精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团 高2026届高二（下）第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小明和小红去看《哪吒2》，小明想坐第六排，小红想坐第五排，买票时发现第六排还有5个位置，第五排还有9个位置，请问他们看电影座位有（ ）种不同选法. A. 14 B. 30 C. 45 D. 54 2. 的展开式中含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. -3 C. D. 4. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 5 设，那么（ ） A B. 31 C. 62 D. 6. 班会课上搞活动，个同学被平均分成了组，现从中选位同学，要求这人由其中组的人与其他两组的各人组成，那么不同的选取方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左右焦点分别是，，过的直线交椭圆于A，B两点，且，．则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. 当或时，曲线表示双曲线 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 10. 已知函数，是的导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，有两个极值点 C. 对，恒成立 D. 若是上的增函数，则 11. 现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（ ） A. 可以组成720个没有重复数字的六位数 B. 若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C. 可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D. 若0必选，则可以组成832个五位数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前项和为，，则_____ 13. 的展开式中，所有二项式系数之和为，则二项式系数最大的项是_____． 14. 函数对任意实数都满足，且，若不等式（其中）有且只有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知函数 （1）若与在公共点处的切线相同，求； （2）在（1）间的条件下，求函数的极值. 16. 已知正项数列满足，设是数列的前项和，且； （1）证明：是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 17. 如图，四边形为正方形，平面， （1）证明： （2）若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 18. 已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为3； （1）求椭圆方程； （2）过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点； （ⅰ）当时，设直线的斜率分别是，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于两点，记的面积分别为，求的取值范围． 19. 已知函数 （1）若对恒成立，求实数的取值范围； （2）将函数在区间上的所有极值点按从小到大排列，记第个极值点为；请证明： （ⅰ）且 （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学教育集团 高2026届高二（下）第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小明和小红去看《哪吒2》，小明想坐第六排，小红想坐第五排，买票时发现第六排还有5个位置，第五排还有9个位置，请问他们看电影的座位有（ ）种不同选法. A. 14 B. 30 C. 45 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法原理可得. 【详解】根据题意，由分步乘法原理可得，他们看电影的座位有种不同选法. 故选：C 2. 的展开式中含的项的系数为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式计算求解即可. 【详解】含的项的系数为. 故选：B. 3. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. -3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果. 【详解】 . 故选：A 4. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，即可得到其极值，从而得到最值. 【详解】，令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以时，有极大值，即最大值. 故选：D 5. 设，那么（ ） A. B. 31 C. 62 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分别令，，然后两式相加，即可得到结果. 【详解】令，则； 令，则， 两式相加可得， 所以. 故选：B 6. 班会课上搞活动，个同学被平均分成了组，现从中选位同学，要求这人由其中组的人与其他两组的各人组成，那么不同的选取方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，先从这组中指定组，从这组抽取人，然后从剩余的组中指定组，每组抽人，结合分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由题意可知，个同学被平均分成了组，每组人， 由题意，先从这组中指定组，从这组抽取人，然后从剩余的组中指定组，每组抽人， 由分步乘法计数原理可知，不同的选取方案种数为. 故选：D. 7. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小. 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 因此，而，所以. 故选：C 8. 椭圆的左右焦点分别是，，过的直线交椭圆于A，B两点，且，．则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，得到，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得，且，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，不妨设，则， 因为，所以是直角三角形， 可得，解得，则， 所以，解得， 可得，即椭圆的离心率为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A 当时，曲线表示椭圆 B. 当或时，曲线表示双曲线 C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆及双曲线的几何特征分别判断各个选项即可. 【详解】当时曲线表示圆，A选项错误. 若曲线表示双曲线，则或 所以当或时，曲线表示双曲线，B选项正确. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，∴C选项错误. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则D选项正确. 故选：BD. 10. 已知函数，是导数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，有两个极值点 C. 对，恒成立 D. 若是上的增函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由与图像存在交点，即可判断A，求导可得有两个变号零点，即可判断B，求导得到其最值即可判断C，由恒成立，代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，当时，，可画出和的图像，可知在第二象限 一定有交点，一定有零点，∴A选项错误. 对于B，当时，， 令，则，令，， 所以上单调递减，在上单调递增， 且，又， 所以有两个变号零点，即有两个变号零点，有两个极值点， B选项正确. 对于C，，令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒成立，C选项正确. 对于D，恒成立，令， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即D选项正确. 故选：BCD 11. 现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（ ） A. 可以组成720个没有重复数字的六位数 B. 若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C. 可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D. 若0必选，则可以组成832个五位数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由分步乘法原理，最高位不能是零，其余全排列可得A错误；采用插空法，先排5，4，3，1，再将剩余的数插空可得B正确；利用分步乘法原理先五个数全排再将剩余数字2插空，然后减去数字0排在第一位的情况可得C正确；分四种情况，由分步乘法原理，特殊的元素先排列，再四种情况求和可得D正确. 【详解】对于A选项，5，4，3，2，1，0，最高位不能是零，其余数字全排列,则A选项错误. 对于B选项，B选项正确. 对于C选项，C选项正确. 对于D选项，分四种情况，若不选2，则有个； 若选1个2，则有个； 若选2个2，则有个； 若选3个2，则有个， 一共有个，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前项和为，，则_____ 【答案】24 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故答案为： 13. 的展开式中，所有二项式系数之和为，则二项式系数最大的项是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据所有二项式系数和可知，进而确定二项式系数最大的项. 【详解】所有二项式系数之和为，， 二项式系数最大项是第四项， 即， 故答案为：. 14. 函数对任意实数都满足，且，若不等式（其中）有且只有两个整数解，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据函数的导函数得出函数单调性，再数形结合得出不等关系列不等式求解即可. 【详解】令，其中为常数. ，又， 单调递减；单调递增；且， 当时，恒成立，的大致图像如图所示 不妨设，则的图像是一条过这个定点 的一条直线，由于，所以只需要考虑的整数解即可. 由图可知，两个整数解为1和0，只需， . 故答案为： 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）若与在公共点处的切线相同，求； （2）在（1）间的条件下，求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值，无极小值． 【解析】 【分析】（1）根据已知点在函数上可求出的值，再通过导数求出切线斜率，结合另一个函数的条件列出方程组求解参数； （2）先得出函数的表达式，再求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极值。 【小问1详解】 由题知：点在函数上， 即 又由于 即有得到解得 即 【小问2详解】 由（1）问知：，则 令，得，得 故在上单调递增，在上单调递减 即存在极大值，无极小值． 16. 已知正项数列满足，设是数列的前项和，且； （1）证明：是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由的关系结合等差数列的性质证明即可； （2）先由等差数列的基本量法求出的通项公式，再求出，然后由的关系可得； （3）采用分组求和法结合等比数列的求和公式可得. 【小问1详解】 当时：， ， 即， 故是以公差为1的等差数列. 【小问2详解】 因为， 由（1）问知：，故， 当时：． 又由于也满足上式，. 【小问3详解】 由（2）问知， . 17. 如图，四边形为正方形，平面， （1）证明： （2）若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到平面，证明出结论； （2）先证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出即为二面角的平面角．利用正切值求出正方形边长，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值，进而求出正弦值. 【小问1详解】 由正方形ABCD知：⊥， 又由于平面且平面，故， 又由于且平面， 故平面， 因为平面，所以 【小问2详解】 由于平面且平面， 故，显然两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系： 令AC与BD的交点为O，连接OQ， 由于平面，， 所以平面， 又平面，所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角． ， ∵， ，故，故， ， 设平面的法向量为， 由，， 令得， ， 设平面的法向量为， 由，， 令，则， ， 设平面和平面夹角为， 则， . 18. 已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为3； （1）求椭圆的方程； （2）过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点； （ⅰ）当时，设直线的斜率分别是，求证：为定值； （ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于两点，记的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点及椭圆的性质得，结合椭圆参数关系得，即可得方程； （2）（ⅰ）不妨设，联立直线与椭圆，应用韦达定理、斜率两点式得，整理化简即可证； （ⅱ）根据已知及圆、椭圆的对称性得，讨论、求右侧范围，即可得. 【小问1详解】 由题知，又，可得，则椭圆方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）不妨设，由化简为， 显然，则， 又 ，即证. （ⅱ）由于均为直角三角形，， 由圆的性质知，故 由于，则， 当时，， 当时：直线PQ方程为，则 又， 所以，令，那么， 即，则， 综上：. 19. 已知函数 （1）若对恒成立，求实数的取值范围； （2）将函数在区间上的所有极值点按从小到大排列，记第个极值点为；请证明： （ⅰ）且 （ⅱ） 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据，将题目条件转化为对恒成立；再构造函数，分类讨论，利用导数研究函数的最值即可解答. （2）（ⅰ）先求出，将题目条件转化为方程的变号根；再构造函数，利用导函数判断函数的单调性；最后对进行分类讨论可证得，结合和对勾函数的单调性可证得.（ⅱ）记，先结合（ⅰ）得到，将证明等价于证明；再根据在区间上单调递增，得到；最后构造函数，利用导函数研究的单调性和最值，进一步可证得． 【小问1详解】 ， 等价于，即对恒成立. 令， 则， . 当时，， 当时，，此时在上单调递减， 则，满足题意. 当时，函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递减. ， 由函数的连续性可知，使得在上成立， 故在上单调递增， 则，与题意不符，故不满足题意. 综上，的取值范围为 【小问2详解】 （ⅰ）由可得：. 令，可得 显然，不是方程的根， 故当时，方程可化为. 那么函数的极值点即为方程的变号根. 令， 则. 因为， 所以，即在区间上分别单调递增，在区间上分别单调递增. 因为当时， 所以当时，在区间上，； 当时，在区间上，； 当时，，当时，. 在区间上分别存在唯一零点，即 作出函数的图象： 又由于，函数在上单调递增， 即得证. （ⅱ）由上可知：， 记，则， 因为是方程的变号根， 所以，，. 则 因为， 所以 要证明， 即证明， 因为在区间上单调递增， 所以只需证明 又因为， 所以， 则. 由于在区间上单调递增 即， 故. 构造函数， 则 因为在区间上单调递增，而， 所以，在上单调递增， 从而， 故， 即证得，也即证得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $