精品解析：江苏省盐城市职教高考2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

2025年盐城市职教高考高三年级第二次模拟考试 数学试卷 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. 16 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则. 故选：C. 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模与除法的运算法则，结合复数虚部的定义即可得解. 【详解】因为， 所以由，得， 则的虚部为. 故选：D 4. 已知函数的定义域为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法得到集合，再利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】对于，有，即，解得且， 所以的定义域为， 当时，显然有，故充分性成立； 当时，取，则不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 某职业学校李老师带着2名男生和2名女生去参加技能大赛，比赛结束要进行拍照留念.若老师与学生排成一排，李老师不排在两端，且2名女生相邻，则不同的排法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 144种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法与插空法即可得解. 【详解】将2名女生看作一个整体，其内部进行排列，有种方法， 再将这个整体与2名男生进行排列，有种方法， 再将李老师插到这3个元素所形成的两个空中，有种方法， 所以不同的排法共有种. 故选：A. 6. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线方程，可表示出渐近线方程，结合渐近线的倾斜角，即可得，继而得到，结合离心率，即可化简求解. 【详解】因为双曲线， 所以双曲线渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线的倾斜角为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 7. 若圆柱、圆锥的底面直径、高和球的直径相同，则圆柱、圆锥、球的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆柱、圆锥、球的体积公式即可得解. 【详解】因为圆柱、圆锥的底面直径、高和球的直径相同， 设球的半径为，所以圆柱、圆锥的底面半径为，高， 所以，，， 则圆柱、圆锥、球的体积比为. 故选：C. 8. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利正弦函数的图象依次求得，再代入，结合三角函数的诱导公式即可得解. 【详解】依题意，得，得， 所以由，，得，则， 又经过点，且在附近单调递增， 所以，即， 因，即，所以或（舍去）， 则， 所以. 故选：B. 9. 二项式展开式中的系数为有理数的项共有（ ） A. 6项 B. 9项 C. 8项 D. 7项 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的展开通项公式即可得解. 【详解】对于二项式， 其通项公式为， 要使展开式中的系数为有理数，只需与为整数即可， 所以与都要为的倍数，即为偶数， 又，所以，共6个， 则满足题意的项有6项. 故选：A. 10. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质，下列函数中，不具有性质的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解题干中的性质，逐一分析检验各选项即可得解. 【详解】对于A，，则， 假设存在使得，即， 即，解得或， 所以假设成立，故A具有性质，错误； 对于B，，则， 假设存在使得，即， 整理得，方程无解， 所以假设不成立，故B不具有性质，正确； 对于C，，则 假设存在使得，即， 整理得，解得， 所以假设成立，故C具有性质，错误； 对于D，，则， 假设存在使得，即，解得， 所以假设成立，故D具有性质，错误； 故选：B. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 某网络购物平台对10000名网络购物者2020年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，则直方图中的______. 【答案】2.5## 【解析】 【分析】根据直方图中各小长方形的面积之和为1的性质进行求解. 【详解】由题意，根据直方图的性质得 ，整理得，. 解得. 故答案为：. 12. 若抛物线准线为，则直线截圆所得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程求得准线，再利用圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为抛物线可化为，则其准线为， 则圆的圆心到直线的距离为，半径为， 所以所得的弦长为. 故答案为：. 13. 若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的二倍角公式和同角三角函数间的关系即可解得. 【详解】因为，又， 则，因为，所以， 则有，即， 整理得，解得或（舍去）， 则，所以. 故答案为：. 14. 在公差不为零的等差数列中，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及基本不等式，即可求解. 【详解】因为公差不为零的等差数列中，若， 所以，且， 所以, 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 15. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，可得，继而求出，结合，可得，继而求得函数解析式，当时，易得，继而求解. 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数， 所以， 又， 所以，所以， 所以， 所以，解得， 所以， 当时， ， 所以，又， 所以 . 故答案为： 三、解答题（共90分） 16. 已知二次函数，且对于恒成立. （1）求实数的取值范围 （2）解不等式：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式恒成立的解法即可得解； （2）结合（1）中结论，利用对数不等式的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为，且对于恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知， 所以在上单调递减， 则由，得，解得， 所以的解集为. 17. 已知函数的图象过点和. （1）求实数的值 （2）证明：函数为偶函数 （3）解不等式. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用指数幂与对数的运算法则，结合对数的换底公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合奇偶函数的定义即可得证； （3）利用二次不等式的解法，结合指数幂的运算法则即可得解. 【小问1详解】 因为图象过点，， 所以，即，则， 即， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，定义域为， 所以， 则，故为偶函数. 【小问3详解】 由（1）得，， 所以不等式，可化为， 即，可化为, 解得，即，所以， 故不等式的解集为. 18. 在中，角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角形内角和可得，结合正弦定理和正弦的二倍角公式可得的值，结合同角三角函数的平方关系，可得，根据正弦的二倍角公式，即可求解； （2）根据题意，结合余弦的二倍角公式和两角和的正弦公式，可求得的值，结合可得c的值，结合三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为在中，，， 所以， 因为， 所以，又， 所以，解得； 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以， 因为，，所以， 所以的面积． 19. 已知某职业学校机电、信息、校企三个系部的学生人数分别为225，150，150，现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动， （1）求从机电、信息、校企三个系部的学生中分别抽取的人数 （2）现从7人中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作，设事件为“抽取的2名同学来自同一系部”，求事件的概率， 【答案】（1）从机电、信息、校企三个系部的学生中分别抽取3人，2人，2人 （2） 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的等比例性质即可得解； （2）利用古典概型的概率公式，结合组合的相关知识即可得解， 【小问1详解】 因为某职业学校机电、信息、校企三个系部的学生人数分别为225，150，150， 所以这三个系部的学生人数之比为， 又采用分层抽样的方法从中抽取7名同学， 因此应从机电、信息、校企三个系部的学生中分别抽取3人，2人，2人. 【小问2详解】 从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果共种， 其随机抽取的2名同学来自同一系部的所有可能结果共种， 所以事件M发生的概率为， 20. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，且底面． （1）证明： （2）若，求与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可求解. （2）由题可知直线SA与平面SBD所成的角为，在直角三角形SAO中由的正弦值即可求出与平面所成角的大小. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为ABCD为正方形，所以， 又，平面SBD， 所以平面SBD，平面SBD，所以． 【小问2详解】 设AC与BD的交点为O，连结SO，如图， 因为平面SBD，则SA与平面SBD所成的角， 又平面SBD，所以， 由，则，． 在中，，又， 所以，即SA与平面SBD所成角等于． 21. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论. 【答案】（1） （2）变好，证明见详解 【解析】 【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得； （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【小问1详解】 设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为. 【小问2详解】 记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了. 22. 已知数列为等差数列，，，数列是公比的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式 （2）记，求使成立的最小值 （3）记为区间（）中的整数个数，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）11 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式列式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合等差数列的求和公式即可得解； （3）根据题意得到，再利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设的公差为d，因为，， 所以，， 解得，，所以， 因为数列是公比的等比数列，，， 所以，，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则由，得或， 因为，所以n最小为11. 【小问3详解】 由题意得：为中的整数个数， 故， 所以 . 23. 设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为3. （1）求椭圆的标准方程 （2）已知点是椭圆上在第一象限一动点，直线交轴于点，若的面积是面积的，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解之即可得解； （2）方法一：联立直线与椭圆方程，利用面积比与韦达定理得到关于的方程组，解之即可得解；方法二：利用线段比与面积比得到的比值，进而求得，再利用已知两点求直线方程即可得解. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为3， 所以，，解得， 所以， 则椭圆方程为. 【小问2详解】 （方法一）由题意可知，，设直线的斜率， 直线方程为，取，得， 联立，得， 则， 所以，得， 则， 又， 所以， ， 即有，即或，得， 所以直线的方程为，即. （方法二）设到直线，到直线的距离分别为和， 因为, 则有，又， 即有，设，则，解得， 则由，得（负值舍去）， 所以，则直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年盐城市职教高考高三年级第二次模拟考试 数学试卷 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. 16 D. 3 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 4. 已知函数的定义域为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 某职业学校李老师带着2名男生和2名女生去参加技能大赛，比赛结束要进行拍照留念.若老师与学生排成一排，李老师不排在两端，且2名女生相邻，则不同的排法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 144种 D. 16种 6. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆柱、圆锥底面直径、高和球的直径相同，则圆柱、圆锥、球的体积比为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 9. 二项式展开式中系数为有理数的项共有（ ） A. 6项 B. 9项 C. 8项 D. 7项 10. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质，下列函数中，不具有性质的为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 某网络购物平台对10000名网络购物者2020年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，则直方图中的______. 12. 若抛物线的准线为，则直线截圆所得的弦长为______. 13. 若，，则______． 14. 在公差不为零的等差数列中，若，则的最小值为______． 15. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则______． 三、解答题（共90分） 16. 已知二次函数，且对于恒成立. （1）求实数的取值范围 （2）解不等式：. 17. 已知函数的图象过点和. （1）求实数的值 （2）证明：函数为偶函数 （3）解不等式 18. 在中，角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 19. 已知某职业学校机电、信息、校企三个系部的学生人数分别为225，150，150，现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动， （1）求从机电、信息、校企三个系部的学生中分别抽取的人数 （2）现从7人中随机抽取2名同学承担敬老院卫生工作，设事件为“抽取的2名同学来自同一系部”，求事件的概率， 20. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，且底面． （1）证明： （2）若，求与平面所成角大小． 21. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论. 22. 已知数列为等差数列，，，数列是公比的等比数列，，. （1）求数列和的通项公式 （2）记，求使成立的最小值 （3）记为区间（）中的整数个数，求数列的前项和. 23. 设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，已知椭圆的离心率为，右焦点到右准线的距离为3. （1）求椭圆的标准方程 （2）已知点是椭圆上在第一象限一动点，直线交轴于点，若的面积是面积的，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$