2m＋3n＝eq \f(5,3)，① 又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1， 所以m＋n＝eq \f(2,3)，② 由①②可解得m＝eq \f(1,3). 答案　A 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的均值． 2．离散型随机变量的均值的性质． 3．两点分布的均值. 解题时常出现不会应用均值对实际问题作出正确分析. $$