精品解析：四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

绿盛实验学校2024-2025学年度（下）第一学月学情检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A. y＝4x B. ＝3 C. y＝﹣ D. y＝x2﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】A、y＝4x是正比例函数； B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数； C、y＝﹣是反比例函数； D、y＝x2﹣1是二次函数； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 2. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 3. 已知，，，则（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式得出，把已知数据代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，， 若 ，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 5. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．根据题意得出，然后结合三角形相似的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 已知是反比例函数的图象上的三个点，且，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数增减性与k的关系进行解答即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象位于第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ，， 点在第一象限，点和点在第三象限， ， ， ． 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数，且）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选A． 9. 在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 中，，， ∴， 故选：B． 10. 如图，锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，且S△ADE:S四边形DBCE＝1:2，则cosA的值是(　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求∠BAC的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD，通过AD和AC的比例关系来求∠BAC的余弦值．AD，AC的比例关系可通过△ADE∽△ACB三来求解，这样就不难求得其余弦值了． 【详解】解：如图，连接CD ∵∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB（四点共圆，外角等于内对角）， ∴△ADE∽△ACB， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键，掌握四点共圆，外角等于内对角是解题的关键． 11. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为 A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】∵点，是中点， ∴点坐标， ∵在双曲线上，代入可得， ∴， ∵点直角边上，而直角边与轴垂直， ∴点的横坐标为-6， 又∵点在双曲线， ∴点坐标为， ∴AC=3， 从而， 故选B 12. 如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，过点做于点，证明，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：∵，∴， ∵平分，∴， ∴，则，即为等腰三角形， 过点做于点． 则垂直平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 若点A（1，﹣3），B（m，3）在同一反比例函数的图像上，则m的值为__________． 【答案】﹣1． 【解析】 【详解】试题分析：∵点A（1，﹣3），B（m，3）在同一反比例函数的图象上，∴1×（﹣3）=3m，解得：m=﹣1．故答案为﹣1． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 14. 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝5，c＝12，则sinA＝___. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案． 解：如图所示：∵∠C=90°，AC=5，BC=12， ∴AB==13， ∴sinA=． 故答案为． 考点：锐角三角函数的定义． 15. 如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3 ，滑梯的水平宽是6m，则高BC为_______m． 【答案】2 【解析】 【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，即可求出坡面的铅直高度． 【详解】∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m， ∴AC=6m， ∴BC= ×6=2m． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案． 【详解】解： 是边的中点，， 矩形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 17. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 故答案为：或． 18. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，， ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 三、解答题（共8个题，共78分） 19 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的混合运算等，熟练掌握相关的知识是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算计算即可； （2）根据算术平方根，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，运用设k法即可解答． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） （1）求这幢大楼的高； （2）求这块广告牌的高度． 【答案】（1）楼高为米； （2）广告牌的高度为米． 【解析】 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【小问1详解】 解：在中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； 【小问2详解】 解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）是， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，位似作图，求位似中心． （1）先画出平移后各点的对应点，再依次连接即可； （2）先画出位似的对应点，再依次连接即可； （3）连接并反向延长，相交于点M，点M即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问3详解】 解：由图可知，和是位似图形，位似中心M的坐标为． 23. 如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）； （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，函数与不等式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）将代入可求得反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式求得的值，再将、坐标代入求解，即可求得一次函数解析式； （2）记一次函数与轴交点为，求出点坐标，根据即可解题； （3）根据图象可直接得出在轴正半轴时，在点右侧，有，根据点坐标即可求得x的取值范围． 【小问1详解】 解：一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点， 将代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 将、代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，记一次函数与轴交点为， 令，则， ， 由图可知： ； 【小问3详解】 解：由图可知：在轴正半轴时，在点右侧，有， ， 的取值范围为． 24. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 25. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． （3）求证：． 【答案】（1）见详解 （2） （3）见详解 【解析】 【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可； （2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可； （3）证明即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接， 在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：， ， ， ， ， ， 由（1）中结论，得， ， ， 即． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键． 26. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，， ∴， ∴， ∴ （2）由题意可得， ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）过点作于点． ∴ 又∵ ∴． ∴． ∵，即 ∴， 又∵BM平分，， ∴NG=AN， ∴， ∴ 整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绿盛实验学校2024-2025学年度（下）第一学月学情检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A y＝4x B. ＝3 C. y＝﹣ D. y＝x2﹣1 2. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 4. 如图，在中，， 若 ，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定与相似的是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知是反比例函数的图象上的三个点，且，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数，且）的图象大致是（ ） A. B. C D. 9. 在网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A. B. C. 2 D. 10. 如图，锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，且S△ADE:S四边形DBCE＝1:2，则cosA的值是(　) A. B. C. D. 11. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为 A. 12 B. 9 C. 6 D. 4 12. 如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 若点A（1，﹣3），B（m，3）在同一反比例函数的图像上，则m的值为__________． 14. 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，a＝5，c＝12，则sinA＝___. 15. 如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3 ，滑梯的水平宽是6m，则高BC为_______m． 16. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________． 17. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 18. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______． 三、解答题（共8个题，共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 已知，且，求的值． 21. 如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） （1）求这幢大楼的高； （2）求这块广告牌的高度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 23. 如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 24. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 25. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． （3）求证：． 26. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$