8.1.1 变量的相关关系（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

8.1.1 变量的相关关系 教学设计 1、 教学目标 1. 结合实例，体会两个变量间的相关关系； 2. 掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断． 2、 教学重难点 重点：掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断； 难点：掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断. 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 本节课面向的是已经掌握一定统计知识的高中生.学生在前面的章节中已经学习了统计的基础知识，如频率分布、平均数、方差等，为本节课的学习打下了基础.学生整体对数学的兴趣较高，但对统计相关内容的理解程度存在差异. 通过预习和课堂表现，发现大部分学生能够理解变量间的相关关系，并能够通过散点图直观认识两个变量之间的线性关系.然而，在求解线性回归直线方程时，部分学生遇到了困难，尤其是对最小二乘法的理解不够深入.此外，学生在将理论知识应用于实际问题时，也表现出一定的不足. 针对学生在求解线性回归直线方程时遇到的问题，教师需要加强讲解和示范，通过更多的例题和习题帮助学生掌握求解方法.同时，鼓励学生将理论知识与实际生活相结合，通过解决实际问题来加深对相关关系的理解.此外，教师还可以采用分层教学的方式，针对不同水平的学生提供个性化的指导和帮助，确保每位学生都能在课堂上有所收获. 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第八章《成对数据的统计分析》，本节课主要学习《变量的相关关系》. 本节内容主要探讨成对数据的统计相关性，是高中数学统计知识的重要组成部分.教材通过引入散点图等直观工具，帮助学生理解变量之间的相关关系，并进一步引入样本相关系数，定量描述这种关系的强度和方向. 教材设计注重循序渐进，先通过实例引导学生理解相关关系的概念，再通过散点图直观展示变量之间的相关性.在此基础上，教材引入样本相关系数的计算方法和意义，使学生能够量化评估变量之间的相关程度. 此外，教材还强调相关关系与函数关系的区别，帮助学生建立准确的数学概念.通过对比学习，学生能够更深刻地理解相关关系的不确定性和随机性.同时，教材还提供了丰富的例题和习题，供学生巩固所学知识和提高解题能力. 在教学过程中，教师应充分利用教材资源，结合学生实际情况，灵活运用教学方法，确保学生能够全面理解和掌握本节内容. 4、 教学过程 1．创设背景，引入新知 发现现象背后的知识 1．根据犯罪分子在作案过程中遗留的脚印，能够对罪犯的性别、年龄、身高、走路姿势等方面分析画像，而且能起到揭露和证实犯罪的重要作用. 2.水稻是喜光植物，经研究发现，水稻的产量与光照时间有着某种必然的联系，最开始随着光照时间的增长，产量增大，之后产量趋于平缓，随着时间增长不再增加，时间继续增加，产量会下降． 在必修课程中，我们学习了单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画等知识与方法．例如，用直方图描述样本数据的分布规律，用均值刻画样本数据的集中趋势，用方差刻画样本数据的离散程度等．这些方法主要适用于通过样本认识单个变量的统计规律． 在现实中，我们还经常需要了解两个或两个以上变量之间的关系．例如: 为掌握学生身体健康状况，需要了解身高变量和体重变量之间的关系； 医疗卫生部门要制定预防青少年近视的措施，需要了解有哪些因素会影响视力； 商家要根据顾客的意见改进服务水平，希望了解哪些因素影响服务水平等等． 为此，我们需要进一步学习通过样本推断变量之间关系的知识和方法． 2．探究新知 引言：我们知道，如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y然而，现实世界中还存在这样的情况：两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度.例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值. 那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢？ 教师：对于人的身高与体重来说，一般而言，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小.但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素。 问题：上述情境中身高与体重之间到底具有怎样的关系？ 学生：思考，并尝试得出答案. 预设：身高与体重两变量间确实存在关系，但又不具备确定性，即当自变量取值一定时，因变量取值带有随机性的两个变量的关系，就称为变量间的相关关系． 定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 辨析：注意：①相关关系是一种不确定性关系； ②相关关系是相对于函数关系而言的. 思考：相关关系和函数关系的区别 预设：相同点：均是指两个变量的关系．不同点：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系. 要求： 两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在. 请举例. 学生：联系生活，找出现实中的具有相关关系的事例. 预设：1.子女身高y与父亲身高x之间的关系.一般来说，父亲的个子高，其子女的个子也会比较高；父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮.但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高. 2.商品销售收入y与广告支出x之间的关系.一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高.但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与产品质量、居民收入等因素有关. 3.空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系.一般来说，汽车保有量增加，空气污染指数会上升.但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素. 4.粮食亩产量y与施肥量x之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高.但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响. 思考：以上例题中的相关关系应该如何去描述？ 预设：因为在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系.对上述各例中两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验做出推断.“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经经验推断又有不足.因此，在研究两个变量之间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断. 【设计意图】该情境从解决现实问题需求出发，引入“相关关系”的概念，让学生了解概念内涵 与外延的同时体会到引入“相关关系”的必要性。 探究：在对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中, 科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据, 如下表, 表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个个体的观测结果, 它们构成了成对数据. 根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系? 学生：观察数据，尝试着得出结论 预设：为了更加直观地描述上述成对数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征.用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象. 定义:把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 思考：通过观察散点图可以发现年龄和脂肪含量之间有什么样的关系？ 学生：观察数据和散点图，得出结论 预设：由散点图可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增高的趋势.这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系. 【设计意图】数形结合，引导学生从图形角度进一步深化相关关系的内涵并总结出大致判断“相 关关系”的方法。 归纳总结：变量相关关系的分类：正相关和负相关 正相关:指的是两个变量有相同的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大,点的位置散布在从左下角到右上角的区域 负相关:指的是两个变量有相反的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变小,点的位置散布在从左上角到右下角的区域内 思考：根据下图能够推断脂肪含量与年龄这两个变量是呈什么相关？ 要求：你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗？ 学生：按要求，联系实际，举出例子 预设： 1.子女身高y与父亲身高x之间的关系. 正相关 2．商品销售收入y与广告支出x之间的关系. 正相关 3．空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系. 负相关 4．汽车的保值y与行驶里程x之间的关系. 负相关 归纳总结：线性相关和非线性相关 ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关 ②非线性相关：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 由散点图我们从数据表中得出如下结论： （1） 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系。 （2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。 （3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。 3．能力提升 类型一：变量的相关关系与函数关系的辨析 例题1 思考并判断下列几组变量之间有什么样的关系？ (1)圆的面积与半径之间的关系； (2)16岁学生的体重与身高之间的关系； (3)商品销售量与销售价格之间的关系； (4)匀速运动的物体，其运动的路程与时间之间的关系； (5)平均学习时间与学习成绩之间的关系； (6)科技创新能力与人才培养近亲繁殖率之间的关系． 预设：（1）因为，所以圆的面积与半径之间的关系为函数关系； （2）因为体重除了与身高有关系，还和性别、遗传等因素有关系， 所以16岁学生的体重与身高之间的关系为相关关系； （3）因为销售量除了与销售价格有关系，还和是否打广告等方面有关系， 所以商品销售量与销售价格之间的关系为相关关系； （4）设匀速运动的物体的速度为， 所以运动的路程与时间之间的关系为， 因此匀速运动的物体，其运动的路程与时间之间的关系为函数关系； （5）因为学习成绩除了与平均学习时间有关系外，还与学习方法等因素有关系， 所以平均学习时间与学习成绩之间的关系为相关关系； （6）因为科技创新能力除了与人才培养近亲繁殖率有关系，还有教育等因素有关系， 所以科技创新能力与人才培养近亲繁殖率之间的关系为相关关系. 总结：变量的相关关系与函数关系的辨析： ①一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系——函数关系； ②两个变量之间的关系具有随机性、不确定性——相关关系. 题型二：正相关、负相关、线性相关、非线性相关的判断 例题2 （1）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 预设：由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D （2）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 预设：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个．故选：B 归纳总结：由散点图判断正相关、负相关的方法 正相关：散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近； 负相关：散点大致落在一条从左上角到右下角的直线附近； 由散点图判断线性相关的方法： 通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响． 题型三：散点图及其应用 例题3 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据（单位：千克/亩）： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？ 预设：（1）散点图如下图所示： ， （2）从图中发现数据点大致分布在一条直线附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，施化肥量由小到大时，水稻产量由小到大，但水稻产量不会一直随化肥量的增加而增长． 归纳总结：画散点图的一般步骤 (1)建立直角坐标系，注意，两轴的长度单位可以不一致. (2)将n个数据点描在平面直角坐标系中，描出的点可以是实心点，也可以是空心点. (3)画直线时，一定要画在多数点经过的区域.具体作直线时，用一条透明的直尺边缘尽量靠近或经过大多数点，然后画出直线. 4．课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. 5．随堂限时小练 1．对两变量间的关系，下列论述正确的是（    ） A．任何两个变量都具有相关关系 B．正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系 C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【详解】 对A：当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A错误； 对B：正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以B错误； 对C：农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误； 对D：学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，所以D正确； 故选：D. 2.在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，散点的变化具有波动性，非正相关关系，A错误； 对于B，当变大时，的变化趋势也是逐渐增大，可知两个变量具有正相关关系，B正确； 对于C，当变大时，的变化趋势是逐渐减小，可知两个变量具有负相关关系，C错误； 对于D，两个变量的变化无规律，二者没有相关性，D错误. 故选：B. 3．以下是收集到的某物品的销售价格y和物品的大小x的数据： 物品大小/m2 11.5 110 80 135 105 销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22 则根据数据可以判断x，y 相关关系.(填“有”或“无”) 【详解】物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此，两个变量有相关关系. 故答案为：有 4．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是 A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 【详解】从散点图可以看出，年龄增大，脂肪含量也随之增加，故为正相关. 中间的两个点即第5、6两个点脂肪含量均低于20%，故脂肪含量的中位数小于20%. 故选：B 11．课后作业布置 作业1：完成教材：第103页练习 第3,4题 作业2：配套辅导资料对应的《变量的相关关系》.  12．课后作业答案 练习（第95页） 1．举例说明什么叫相关关系．相关关系与函数关系有什么区别？ 【解析】例如，身高与脚长的关系，一般来说，身高较高的人脚长也会较长，但身高相同的人脚长末必相同；受教育程度和收人水平的关系，一般来说，受教育程度高的人收入也较高，但受教育程度相同的人收入未必相同． 相关关系是指从总的变化趋势来看，变量之间存在着某种关系，但这种关系又不能用函数关系完全表达出来．相关关系是不确定性的数量关系，对其中一个变量的每个取值，另一个变量可能有多个不同的取值；而函数关系是确定性的数量关系，对自变量的每个取值，因变量有唯一确定的值与之对应． 相关关系：当自变量取值一定，因变量的取值带有一定的随机性(非确定性关系)， 函数关系：函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的． 相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系，因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，也可能是伴随关系． 2．根据下面的散点图，判断图中的两个变量是否存在相关关系． 【答案】(1)负相关；(2)非线性相关；(3)不相关；(4)正相关． 【解析】（1）由（1）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在线性相关关系，图像呈现左上右下趋势，说明两个变量呈负线性相关关系； （2）由（2）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条曲线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，而且是非线性相关关系； （3）由（3）的散点图可以看到，两个变量确定的散点没有落在了一条直线或者曲线附近，是杂乱无章的，所以可以判定两个变量之间不存在相关关系； （4）由（4）的散点图可以看到，两个变量确定的散点几乎落在了一条直线附近，所以可以判定两个变量之间存在相关关系，图像呈现左下右上趋势，说明两个变量呈正线性相关关系． 3．下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？ 地区 A B C D E F G H I J K 海拔/m 1250 1158 1067 457 701 731 610 670 1493 762 549 鸟的种类/种 36 30 37 11 11 13 17 13 29 4 15 3．【解析】先画鸟的种类数与海拔高度的散点图，如图所示， 从散点图中散点的分布看，鸟的种类数与海拔高度正相关，鸟的种类数在海拔高度1000m以上的明显多于在海拔高度1000m以下的．但从局部看，不管是在海拔高度1000m以上，还是在海拔高度1000m以下，鸟的种类数和海拔高度正相关都不明显． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$