精品解析：2025年吉林省高职高专院校单独招生统一考试数学试题

2025年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数学试题 一、选择题：本大题共30小题，每小题4分，共120分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的概念即可求解. 【详解】因为集合， 则. 故选：C. 2. 若为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算即可. 【详解】. 故选：A. 3. “四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 必要条件 D. 既不是充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断． 【详解】因为四条边相等的四边形不一定是正方形，故充分性不成立； “四边形是正方形”，则这个四边形的四条边肯定相等，故必要性成立； 所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量的范围，代入求值即可. 【详解】，且，则. 故选：D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式可得， 所以原不等式的解集为． 故选：D. 6. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义逐个分析即可. 【详解】对A：函数的定义域为，不是关于原点对称的区间， 所以函数是非奇非偶函数，故A项错误； 对B：函数的定义域为，且， 所以函数不是奇函数，故B项错误； 对C：函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，故C项正确； 对D：函数的定义域为，且， 则， 所以函数为非奇非偶函数，故D项错误； 故选：C. 7. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. C. D. R 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式即可求解. 【详解】因为函数， 所以为使分式有意义，， 解得且， 所以函数的定义域是且. 故选：A. 8. 已知，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】∵在上单调递减， ∴，，又， ∴. 故选：C. 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质化简求解即可. 【详解】 ， 故选：C. 10. 若，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解. 【详解】若，，且， 则，解得. 故选：A． 11. 已知向量与夹角为，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的内积的运算法则和定义即可求解. 【详解】因为向量与夹角为，，， 所以， 所以. 故选：B.   12. 已知角的终边经过点，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的终边经过点，求出值，代入余弦函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以， 故选：D 13. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A. 横坐标伸长原来的2倍，纵坐标不变． B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变． C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变． D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变． 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦型函数图像的变换求解即可. 【详解】函数的图像纵坐标缩短到原来的，横坐标不变， 即可得到函数的图像. 故选：D. 14. 下列四个函数中，以为最小周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正、余弦函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】对于A，B选项，，的最小周期为，故A，B错误； 对于C选项，作出函数的图象，如图所示： 由图可知，函数的最小正周期为，且在上单调递减，故C正确； 对于D选项，当时，单调递增，故D错误. 故选：C. 15. 已知分别为三个内角的对边，且，边（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】因为， 所以在三角形中，由余弦定理可得， . 故选：A. 16. 若数列为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】已知数列为等差数列，， 则， 故选：D. 17. 若数列为为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】等比数列中，，则. 故选：B. 18. 为了解某校1000名学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行调查分析，则被抽取的100名学生是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念即可求解. 【详解】为了解某校1000名学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行调查分析， 则总体为：某校1000名学生的视力情况； 个体为：某校1000名学生每个学生的视力情况； 样本为：抽取100名学生的视力情况； 样本容量为：100. 故选：C. 19. 甲校有430名学生，乙校有410名学生，丙校有360名学生，采用分层抽样的方法抽取120名学生进行测试，则从甲校抽到学生人数是（ ） A. 36 B. 40 C. 41 D. 43 【答案】D 【解析】 【分析】由分层抽样的定义即可得解. 【详解】甲校有430名学生，乙校有410名学生，丙校有360名学生，所以共有名学生， 采用分层抽样的方法抽取120名学生，则从甲校抽到学生人数是名， 故选：. 20. 从0，1，2，3，4，5这6个数字抽取2个不同的数字，这两个数字之和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出基本事件，结合古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从0，1，2，3，4，5这6个数字抽取2个不同的数字，有以下情形： ，共15种， 其中，这两个数字之和为奇数的情形有： ，共9种， 所以，这两个数字之和为奇数的概率是. 故选：B. 21. 某技能大赛颁奖典礼后，2名老师与3名获奖学生站成一排合影留念．则不同排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 98种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】利用全排列计算即可. 【详解】2名老师与3名获奖学生站成一排合影有种排法. 故选：D. 22. 二项式的展开式中常数项是（ ） A. 6 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，从而求出展开式中常数项． 【详解】二项式的展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：A. 23. 下列命题正确的是（ ） ①垂直于同一直线的两直线平行②垂直于同一平面的两直线平行 ③垂直于同一直线的两平面平行④垂直于同一平面的两平面平行 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据根据空间中平面与平面、直线与直线的位置关系，对每个命题逐一进行分析判断. 【详解】对①：在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故①错误； 对②：由线面垂直的性质定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，故②正确； 对③：由线面垂直的性质可得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故③正确； 对④：垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错误； 综上所述：命题正确的是②③. 故选：B. 24. 一个正方体的顶点都在球上，它的棱长为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体与球的外接关系求出球的直径，再根据球的体积公式即可求解. 【详解】根据题意，设球的半径为R， 因为正方体的顶点都在球面上， 棱长为， 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：A. 25. 已知正方体，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可得，所以（或其补角）为与所成的角，求解即可． 【详解】连接． 在正方体中可得且， 则四边形为平行四边形，故， 所以（或其补角）为与所成的角， 在正方体中可得，则为等边三角形，所以． 所以与所成的角是． 故选：C． 26. 经过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中所给点可求出直线斜率，再根据一点坐标即可写出直线的点斜式方程. 【详解】因为点，， 所以经过点，的直线斜率为， 所以经过点，的直线方程是， 即. 故选：A. 27. 两平行直线与的距离等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】由平行线间的距离公式可得. 故选：C. 28. ，以为直径的圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用中点坐标公式求出线段的中点坐标即为圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出线段的长度即为圆的直径，从而得到圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以以为直径的圆的半径为. 设线段中点为O，所以， 所以以为直径的圆的标准方程为. 故选：A. 29. 双曲线左右焦点，焦距是8，为双曲线上的一点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或8 D. 2或10 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距为8求出c的值，利用双曲线中a，b，c的关系求出a的值，再根据双曲线的定义即可求解. 【详解】因为双曲线的焦距为8，即，解得， 又在双曲线中，所以， 所以双曲线方程为， 又为双曲线上的一点，由双曲线的定义可知，， 则或. 故选：D. 30. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设抛物线方程为，根据抛物线定义求出的值即可. 【详解】∵抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，点在抛物线上， ∴抛物线的开口向左，所以设抛物线方程为， ∴抛物线的准线方程为， ∵抛物线上一点到焦点距离为6，且点到焦点距离与到准线的距离相等， ∴，解得， ∴抛物线方程为， 故选：B. 二、解答题：共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案写在答题卡对应题号的答题区域内． 31. 已知函数 （1）求最小正周期 （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的最小正周期公式即可求解. （2）由正弦型函数的单调区间即可得解. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数最小正周期为. 【小问2详解】 由，解得， 故此函数的单调递增区间为． 32. 如图，在直三棱柱中，，，， （1）证明：； （2）求直线与底面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由平面得，从而平面，得⊥，又⊥，可得平面，进而可得结论； （2）由⊥平面，可知∠为直线与底面所成角，求出 ，，进而可得结果. 【小问1详解】 连接， ∵，∴， ∵三棱柱是直三棱柱，平面， ∵平面，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，∴是正方形，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴. 【小问2详解】 ∵平面，∴∠为直线与底面所成角， ∵在直角中，，∴， ∵在直角中，，∴， ∴， ∴直线与底面所成角的正弦值为. 33. 已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意作出图像，利用椭圆方程求出值，结合椭圆的定义及三角形周长公式即可得解. （）根据椭圆方程求出坐标，利用直线的点斜式方程求出直线方程，联立方程组求出的坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 如图所示，作出图像， 椭圆，焦点在轴上，且， 由椭圆的定义可知， ∴的周长为， 所以的周长为. 【小问2详解】 椭圆，，，，即， ∴，， 直线l的方程， 设，，联立， 整理得，解得 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年吉林省高职高专院校单独招生统一考试 数学试题 一、选择题：本大题共30小题，每小题4分，共120分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. “四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 必要条件 D. 既不是充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. C. D. R 8. 已知，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. （ ） A. B. C. D. 10. 若，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量与夹角为，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 12. 已知角的终边经过点，则（ 　　） A. B. C. D. 13. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A. 横坐标伸长原来的2倍，纵坐标不变． B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变． C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变． D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变． 14. 下列四个函数中，以为最小周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知分别为三个内角的对边，且，边（ ） A. B. C. D. 16. 若数列为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 17. 若数列为为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 16 18. 为了解某校1000名学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行调查分析，则被抽取的100名学生是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量 19. 甲校有430名学生，乙校有410名学生，丙校有360名学生，采用分层抽样的方法抽取120名学生进行测试，则从甲校抽到学生人数是（ ） A. 36 B. 40 C. 41 D. 43 20. 从0，1，2，3，4，5这6个数字抽取2个不同的数字，这两个数字之和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 21. 某技能大赛颁奖典礼后，2名老师与3名获奖学生站成一排合影留念．则不同排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 98种 D. 120种 22. 二项式的展开式中常数项是（ ） A. 6 B. 1 C. D. 23. 下列命题正确的是（ ） ①垂直于同一直线的两直线平行②垂直于同一平面的两直线平行 ③垂直于同一直线的两平面平行④垂直于同一平面的两平面平行 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 24. 一个正方体的顶点都在球上，它的棱长为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 25. 已知正方体，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 26. 经过点，的直线方程是（ ） A. B. C. D. 27. 两平行直线与的距离等于（ ） A. B. C. D. 3 28. ，以为直径的圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 29. 双曲线左右焦点，焦距是8，为双曲线上的一点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或8 D. 2或10 30. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴上，抛物线上一点到焦点距离为6，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 二、解答题：共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案写在答题卡对应题号的答题区域内． 31. 已知函数 （1）求最小正周期 （2）求的单调递增区间． 32. 如图，在直三棱柱中，，，， （1）证明：； （2）求直线与底面所成角的正弦值． 33. 已知椭圆的左右焦点分别为，经过左焦点右焦点且倾斜角为直线l与椭圆交于，两点， （1）求的周长； （2）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $