19.2.3 一次函数与方程、不等式 教学设计-2024-2025学年人教版数学八年级下册

课题名称 19.2.3 一次函数与方程、不等式 教学设计 学科 数学 授课班级 授课时数 １ 执教者 授课日期 教材分析 本节课是2012年人教版八年级下册第十九章一次函数 19.2.3一次函数，内容包括: 一次函数与方程、不等式 “一次函数与方程、不等式”隶属初中数学函数知识板块，在代数领域占据关键位置。一次函数作为初中阶段最早系统学习的函数，搭建起代数知识与实际问题的桥梁，一次函数与方程、不等式的关联，是对函数概念、性质与图像运用的深化。在知识体系中，它既巩固了一元一次方程、一元一次不等式等前期知识，又为后续学习二次函数与方程、不等式的关系，以及高中解析几何等知识奠定了基础，对培养学生数形结合思想、逻辑思维能力与数学应用意识至关重要。 学情分析 学生在前期已学习一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组的解法，对等式与不等式的基本性质较为熟悉，也掌握了一次函数的概念、表达式、图像与性质。这些知识储备为学生学习一次函数与方程、不等式的关系提供了支撑，但部分学生对知识的理解可能停留在表面，尚未建立知识间的内在联系。 教学目标 1.认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系． 2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. 教学 重难点 重点：认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系 难点：会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义 课前准备 利用情境引入、幻灯片，提供丰富的学习内容。 教学方法 自主学习法、问答法、启发讲授法、讲解法、 教学过程 1、 情境引入 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了 x + y = 5，请问x + y = 5是属于二元一次方程还是一次函数呢？ 2、 自主学习 思考：一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间有什么关系？ （学生自学） 3、 释疑 合作探究： 问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ (1) 2x + 1= 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1． 解：画图如下： 用函数的观点看：解一元一次方程 ax +b = k 就是求当函数 (y = ax + b) 值为 k 时对应的自变量的值． 练一练： 1. 直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为( -10 ， 0 )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x =__-10___. 2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x = 5，则直线 y = kx＋2 与 x 轴交点坐标为(__5__，___0__). 归纳总结：一次函数与一元一次方程的关系一次函数y= kx+b 中，y=0时x的值 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 从“函数值”看 求一元一次方程 kx + b = 0 的解． 求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标． 从“函数图像”看 问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ (1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1． 解：画图如下： 用函数图像看 ： 不等式 ax + b＞c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值大于 c 的对应的自变量取值范围； 　　 不等式 ax + b＜c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值小于 c 的对应的自变量取值范围． 例2 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求： (1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集； (2) 当 x 取何值时，y < 3 ? 解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0). (1) 由图象可知，不等式 -3x + 6 > 0 的解集是图象 位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2； 不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2. (2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3. 归纳总结：一次函数与一元一次不等式的关系y = kx + b 的值 大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 求 kx +b＞0(或<0) (k ≠ 0)的解集 从“函数值”看 确定直线y = kx + b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 从“函数图象”看 问题3 1号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了 1 h． (1) 请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y (m) 与气球上升时间 x (min) 的函数关系． 答： 气球1 海拔高度：y = x + 5； 气球2 海拔高度：y = 0.5x + 15． 思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？ 思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ 由函数图象的定义可知： 直线 y = 0.5x + 15 上的每个点的坐标 (x，y) 都能使等式y = 0.5x + 15 成立，即直线 y = 0.5x + 15 上的每个点的坐标 都是二元一次方程y = 0.5x + 15 的解. (2) 什么时刻，1 号气球的高度赶上 2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究. 从数的角度看： 解方程组 y = x + 5 y = 0.5x + 15 就是求自变量为何值时，两个一次函数 y = x + 5， y = 0.5x + 15 的函数值相等，并求出函数值． 从形的角度看：二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标． 归纳总结： 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为 一次函数 y = kx + b (k、b 为常数，且k ≠ 0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. 例2 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标 解：因为直线 l1过点 (-1，0)，(0，2) ， 用待定系数法可求得直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2. 同理可求得直线 l2 的解析式为 y = -x + 3. 解方程组： 即直线 l1 与 l2 的交点坐标为： 四、巩固练习 1．一次函数 y = kx + 3 的图象如图所示，则方程 kx + 3 = 0 的解为__________ . 2．若方程组的解为则一次函数y = 2x + 1 与 y = 3x - 1 的图象交点坐标为______. 3.一次函数 y1= 4x + 5 与 y2 = 3x + 10 的图象如图所示，则 4x + 5 > 3x + 10 的解集是（ ） A. x < 5 B. x > 5 C. x > -5 D. x > 25 五、评议 今天这节课主要学习了什么？ 六、布置作业 　同步 板书设计 教学反思 5 学科网（北京）股份有限公司 $$