7.2 离散型随机变量及其分布列(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是(　　) A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 解析　将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对． 答案　ABC 2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标 解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C. 答案　C 3．若随机变量η的分布列如下： η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　) A．x≤1　　　　　　　 B．1≤x≤2 C．1<x≤2 D．1≤x<2 解析　由分布列知， P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P(η<2)＝0.8，故1<x≤2. 答案　C 4．若随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a＝1，∴a＝. ∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝. 答案　D 5．一批产品共有12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________． 解析　可能第一次就取得合格品，也可能取完次品后才取得合格品，所以X的结果有0,1,2,3. 答案　0,1,2,3 6．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么P(X＝1)＝________，n＝________. 解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3， ∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10. 答案　0.1　10 7．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值时的概率是________． 解析　由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 答案　0.6 8．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S . (1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的样本点； (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列． 解析　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0， 所以事件A包含的样本点为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X －1 0 1 P a b c A．a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. 由分布列的性质，得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1) ＝1－P(X＝0)＝1－＝. 答案　BD 10．抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)． 抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以P(X≤4)＝＋＋＝. 答案　A 11．设随机变量X的分布列P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________，P(X≥2)＝________. 解析　由已知得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P ∴＋＋＝1，∴k＝. ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝. 答案　　 12．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________． 解析　由题意知X＝1,2,3. P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列为 X 1 2 3 P 答案　 X 1 2 3 P 13.甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立． (1)求甲校以3∶1获胜的概率； (2)记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布． 解析　(1)甲校以3∶1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局， P＝C····＋2×× ＝＋＝. (2)ξ的所有可能取值为1,2,3， P(ξ＝1)＝2×＋2×＝， P(ξ＝2)＝＋C····＋2××＝， P(ξ＝3)＝1－－＝， 故ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 P [核心价值·探索创新] 14．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　) A． B． C．[－3,3] D．[0,1] 解析　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝， 由解得－≤d≤. 答案　B 15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P(5≤X≤25)的值． 解析　(1)该顾客中奖的概率P＝1－＝1－＝. (2)X的可能取值为0,10,20,50,60. P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝， P(X＝60)＝＝. 故随机变量X的分布列为 X 0 10 20 50 60 P 所以P(5≤X≤25)＝P(X＝10)＋P(X＝20)＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$