第6章 习题课计数原理的综合应用 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为(　　) A．2　　　　　　　　 B．4 C．8 D．15 解析　完成xy这件事分两步， 第一步：从集合{1,2,3,4}选一个数，共有4种选法； 第二步：从集合{5,6,7,8}选一个数，共有4种选法： 共有4×4＝16种选法．其中3×8＝4×6，所以xy可表示的不同值的个数为15. 答案　D 2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144 B．120 C．72 D．24 解析　剩余的3个座位共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.故选D. 答案　D 3.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　) A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 解析　如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线． 答案　D 4．(多选题)现有3名老师，8名男学生和5名女学生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是(　　) A．只需1人参加，有16种不同选法 B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同选法 C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法 D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法 解析　选项A，分三类：取老师有3种选法，取男学生有8种选法，取女学生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法，故A正确； 选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男学生，第三步选女学生，故共有3×8×5＝120种选法，故B正确； 选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男学生，第二类选女学生，故共有3×＝39种选法，故C正确； 选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误． 故选ABC. 答案　ABC 5．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个． 解析　根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)． 答案　36 6．某中学高二(1)班一学生由教学楼五层走到一层去做课间操，每层均有两个楼梯，则他的走法有________种． 解析　利用分步乘法计数原理即可求出结果． 共分4步：五层到四层2种，四层到三层2种，三层到二层2种，二层到一层2种， 一共24＝16种． 答案　16 7．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有______个． 解析　分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4, 共4种情况，分别求得满足题意的“好数”的个数，根据分类加法计数原理，即可得答案． 当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况． 当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种结果， 当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种结果， 根据分类加法计数原理可知，共有12种结果． 答案　12 8．现有3名医生、5名护士、2名麻醉师． (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？ (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 解析　(1)分三类： 第一类，选出的是医生，有3种选法； 第二类，选出的是护士，有5种选法； 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法． 根据分类加法计数原理，共有3＋5＋2＝10种选法． (2)分三步： 第一步，选1名医生，有3种选法； 第二步，选1名护士，有5种选法； 第三步，选1名麻醉师，有2种选法． 根据分步乘法计数原理知，共有3×5×2＝30种选法． [关键能力·综合提升] 9．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14　　 B．13 C．12　　 D．10 解析　由已知得ab≤1． 若a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能； 若a＝2时，b＝－1,0，有2种可能． ∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. 答案　B 10．某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(　　) A．18 B．24 C．36 D．72 解析　由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案．②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，方法有3种，共3×2×3＝18(种)分配方案．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种)． 答案　C 11．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组． 解析　分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60(组)． 答案　60 12．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为____________，奇数的个数为______． 解析　若要求组成的数字是偶数，分为两步，从0和2中任选一个数字放在个位，有2种选法，从1,3,5中选1个数字，放在百位有3种选法，再选1个数字放在十位，有2种选法，因此共有2×3×2＝12个偶数． 若是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(1种情况)，共6种，因此奇数总共有12＋6＝18(个)． 答案　12　18　 13．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ ① ② ④ ③ 解析　依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色． 第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成． 第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法； 第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种)． 第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成． 第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法． 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)． 综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种) . [核心价值·探索创新] 14．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　) A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 解析　由题意必得a1＝0，a8＝1，具体情况如下：00001111,00010111,00011011,00011101，00100111,00101011,00101101,00110011,00110101，01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个． 答案　C 15．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色． (1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值． 解析　完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数． (1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种)． (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3)． ∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120， ∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0， 即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0. ∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)． ∴n＝5(负值舍去). 学科网（北京）股份有限公司 $$