11.2.2一元一次不等式 不等式的性质 讲义2024-2025学年人教版数学七年级下册

11.2.2　一元一次不等式 不等式的性质 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例题2：（24-25八年级上·湖南娄底·期末）用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例题3：（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 例题4：下列说法不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b 【巩固练习】 1.下列不等式中不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列不等式变形不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+1 B．2x+2＜2y+2 C． D．﹣2x+5＜﹣2y+5 4．设x，y，z（z≠0）是实数，则下列结论正确的是（　　） A．若x＞y，则xz＞yz B．若，则3x＜4y C．若x＜y，则 D．若x＞y，则x+z＞y+z 5．用不等号填空，若a＞b，则 　　（填“＞”或“＜”）． 6．若不等式（m﹣5）x＞（m﹣5），两边同除以（m﹣5），得x＜1，则m的取值范围为 　　． 7．已知二元一次方程x﹣2y＝7，当x＞1时，y的取值范围是 　　． 8．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 9.已知x，y满足关系式5x+3y＝2024． （1）当x＝1时，求y的值； （2）若x，y满足2y≤x，求y的取值范围； （3）若x，y满足2x+y＝a，且x＞y，求a的取值范围． 10．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题： （1）比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小； （2）若2a+2b＞3a+b，比较a、b的大小． 11．【提出问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…① 同理得1＜x＜2…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2． ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 【尝试应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 参考答案 例题1：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，∴，故不正确； D．∵，∴ ，正确； 故选D． 例题2：（24-25八年级上·湖南娄底·期末）用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据图形及不等式的性质求解即可． 【详解】解：用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是若，则， 故选：A． 例题3：（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴当时，；当时，，故结论错误； ∵， ∴，故结论错误； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∴正确的个数是个， 故选：． 例题4：下列说法不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b 【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可． 【解答】解：由a＞b得，a+2＞b+2，说法正确，故A不符合题意； 由a＞b得，，说法正确，故B不符合题意； 由a＞b得，当c＝0时，ac2＝bc2，原说法错误，故本选项符合题意； 若2a＞2b，则a＞b，说法正确，故D不符合题意． 故选：C． 【巩固练习】 1.下列不等式中不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，来进行解答即可． 【详解】解：A.在不等式的两边同时乘，不等式符号改边方向，即为，故本项不符合题意； B.当时，不成立，故本选项符合题意； C.在不等式的两边同时除以3，不等式仍然成立，即，故本项不符合题意； D.在不等式的两边同时减去，不等式仍然成立，即，故本项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2.下列不等式变形不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、由可以得到，变形正确，不符合题意； B、由可以得到，则，变形正确，不符合题意； C、∵， ∴由，可以得到，变形正确，不符合题意； D、由可以得到，则，变形错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 3.已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+1 B．2x+2＜2y+2 C． D．﹣2x+5＜﹣2y+5 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【解答】解：A、∵x＜y， ∴x+5＜y+5，原变形错误，不符合题意； B、∵x＜y， ∴2x＜2y， ∴2x+2＜2y+2，正确，符合题意； C、∵x＜y， ∴＜，原变形错误，不符合题意； D、∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴﹣2x+5＞﹣2y+5，原变形错误，不符合题意． 故选：B． 4．设x，y，z（z≠0）是实数，则下列结论正确的是（　　） A．若x＞y，则xz＞yz B．若，则3x＜4y C．若x＜y，则 D．若x＞y，则x+z＞y+z 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵若x＞y，则xz＞yz（z＞0）或xz≤yz（z≤0）， ∴选项A不符合题意； ∵若，则3x＜4y（z＞0）或3x＞4y（z＜0）， ∴选项B不符合题意； ∵若x＜y，则（z＞0）或＞（z＜0）， ∴选项C不符合题意； ∵若x＞y，则x+z＞y+z， ∴选项D符合题意． 故选：D． 5．用不等号填空，若a＞b，则 　＜　（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b， ∴﹣a+1＜﹣b+1， 故答案为：＜． 6．若不等式（m﹣5）x＞（m﹣5），两边同除以（m﹣5），得x＜1，则m的取值范围为 　m＜5　． 【分析】运用不等式的性质解题即可． 【解答】解：由题可知：m﹣5＜0， 解得：m＜5． 7．已知二元一次方程x﹣2y＝7，当x＞1时，y的取值范围是 　y＞﹣3　． 【分析】由x﹣2y＝7可得x＝2y+7，再利用x＞1，可得2y+7＞1，从而可得答案． 【解答】解：∵x﹣2y＝7， ∴x＝2y+7， ∵x＞1， ∴2y+7＞1， ∴2y＞﹣6， 解得：y＞﹣3． 故答案为：y＞﹣3． 8．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 由不等式的性质可知，不等式两边同时除以时，不等式方向改变了，由此可确定的符号，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 9.已知x，y满足关系式5x+3y＝2024． （1）当x＝1时，求y的值； （2）若x，y满足2y≤x，求y的取值范围； （3）若x，y满足2x+y＝a，且x＞y，求a的取值范围． 【分析】（1）把x＝1代入5x+3y＝2024，求解即可； （2）由5x+3y＝2024得，根据2y≤x，求解即可； （3）联立5x+3y＝2024和2x+y＝a，求解出x，y的值，根据x＞y，求解a即可． 【解答】解：（1）把x＝1代入5x+3y＝2024，得5+3y＝2024， 解得y＝673； （2）由5x+3y＝2024得， ∵2y≤x， ∴， ∴， 即y的取值范围是； （3）联立5x+3y＝2024和2x+y＝a， 得：， 解得x＝3a﹣2024，y＝﹣5a+4048，y＝﹣5a+4048， ∵x＞y， ∴3a﹣2024＞﹣5a+4048， 解得a＞759， ∴a的取值范围是a＞759． 10．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题： （1）比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小； （2）若2a+2b＞3a+b，比较a、b的大小． 【分析】（1）利用求差法进行计算，即可解答； （2）根据不等式的性质进行计算即可解答． 【解答】解：（1）4+3a2﹣2b+b2﹣（3a2﹣2b+1） ＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1 ＝b2+3＞0， ∴4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1； （2）∵2a+2b＞3a+b， ∴（2a+2b）﹣（3a+b）＞0， ∴2a+2b﹣3a﹣b＞0， ∴﹣a+b＞0， ∴a＜b． 11．【提出问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…① 同理得1＜x＜2…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2． ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 【尝试应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 【分析】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解答】解：∵x﹣y＝﹣3， ∴x＝y﹣3． 又∵x＜﹣1， ∴y﹣3＜﹣1， ∴y＜2． 又∵y＞1， ∴1＜y＜2，…① 同理得﹣2＜x＜﹣1…② 由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1． ∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1． 学科网（北京）股份有限公司 $$