广东省阳江市第三中学2024-2025学年高三下学期数学英才班练习（3月28日）

在别人看不见的地方也自律的人,真的连老天都不忍辜负。请相信:在暗处执着生长,终有一日馥郁传香。 2024-2025学年度阳江市第三中学高三数学英才班练习 命题人：周亮亮 满分：120分 时间：2025年3月28日 班级： 姓名： 学号： 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．（20-21高二下·江苏连云港·期中）可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（     ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 4．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（     ） A．24 B．26 C．32 D．40 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（     ） A．5 B．16 C．40 D．80 6．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 7．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 8．（21-22高三上·江苏常州·期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18.0分。在每小题有多项符合题目要求） 9．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（     ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分） 12．（19-20高一·浙江·期末）函数为奇函数，则 ， . 13． （2009·重庆·高考真题）若是奇函数，则 ． 14．（2007·辽宁·高考真题）已知函数为奇函数，若，则 ． 四、解答题（本大题共2小题，共57分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（2025·江苏·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 16．（2025·河南·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：在上单调递增. 17．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面；(2)求异面直线和所成角的余弦值. 青年问禅师：“我有很大的梦想，如果实现了，这个世界将再也没有纷争。因此我需要很多钱，大师您能帮我吗？”    禅师拿出一个小孩的帽子和一双小孩的手套让青年穿上，然后问：“你有什么感觉？”    “手，头有点紧。”    “我也是。” 2 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度阳江市第三中学高三数学英才班练习 2025年3月28日 一、单选题 1．（20-21高二下·江苏连云港·期中）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由排列数公式2），可知. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法，故满足条件的“五位凹数”个， 3．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 【答案】D 【详解】因为甲没有选景点，所以甲有种选法，其余5名学生可以选3个景点或4个景点. 当其余5名学生选3个景点时，有种选法；当其余5名学生选4个景点时，有种选法.故共有种不同的选法. 4．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（    ） A．24 B．26 C．32 D．40 【答案】D 【详解】按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一，则乙，丙等四人有（种）；②甲排第二，则乙、丙排后3位中的两位，有（种）； ③甲第三，则乙，丙排最后2位；有（种）.故共有（种）. 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（    ） A．5 B．16 C．40 D．80 【答案】D 【详解】因为的展开式中各项系数的和为243， 则令，代入可得，解得，所以二项式为， 则该二项式展开式的通项为，， 令得，则该展开式中的项的系数为. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】因为，所以. 7．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】，则.由于，则. 则，则. 8．（21-22高三上·江苏常州·期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生， 根据题意可得， ，，故． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）某公司计划招聘一名技术人员，招聘方式如下：应聘者从公司准备的6道题目中依次选择任意2道题解答，2道题全答对就录用，否则不予录用．已知应聘者甲会做其中的4道题，记事件为“第一题答对”，事件为“第二题答错”，事件为“甲被录用”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据题意易知，A错误； 由独立事件的乘法公式可得，B正确；易知，C错误； 由题可知，而,所以正确． 10．（23-24高二下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：中，，，而与不一定相等，故不正确； 对于B：，应为互斥事件，故不正确； 对于C：正确； 对于D：，故不正确． 11．（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，故不是偶函数，故A错误； 对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确； 对于D，，显然在区间上单调递减，故D错误. 三、填空题 12．（19-20高一·浙江·期末）函数为奇函数，则 ， . 【答案】 【详解】函数为奇函数，所以，所以； 又，所以. 13．（2009·重庆·高考真题）若是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】 ，故． 14．（2007·辽宁·高考真题）已知函数为奇函数，若，则 ． 【答案】1 【详解】因为函数y＝f（x）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以 f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1 四、解答题 15．（2025·江苏·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，为的中点，求． 【详解】（1）法一：因为，由余弦定理：， 得：，则，因为，所以． 法二：因为，由正弦定理得： ，， ，， 因为，所以，因为，所以． （2）在中，由余弦定理得：，得：， 法一：， 在中，由余弦定理得：，得：． 法二：因为，所以， 所以， 所以，解得：． 法三：因为，所以， ，所以． 16．（2025·河南·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增. 【详解】（1）由题可知，则， 又，故所求切线方程为. （2）由（1）知，， 因为，所以设，则， 由复合函数的单调性易知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，从而，故在上单调递增. 17．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而，等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，    所以该四棱锥的高为即为，即底面，又平面，所以面底面.                           （2）因为， 所以即为异面直线和所成的角或其补角；             由（1）知平面底面，且平面底面， 在矩形中，，所以平面，因为平面，从而，      中，，所以，           同理可得，       中，，由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$