11.1.5 旋转体(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十一章　立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.5　旋转体 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 一边 一直角边 垂直于 底边的腰 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 圆柱OO′ 圆锥SO 圆台O′O 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 轴 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 球的概念及几何特征 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 球面 半圆 它的直径 定长 球O 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 圆心 线段 球心 球面被经过球心 4πR2 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十一章　立体几何初步 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义． 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点) 3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点) 4．会求球的表面积. 1.通过将现实生活中的实物抽象成旋转体，培养数学抽象核心素养． 2．通过圆柱、圆锥、圆台及球的相关计算，培养数学运算及直观想象核心素养. 上图中的几何体是多面体吗？ [提示]　不是． 以直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转360°而形成的曲面所围成的几何体是圆锥吗？ [提示]　不是，绕斜边旋转所得的是两个圆锥． 能否由圆锥得到圆台？ [提示]　用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到． ◎结论形成 圆柱、圆锥、圆台的概念与结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 定义 以矩形的_____为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体叫圆柱. 以直角三角形的__________所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体叫圆锥. 以直角梯形中________ __________所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体叫圆台. 图形 及 表示 图中的圆柱记作__________. 图中的圆锥记作__________. 图中的圆台记作_____________. 侧面 展开图 结构 特征 两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，轴截面是全等的矩形. 底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不同的圆，轴截面是全等的等腰三角形. 上、下底面是平行且大小不同的圆面，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不同的圆，轴截面是全等的等腰梯形． 轴截面 在旋转体中，通过___的平面所得到的截面简称为轴截面. 球可以看作半圆绕它的直径旋转一周而形成的吗？ [提示]　可以． 球与球面是相同的概念吗？ [提示]　球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的几何体，而球面只指球的表面部分． ◎结论形成 球的概念与结构特征 球及相关概念 图形及表示 定义 _____围成的几何体称为球． 图中的球记作_____. 相关 概念 (1)球面 定义1：一个_____绕着__________所在的直线旋转一周所形成的曲面． 定义2：球面可以看成空间中到一个定点的距离等于_____的点的集合． 相关 概念 (2)球心：形成球面的半圆的_____． (3)半径：连接球面上一点和球心的_____． (4)直径：连接球面上两点并且通过_____的线段． (5)大圆：__________________的平面截得的圆． (6)小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆． 表面积 S＝__________.(R为球的半径) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆锥过轴的截面是一个等腰三角形．(　　) (2)直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的几何体是圆锥．(　　) (3)下图中的几何体是圆锥．(　　) (4)圆锥的母线长一定大于底面圆的半径．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列几何体中不是旋转体的是(　　) 解析　由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体． 答案　D 3．(多选题)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体可能是(　　) A．圆锥　　　　　　 B．圆柱 C．球 D．棱柱 解析　棱柱的任何截面都不可能是圆面． 答案　ABC 4．如图所示立体图形是由哪个平面图形旋转得到的(　　) 解析　组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确． 答案　D eq \x(题型一　旋转体的结构特征) (多选题)下列四种说法中，正确的是(　　) A．在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线相互平行 [解析]　A所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．C所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．B、D符合圆锥、圆柱母线的定义及性质． [答案]　BD 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，关于它们的结构特征，要正确把握它们概念的本质，多考虑几种可能的情形．同时，要注意旋转体的特征．　 [触类旁通] 1．下列命题中正确的是(　　) A．棱锥的高可能在几何体之外 B．上下底面平行且都是四边形的几何体是四棱台 C．圆锥的母线可以比圆锥底面圆的半径短 D．圆柱的侧面展开图不可能是正方形 解析　对于顶点在底面投影在底面多边形外的棱锥，其高在几何体之外，故A正确；上下底面平行且侧棱交于一点的几何体是四棱台，故B不正确；圆锥底面圆的半径、母线和高可以构成直角三角形，其中母线为斜边，底面圆的半径为直角边，则圆锥的母线一定比圆锥底面圆的半径长，故C不正确；当圆柱的母线长等于圆柱底面圆的周长时，侧面展开图为正方形，故D不正确． 答案　A 一题多变)eq \x(题型二　圆柱、圆锥、圆台中的计算问题　) 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． [解析]　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以eq \f(SA′,SA)＝eq \f(O′A′,OA).所以eq \f(3,3＋l)＝eq \f(r,4r)＝eq \f(1,4). 解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm. [母题变式] 1．(变条件、变结论)把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3eq \r(10) cm”，则它的轴截面的面积是_______． 解析　画出轴截面，如图， 过A作AM⊥BC于M， 则BM＝5－2＝3(cm)， AM＝eq \r(AB2－BM2)＝9 cm， 所以S四边形ABCD＝eq \f(4＋10×9,2) ＝63 cm2. 答案　63 cm2 2．(变条件、变结论)把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4”，则圆台的另一底面半径为_______． 解析　作轴截面如图， 则eq \f(r,3)＝eq \f(6－4,6)＝eq \f(1,3)，所以r＝1. 答案　1 [素养聚焦]　本题主要考查利用旋转体的轴截面或其他截面，理解运算对象，探究其运算思路，突出考查数学运算核心素养． 简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题，体现了化空间图形为平面图形的转化思想．　 [触类旁通] 2．(2024·福建莆田高一期中)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”其意思为：“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少？”若1丈＝10尺，则葛藤最少长(　　 ) A．21尺　　　　　　　 B．25尺 C．29尺 D．33尺 解析　根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， 矩形的高(即圆木长)为20尺，矩形的底边长为7×3＝21(尺)， 因此葛藤最少长eq \r(202＋212)＝29(尺)． 答案　C eq \x(题型三　球的相关计算) 已知△ABC是面积为eq \f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A．eq \r(3) B．eq \f(3,2) C．1 D．eq \f(\r(3),2) [解析]　由等边三角形ABC的面积为eq \f(9\r(3),4)，得eq \f(\r(3),4)AB2＝eq \f(9\r(3),4)，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(\r(3),3)AB＝eq \r(3).设球的半径为R，则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝eq \r(R2－r2)＝1，故选C． [答案]　C 把握住球的表面积公式S球＝4πR2是解题的关键．　 [触类旁通] 3．(2024·山东潍坊高一月考)两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是__________． 解析　球的半径为R＝13，设两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2；球的半径为R，由πreq \o\al(2,1)＝25π，得r1＝5；由πreq \o\al(2,2)＝114π，得r2＝12； 如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差； 即d1－d2＝eq \r(R2－r\o\al(2,1))－eq \r(R2－r\o\al(2,2))＝eq \r(132－52)－eq \r(132－122)＝12－5＝7； 如图②所示，当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和． 即d1－d2＝eq \r(R2－r\o\al(2,1))＋eq \r(R2－r\o\al(2,2))＝eq \r(132－52)＋eq \r(132－122)＝12＋5＝17. 所以这两个平面间的距离为7或17. 答案　7或17 [缜密思维提能区]　　　　　　　 　　易错辨析 圆柱、圆锥、圆台的结构特征 [典例]　如图所示，下列几何体中，图(1)是圆柱，图(2)是圆锥，图(3)是圆台，上述说法正确的有_______个． [解析]　图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该几何体不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的； 图(2)不是圆锥，因为该几何体不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的； 图(3)不是圆台，因为该几何体的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的． [答案]　0 [纠错心得] 判断圆柱、圆锥和圆台时，要紧扣定义，必要时可借助于模型增加直观感. 知识落实 技法强化 (1)圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． (2)旋转体的有关计算公式． (3)旋转体的有关计算公式的应用. (1)解决旋转体问题的常用方法是转化与化归． (2)同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体可能是不同的. $$