18.1.1平行四边形的性质 课件2024-2025学年人教版八年级数学下册

平行四边形的性质 人教版八年级下册 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，更重要的是我们应该怎么知道什么。 　　　——毕达哥拉斯 教学目标 1.探索并总结出平行四边形的有关性质； 2.会用平行四边形的有关性质进行论证和计算。 知识与技能 经历观察、实践、猜想、验证的数学活动，自主建立类比、转化的数学思想，获得证明线段相等和角相等的新的数学方法。 过程与方法 1.通过与他人合作探索图形性质，增强合作意识： 2.解决平行四边形问题的基本思路是化四边形为三角形来处理，渗透转化的思想。 情感态度和价值观 观察下图，平行四边形在生活中无处不在. 导入新知 拼 一 拼 取两个全等的三角形纸片，将它们的相等的一边重合，得到一个四边形。 你拼出了怎样的四边形？ 拼 一 拼 活动：如果将一个三角形的两边分别平移,会得到什么图形？ 思考：请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？ 知识点 平行四边形的定义及相关概念 两组对边都不平行 一组对边平行，一组对边不平行。 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 读作：平行四边形ABCD. A D B C 记作： ABCD. AB∥CD AD∥BC ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形, AB∥CD AD∥BC ∴　 两组对边分别平行 四边形 C B A D 平行四边形 注：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向. 你能从以下图形中找出平行四边形吗？ 2 3 1 4 5 11 平行四边形相对的边称为 对边 相对的角称为 对角 如图:线段AC、BD就是 ABCD的对角线。 A D C B 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线． 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 如图，DC∥ EF ∥ AB，DA∥ GH∥ CB，图中的平行四边形有＿＿个，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 讨 论 9 AHOE ABCD BHGC AHGD CDEF ABFE CFOG DEOG BHOF 思考：如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O 旋转180°，你发现了什么? A C D B O 平行四边形中心对称性 知识点 ● A D O C B D B O C A 再看一遍 ● A D O C B D B O C A 你有什么猜想？ ● A D O C B D B O C A 做一做 ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。 平行四边形是否具有对称性？ ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，两条对角线的交点O是它的对称中心. 根据刚才的旋转，你知道平行四边形是什么图形？ 猜一猜： 结论 归纳：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 如图，在平行四边形ABCD中，过其对角线的交点O引一直线交BC于点E，交AD于点F，若AB＝3cm，BC＝4cm，OE＝2cm，则四边形CDFE的周长是（　　 ） A．9cm B．7cm C．11cm D．8cm 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，由图形的中心对称性. 得FD＝EB，OF＝OE＝2． ∴四边形CDFE周长＝DF+CE+CD+EF＝BC+AB+2OE＝11（cm）． 故选C． C 活动：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来. 说一说：通过拼图你可以得到什么启示？ 平行四边形对边相等，对角相等. 这个结论正确吗？ 知识点 平行四边形边和角的性质 B A D c 方法一 观察、度量 平行四边形除两组对边分别平行外,你还能得到对边有什么关系?用什么方法得到这个关系? 平行四边形边的特征 D 方法二剪开、叠合 C A B 已知:四边形ABCD是平行四边形 求证:AD=BC, AB=CD. 方法三 证明 点拨:先根据题目画图，再写“已知”与 “求证”，最后证明. C B A D 该怎样证明呢？ 依据：平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形. 推理证明 A B C D 提示：可连接BC，试证△______≌ △______. 转化思想： 四边形 问题 三角形 问题 转化 ABC BCD 已知：如图，在平行四边形 ABCD中. 求证: AB=CD, AD=BC. 证明：连接AC，　ABCD中. ∵ AB∥CD，AD∥BC. ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4. 又AC＝CA. ∴△ABC≌△CDA （ASA）. ∴AB＝CD，CB＝AD. 方法点拨：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题． A D C B 1 4 2 3 24 几何语言： 平行四边形的两组对边分别相等. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）. 或 平行四边形的性质 C B A D 在　ABCD中. AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）. A B C D 测得∠A =∠C，∠B =∠D. 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗? 猜想: 平行四边形的两组对角有什么数量关系？ 两组对角分别相等. 怎样证明这个猜想呢？ 知识点 平行四边形角的特征 证明：如图，连接AC. ∵AD∥BC，AB ∥ CD. ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵ AC是△ABC和△CDA的公共边. ∴ △ABC ≌ △CDA（ASA）. ∴∠B=∠D. 已知： ABCD,AB∥CD，AD∥BC. 求证： ∠B=∠D,∠BAD=∠DCB. 又∵∠1=∠2，∠3=∠4. ∴∠1+∠4=∠2+∠3 即∠BAD=∠DCB. 结论证明： A B C D 证明：∵AB∥DC，∠ABC+∠BCD=180°. ∵ AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°. ∴∠BCD=∠BAD. 同理 ∠ABC=∠ADC. 思考：不添加辅助线，你能否直接 运用平行四边形的定义. 证明其对角相等？ A B C D 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 或 ∴∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）. ∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）. 平行四边形的两组对角分别相等. 平行四边形的性质 C B A D 在　ABCD中 几 何 语 言 边 角 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AD∥BC ，AB∥DC. ∴ AD=BC ，AB=DC. ∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D. ∵ 四边形ABCD是平行四边形. A B C D 平行四边形的性质 性质定理1 性质定理2 结论 性质2：平行四边形的对角相等。 性质1：平行四边形的对边平行且相等。 思考：平行四边形中相邻的两角有什么关系呢 E F G H 邻角互补。 平行四边形是中心对称图形 解: ∵四边形ABCD是平行四边形 且∠A=52°（已知) ∴ ∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等） 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行） ∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补.） ∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 ° 在 ABCD中,已知∠A=52 °，求其余三个角的度数。 A B C D 52° 例 题 教 学 已知： ABCD, E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠BAE=∠DCF. ∴ △ABE≌ △CDF（SAS）. ∴ AB=CD，AB ∥ CD. 又∵AE=CF. ∴BE=DF. 例 A D B C E F 平行四边形的对边相等 考点 方法总结 平行四边形的边的性质 (1)位置关系:对边_____.  (2)数量关系:对边_____.  (3)应用:应用平行四边形对边的性质证明三角形____或进行有关计算.  平行 相等 全等 例 如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE. 平行四边形的对角相等 考点 解：在▱ABCD中,AD= BC,∠A= ∠C. ∵E,F分别是边BC,AD的中点,∴AF= CE. ∴△ABF≌ △CDE(SAS), ∴∠ABF=∠CDE.  在△ABF与 △CDE中  CD ∠C CE 方法总结 平行四边形角的性质: (1)平行四边形的对角相等,邻角互补. (2)平行四边形+角平分线→角相等→等腰三角形. 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴ ∠A= ∠C，AD=CB. 又∠AED= ∠CFB=90°. ∴ △ADE≌△CBF（AAS）. ∴AE=CF. 【思考】在上述证明中还能得出什么结论？ D A B C F E DE=BF. 知识点 平行线间的距离 C B F E A D 若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A，C，E，交 n于B，D，F. 由平行四边形的性质得AB=CD=EF. 两条平行线之间的平行线段相等. m n 由平行四边形的定义易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形. 两条平行线间的距离相等. 若m // n，AB , CD , EF垂直于 n，交n于B , D , F , 交 m于A , C , E. B F E A n m C D 同前面易得AB=CD=EF. 两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 点到直线的距离 求 : 的面积. 　　已知 : 如图, , AB=8cm,BC=10cm,∠B=30°. ABCD A B C D 解: 过A作AE⊥BC于点Ｅ. ∠B= 30°, AB=8 . ABCD E 在Rt△ABE中 ABCE的面积 ∴ ∴ AE= AB= ×8 =4 2 1 2 1 S ABCD =BC·AE =10×4 =40. 例： 两条平行线之间的距离 学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？ A1 A3 A2 A B C D 基础巩固题 1.在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是(　 ）. A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1 A D B C D 课堂检测 2.如图, ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC的长为( ). A.6cm B.12cm C.4cm D.8cm 3. 在□ABCD中, ∠A=3∠B, 求∠C和∠D 的度数 . B C A D 解:∵在□ABCD中, AD∥BC. ∴∠A+∠B= 180°. 又已知 ∠A=3∠B. 则 3∠B +∠B= 180°. 解得,∠B= 45°, ∠A=3×45°=135 °. ∴∠C=∠A=135 °, ∠D=∠B= 45°. 4.如图,小明用一根48m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为10m，其他三条边各长多少? 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD, AD=BC. ∵AB=10m. ∴CD=10m. 又AB+BC+CD+AD=48. ∴ AD=BC=14m. A D B C 10m 44 5.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC , AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？ 解：∵AE//BC，AB//CF. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴∠D=∠B=60°. AD=BC=80cm. ∴ED=AD-AE=20cm. 答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°. 通过这节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？ 归纳小结 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质 边 角 对边相等 对边平行 对角相等 邻角互补 中心对称图形 数学思想：“化归” 谢 谢 再 见 47 月光（放松轻音乐纯音乐钢琴曲） 心灵解压屋 唯美/放松/减压/舒缓/哄睡轻音乐 101148.18 XXX - 酷我音乐 $$