7.1.1 第2课时 概率的乘法公式(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.1　条件概率 第2课时　概率的乘法公式 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学 概率的乘法公式 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 P(A)P(B|A) 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．理解概率的乘法公式及其推导过程．(难点) 2．结合古典概型，利用概率的乘法公式求事件的概率．(重点) 1． 通过概率的乘法公式的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用概率的乘法公式求事件的概率，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 　设A，B为两个事件，且P(A)＞0，如果已知P(A)，P(B|A)，怎样求P(AB)? [提示]　因为P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)． ◎结论形成 由条件概率的定义知对于任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝_______________，称为概率的乘法公式． 拓展：对于任意两个事件A与B，若P(B)＞0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(AB)＝P(B)P(B|A)．(　　) (2)P(B)＝P(AB)P(B|A)．(　　) (3)P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)．(　　) (4)若A∩B＝∅，则P(A|B)＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若P(A|B)＝eq \f(1,9)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(AB)的值是(　　) A．eq \f(1,27)　　　　　　　　 B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,9) D．eq \f(1,4) 解析　由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝eq \f(1,9)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27). 答案　A 3．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为(　　) A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 解析　设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B， 则由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8， 所以她两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)×P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48. 故选C. 答案　C 4．已知P(B)＝0.1，P(A|B)＝0.3，则P(BA)＝_______. 解析　P(BA)＝P(B)P(A|B)＝0.1×0.3＝0.03. 答案　0.03 题型一　概率的乘法公式的简单应用 　(1)一个盒子中装有2个红球、8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是(　　) A．eq \f(4,5)　　　　　　　　 B．eq \f(2,9) C．eq \f(2,45) D．eq \f(8,45) (2)已知P(A)＝0.28，P(B|eq \x\to(A))＝0.5，则P(Beq \x\to(A))＝_______. [解析]　(1)由题意可知第一次取出的是黑球，设为事件A，第二次取出红球设为事件B，则P(A)＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)，P(B|A)＝eq \f(2,9)， 所以第二次才取出红球的概率是P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(4,5)×eq \f(2,9)＝eq \f(8,45). (2)因为P(A)＝0.28， 所以P(eq \x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.28＝0.72， 则P(Beq \x\to(A))＝P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A))＝0.72×0.5＝0.36. [答案]　(1)D　(2)0.36 在乘法公式P(BA)＝P(A)P(B|A)中有三个量：P(A)，P(BA)，P(B|A)，在这三个量中，只要已知其中两个，就可以利用公式求另外一个．　 [触类旁通] 1．已知P(AB)＝0.18，P(A)＝0.6，则P(B|A)＝_____. 解析　P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝0.3. 答案　0.3 题型二　概率的乘法公式的实际应用 　假设在市场上出售的电脑中，甲品牌的占80%，合格率为90%，乙品牌的占20%，合格率也为90%，在市场上随机买一台电脑， (1)求该电脑是甲品牌合格品的概率； (2)求该电脑是乙品牌不合格的概率． [解析]　(1)用A表示买到的电脑是甲品牌，用B表示买到的电脑是合格品，则P(A)＝80%， P(B|A)＝90%， 所以该电脑是甲品牌合格品的概率 P(BA)＝P(A)P(B|A)＝80%×90%＝0.72. (2)由(1)知，P(eq \x\to(A))＝20%，P(eq \x\to(B)|eq \x\to(A))＝1－90%＝10%， 所以该电脑是乙品牌不合格的概率 P(eq \x\to(B) eq \x\to(A))＝P(eq \x\to(A)) P(eq \x\to(B)|eq \x\to(A))＝20%×10%＝0.02. 在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分P(B|A)和P(A|B)的不同，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；而P(A|B)则表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．　 [触类旁通] 2．在一次篮球比赛中，假如运动员小明有两次投篮机会，按照以往的比赛成绩，小明第一次投进的概率是0.6，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮也命中的概率是0.5，求小明两次投篮都命中的概率． 解析　设Ai表示小明第i次投篮命中，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.6，P(A2|A1)＝0.5， 因此由乘法公式可得 P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.6×0.5＝0.3， 即小明两次投篮都命中的概率为0.3. 题型三　概率的乘法公式与古典 概型等知识的交汇应用eq \a\vs4\al(一题多解一题多变) 　在一个不透明的盒子中有10个大小相同的小球，其中6个红色的小球、4个白色的小球，不放回地从盒子中连续取两次小球，每次任取2个小球，求： (1)第一次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小球的概率； (2)第一次取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球的概率． [解析]　法一(利用乘法公式) (1)设A表示第一次取到2个红色的小球，B表示第二次取到2个红色的小球，则P(A)＝eq \f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))，因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出2个红色的小球后，盒子中还有8个小球，其中4个小球是红色的，此时第二次再取出小球时，取到的也是2个红色的小球的概率是P(B|A)＝eq \f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,8))，根据乘法公式可知，第一次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小球的概率为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))×eq \f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,8))＝eq \f(1,14). (2)设A表示第一次取到2个白色的小球，B表示第二次取到2个红色的小球，则P(A)＝eq \f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))， 因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出2个白色的小球后，盒子中还有8个小球，其中6个小球是红色的，此时第二次再取出小球时，取到的是2个红色的小球的概率是P(B|A)＝eq \f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,8))，根据乘法公式可知，第一次取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球的概率是P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))×eq \f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,8))＝eq \f(1,14). 法二(利用排列组合和古典概型) (1)把问题转化为从盒子中每次任取两个小球，连续取两次，这两次取出的都是红色小球的概率，设事件A为：第一次取到2个红色的小球且第二次也取到2个红色的小球，所以P(A)＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(2,10)C\o\al(2,8))＝eq \f(1,14). (2)把问题转化为从盒子中每次任取两个小球，连续取两次，第一次取到2个白色的小球，第二次取到2个红色的小球的概率，设事件B为：第一次取到2个白色的小球且第二次取到2个红色的小球，所以P(B)＝eq \f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10)C\o\al(2,8))＝eq \f(1,14). [母题变式] (变结论)本例的条件不变，求第一次取到的2个小球颜色不同，且第二次也取到的2个小球颜色也不同的概率． 解析　设A表示第一次取到2个颜色不同的小球，B表示第二次取到2个颜色不同的小球， 则P(A)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))， 因为取出的两个小球不放回，所以第一次取出2个不同颜色的小球后，盒子中还有8个小球，其中5个小球是红色的，3个是白色的，此时第二次再取出小球时，取到的也是2个不同颜色的小球的概率是P(B|A)＝eq \f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))，根据乘法公式可知，第一次取到的2个的小球颜色不同，且第二次也取到的2个小球颜色也不同的概率为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))×eq \f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq \f(2,7). [素养聚焦] 在解决求较复杂事件的概率问题时，要善于应用题目条件套用概率的乘法公式，通过解决此类问题提升逻辑推理、数学运算核心素养. 解决此类综合性较强的问题，一般步骤是： (1)设出事件，判断两个事件的关系； (2)理解题意，根据题意把问题转化为条件概率问题； (3)利用乘法公式求解．　 [触类旁通] 3．从1,2,3,4,5,6,7,8这8个数中不放回地抽取两次，每次都抽取2个数，若已知第一次抽到的2个数是偶数，求第二次抽到的2个数的和是偶数的概率． 解析　这8个数中，有4个奇数，4个偶数，设事件A为第一次抽取的2个数是偶数，事件B表示第二次抽到的2个数的和是偶数，则P(A)＝eq \f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,8))， 第一次抽取2个偶数后，还剩下6个数，其中2个偶数，4个奇数，此时第二次抽到的2个数的和是偶数的概率为P(B|A)＝eq \f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))， 根据乘法公式可知，第一次抽到的2个数是偶数，第二次抽到的2个数的和是偶数的概率为 P(BA)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,8))×eq \f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq \f(1,10). 知识落实 技法强化 1．概率乘法公式的简单应用． 2．概率乘法公式的实际应用． 3．乘法公式与古典概型的交汇应用. 解题时根据公式的变形形式确定如何使用. $$