18.2.3（第1课时）正方形的性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

18.2.3(第1课时) 正方形的性质 第18章 平行四边形 这样的图形生活中无处不在！它们都有什么特点呢？ 图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行） 当CD移动到CD位置，且 AD ＝AB时，此时的图形还是矩形吗？ A B C D A B C D 思考： 正方形的定义 邻边相等 矩形 〃 正方形 〃 菱形 一个角是直角 正方形 ∟ 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 用直尺和量角器测量正方形的四条边长度、四个角度数、对角线的长度及夹角度数和OA、OB、OC、OD的长度，并记录测量结果． A B C D O AB BC CD AD 根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1:正方形的四个角都是直角，四条边相等． 猜想2:正方形的对角线相等且互相垂直平分． ∠ABC ∠BCD ∠ADC ∠BAD AC BD ∠AOB OA OB OC OD 已知： 求证： 如图,四边形ABCD是正方形. 正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O. AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 图中有 8 个等腰直角三角形. A B C D O 已知： 求证： 思考： 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.   正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 正方形的特征： 1.具有平行四边形的一切特征 两组对边平行且相等, 两组对角相等,对角线互相平分 2.具有矩形的一切特征 四个角都是直角,对角线相等 3.具有菱形的一切特征 四条边都相等,对角线互相垂直且分别平分 4.既是中心对称图形,又是轴对称图形,有四条对称轴 O A B C D 矩形 正方形 平行四边形 菱形 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角为直角 一个角为直角 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系 平行四边形 四边形 正 方 形 矩形 菱形 例1 在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形? （１） （２） 解:(1)有5个正方形,9个矩形; (2)有14个正方形,36个矩形. 例2 已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线长和它的面积． 解:①这个正方形的周长=4AB=4×2=8cm; ②这个正方形的对角线长= cm (勾股定理); ③这个正方形的面积=AB×AB=2×2=4(平方厘米) O A B C D 例3 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF，DF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明. A B F D C 全等三角形有：△ AFD ≌ △AFB， △CFD ≌ △CFB，△ACD ≌ △ABD. 证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD = AB ( 正方形的四条边都相等 ). ∠DAF =∠BAF 在 △ AFD 和 △AFB 中 ∵ AF = AF， ∠DAF = ∠BAF， AD = AB， ∴△ AFD ≌△AFB ( SAS ). 例4 例5 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数． 解：在Rt△ABF与Rt△AGF中， ∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠AGF＝90°， ∴△ABF≌△AGF(HL)，∴∠BAF＝∠GAF， 同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE； 即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝(∠DAG＋∠BAG) ＝∠DAB＝45°， 故∠EAF＝45°． 例6 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长． A B C D O E F 解：过点E作EF⊥CD于F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴EF＝DF. ∵CE平分∠ACD交BD于点E， ∴EO＝EF. 又∵∠EOC＝∠EFC＝90°， EC＝EC， ∴Rt△CEO≌Rt△CEF. 例7 例8 例8 例8 定义 性质 关系 有一组邻相等，并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形. 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 正方形的性质 C 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (　　) A．对角线互相平分 B．对角线相互垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 (　　) A．14 B．15 C．12 D．17 A C A B C D E F 60° B D 45° 正方形 12cm 2a+1 6.正方形的一边和对角线的夹角为___________. 7.如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是_________. 8.已知正方形的面积为9cm²,它的周长为 _______________. 9.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________. O A B C D 10. 已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A的坐标为(0，1)， 点B的坐标为(0，0)，则点C，D的坐标分别为________ 和________．(只写一组) 11. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， 且AE=AB，则∠EBC的度数是 . A D B C O E (1，0) (1，1) 22.5° 14.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F, 若ME+MF =8cm，则AC=________. 12.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F, 则PE+PF=___. 5 30° 16cm 13.以正方形ABCD的边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____. P A B C D E F O E A B C D M A B C D E F O 15.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 ∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8. 16.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC，AC. 又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD, ∴四边形PECF是矩形, ∴PC=EF. ∴AP=PC. ∴AP=EF. 17. $$