18.2特殊的平行四边形练习2024-2025学年人教版数学八年级下册

18.2特殊的平行四边形 练习 一、单选题 1．如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，连接，点N，M分别为的中点，连接若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．已知四边形是平行四边形，若再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形是正方形，则下列四种选法，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 3．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长（   ） A． B． C． D． 4．已知：如图，在矩形中，点为上一点，平分，点为的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 7．如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知如图，在中，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 9．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形纸片中，，点E为边上的一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则的长为（   ） A．7 B．8 C．8.6 D．9 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B的坐标分别为，C，D两点在第二象限内，过点D作轴于点F，交对角线于点E，连接，则的周长为（   ） A．30 B．28 C．26 D．24 12．如图，在矩形中，，点F是边上的一点，且，连接，的垂直平分线交的延长线于点E，交于点P，连接交于点H，点H为边的中点，则的长为（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 二、填空题 13．如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 14．如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ． 15．如图所示，为长方形纸片的边上一点，连接，将沿翻折，使得点的对应点落在对角线上．若，则的长为 ．    16．如图，在正方形中，点E是边的中点，若，则的长为 ．    三、解答题 17．如图，已知矩形（）． (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： ①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接，； ②作的平分线交于点． (2)在（1）中所作出的图形中若，，求的长． 18．如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线PF分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的周长． 19．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 20．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，． (1)求证： ； (2)若时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D A C B B B 题号 11 12 答案 D C 1．B 【分析】连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质可得，，由平行线的性质和对顶角相等可得，，证得，可得，，再根据三角形中位线定理可得，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 点为的中点， ， 又， ， ，， 又点为的中点，点为的中点， ， 点、为边、的中点，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、平行线的性质、三角形中位线定理、勾股定理，正确构造全等三角形得出是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查添加条件使四边形为正方形，根据正方形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，菱形是正方形； 故当选择①④时，四边形是正方形； ∵四边形是平行四边形， ∴，， 故当两个条件中有②或者③时，均不能得到四边形是正方形， 故选C． 3．C 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明四边形是菱形，得，根据矩形的性质得，即可得解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， 四边形的周长， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质得，，，，又，则，故有，同理，设，，所以，，然后用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故选：． 5．D 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图，   平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 6．A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查勾股定理 ，正方形的性质 ，三角形全等的判定和性质；过点作于点，取的中点，连接，根据正方形的性质证出 ，再根据直角三角形的性质得出，得到当共线时，有最小值，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，平行四边形的判定与性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 根据平移可知，， ， 四边形是平行四边形， ． 方案甲，添加不能判断四边形是菱形； 方案乙，由， 平行四边形是菱形； 方案丙， ， ， ∵， ， ， 平行四边形是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选B． 9．B 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，则是等边三角形， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴图形的面积是，(此时点重合) 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了图形的折叠，矩形的性质和勾股定理，先根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出， 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， 在中， 故选：B. 11．D 【分析】先证明，得，如图所示，过点作轴于点，再证，得出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在与中， ， ， 如图所示，过点作轴于点， 则四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 点坐标分别为 ， ， ， 的周长， 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 12．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键．根据线段中点的定义得到，然后证明，设，根据题意得到，然后列出方程求出即可得到答案． 【详解】解：矩形中，，点为边的中点， ，， 在和中， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 解得， 故， 故选：C． 13．5 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值是5． 故答案为：5 14． 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点， 四边形是正方形， ， 由题意可得， 四边形为菱形， ， 设， ， ， ， 而， ， 变形后四边形的面积与原正方形面积之比为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理求出，设，由折叠性质可知，所以，在中，，，由勾股定理得，即，解出，即可求解． 【详解】四边形是长方形， ， 在中，， ， 设， 由折叠性质可知， ， 在中，，， ， 即， 解得：， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，中点的性质，解题的关键是掌握相关性质．根据正方形的性质可知，结合中点的性质，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， ∵E是中点， ∴． 在中， 根据勾股定理得 ， 故答案为：． 17．(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作线段和角平分线，矩形的性质，勾股定理： （1）根据要求作图即可； （2）由作图可知：，在中，由勾股定理得，则，在中由勾股定理求得，再根据面积法得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：由作图可知：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明是等腰直角三角形可得结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：连接，和交于点N， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ∴，即是等腰直角三角形， 又∵， ∴点为的中点； （2）解：在中，， ， ， 又∵是等腰直角三角形， ， ， ， ∴的周长， 答：的周长为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 20．(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可； （2）利用全等三角形的判定和性质得出，又，再由菱形的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）在和中， ， ∴ ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； 学科网（北京）股份有限公司 $$