11.3.1 平行直线与异面直线(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．空间两条不同的直线a，b与直线l都成异面直线，则a，b的位置关系是(　　) A．平行或相交 B．异面或平行 C．异面或相交 D．平行或异面或相交 解析　直线a，b与直线l都成异面直线，a与b之间并没有任何限制，所以直线a与b平行或异面或相交，故选D. 答案　D 2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是(　　) A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行 解析　如图①，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，但OB与O1B1不平行，故排除A，B；如图②，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，此时OB∥O1B1，故排除C．故选D. 答案　D 3．(2024·重庆南岸高一期中)在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AD与BC是(　　) A．平行直线　　　 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 解析　作出正四面体ABCD，如图， 因为BC⊂平面BCD，D∈平面BCD，D∉BC，A∉平面BCD， 所以AD与BC是异面直线． 答案　C 4．(2024·山东潍坊高一期中)在三棱锥P­ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝(　　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°. 答案　D 5．已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________． 解析　如图所示，因为M，N分别为CD，AD的中点，所以MN∥AC， 又因为AC∥A′C′，且AC＝A′C′， 所以MN∥A′C′.即MN∥A′C′. 答案　平行 6．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________． 解析　如图所示． ∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点， ∴MN∥AC，且MN＝AC，PQ∥AC且PQ＝AC， 即MN∥PQ且MN＝PQ， ∴四边形MNPQ是平行四边形． 又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ， ∴平行四边形MNPQ是矩形． 答案　矩形 7．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________. 解析　∵＝＝＝，∴AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′. 由等角定理得∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′， ∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝， ∴＝×＝. 答案　 8．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由． 解析　如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求． 理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC． [关键能力·综合提升] 9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．异面 C．平行 D．无法确定 解析　如图，连接AD1，CD1，AC， 则E，F，G，H分别为AD1，CD1，AB，BC的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC， 所以EF∥GH. 答案　C 10．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则(　　) A．p⇒q，但qD/⇒p B．q⇒p，但pD/⇒q C．p⇔q D．pD/⇒q且qD/⇒p 解析　因为空间两条直线的位置关系是相交、平行或异面，若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2可能平行或异面．故p⇒q，qD/⇒p，故选A． 答案　A 11．(多选题)如图所示，若Ω是长方体ABCD­A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中正确的是(　　) A．EH∥B1C1 B．平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG C．∠ABC＝∠A1B1C1 D．Ω是棱台 解析　因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以由公理4，可知EH∥B1C1，故A正确；显然平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，故B正确；在长方体ABCD­A1B1C1D1中，由长方体的性质可得：A1B1∥AB，B1C1∥BC，且方向相同，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1，故C正确；根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)，又EH∥B1C1，因此，几何体Ω不是棱台． 答案　ABC 12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为________． 解析　由题意得EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD且EH＝BD＝3，∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4， 由空间平行线的传递性知，EH∥GF， ∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h， 即＝28，得h＝8. 答案　8 13．已知点E，E′分别是正方体ABCD­A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．求证： (1)四边形BB′E′E为平行四边形；(2)∠BEC＝∠B′E′C′. 证明　(1)如图所示，因为点E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′. 所以四边形AEE′A′是平行四边形． 所以AA′∥EE′， 且AA′＝EE′.又AA′∥BB′，且AA′＝BB′， 所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′. 所以四边形BB′E′E是平行四边形． (2)由(1)知，四边形BB′E′E为平行四边形， 所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′. 又因为∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同， 所以∠BEC＝∠B′E′C′. [核心价值·探索创新] 14．如图所示，已知三棱锥ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　) A．MN≥(AC＋BD) B．MN≤(AC＋BD) C．MN＝(AC＋BD) D．MN<(AC＋BD) 解析　如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE， 则ME＝AC，NE＝BD， 所以ME＋NE＝(AC＋BD)． 在△MNE中，有ME＋NE>MN， 所以MN<(AC＋BD)． 答案　D 15．在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形． 证明　因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BCAD的中点， 所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD)， 又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB. 因为G，H分别为AD′，BC′的中点， 所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′) ＝(AB＋CD)， 所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $$