第十六十七章综合达标测试卷2024—2025学年人教版八年级数学下册

第十六 十七章综合达标测试卷2024—2025学年人教版八年级数学下册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（   ）． A．5 B．7 C．8 D．9 3．小明的作业本上有以下四道题：①；②；③；④．其中做错的题有（    ） A．道 B．道 C．道 D．道 4．若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 5．在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．图1是一个用铁丝围成的长为，宽为的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成图2所示的正方形，则该正方形的面积是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 7．如图，在中，，，，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 8．设则且，则下列各式中，最大的是（    ） A． B． C． D． 9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．下列选项中一定正确的是（    ） 图1             图2 A．直角三角形的面积 B． C． D．两个较小正方形重叠部分的面积 10．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．如图，将正方形和正方形放置在较大的正方形中，重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1，已知，，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 12．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 二、填空题 13．化简：的结果是 ． 14．若式子有意义，则的取值范围是 ． 15．如图，把一个棱长为的正方体的每个面都分成个小正方形，所有小正方形的边长都是，点A，B的位置如图所示．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时 s． 16．如图，在中，，，点D，E在上，，．已知，则的长为 ． 三、解答题 17．计算． (1)； (2)． 18．某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 19．计算： (1)； (2)已知实数在数轴上的对应点位置如图，化简． 20．在中，，，过点A作的垂线，垂足为D，E为射线上一动点（不与点C重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与直线交于点G． (1)如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形； ②求证：点G为的中点． (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，用等式表示之间的数量关系，并证明． 21．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 22．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度． (2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第十六 十七章综合达标测试卷2024—2025学年人教版八年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B B D A D D 题号 11 12 答案 A C 1．D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式即可得出答案，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得，大树折断部分、未折断部分及地面正好构成直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，大树折断部分的长度为， 这棵大树在折断前的高度为． 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 对小明这四道题分别计算，即可求解； 【详解】解：①，错误； ②，正确； ③，正确； ④，正确． 所以做错的题有道． 故选：A 4．C 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，实数与数轴，先根据二次根式的加减法则，进行计算，再估算无理数的范围，进而判断出表示的值的点的位置即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由勾股定理求出三角形的边长的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、三角形的三边的平方分别为，，25，，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； B、三角形的三边的平方为，，，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意； C、三角形的三边的平方为，，，，则这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； D、三角形的三边是平方为，，，，这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形和正方形的性质，掌握二次根式的运算法则是关键． 先利用长方形的周长公式化简二次根式，求出长方形的周长，再求出正方形边长，进而根据正方形的面积公式，求出正方形面积． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为． ∴围成的正方形边长为． ∴正方形面积为． 故选：B． 7．D 【分析】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点C作于点D，构造和，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：过点C作于点D，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 8．A 【分析】本题考查了不等式的性质，整式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握以上知识的性质及计算是解题的关键． 根据不等式的性质，运用完全平方公式的变形计算得到，，由，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 9．D 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， 阴影部分的面积， 较小两个正方形重叠部分的宽，长， 则较小两个正方形重叠部分面积， 因此知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积． 故选：． 10．D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，据此可得答案． 【详解】解： ∵ ∴， ∴． 故选：D． 11．A 【分析】本题考查二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再算出大正方形的边长，最后通过面积的计算求解，即可解题． 【详解】解：正方形和正方形的面积分别为，， 正方形和正方形的边长分别为，， 重叠部分是一个较小的正方形，其面积为1， 重叠部分的正方形边长为1， 大的正方形边长为， 空白部分的面积为， 故选：A． 12．C 【分析】本题主要考查勾股定理，长方形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出长方形的长和宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， 设， 解得， 长方形的面积为． 故选C． 13． 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键，这里需注意是负数．根据二次根式的性质计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 14．且 【分析】本题考查了二次根式有意义和零指数幂有意义，解本题的关键在熟练掌握其有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．零指数幂有意义的条件：底数不为零． 根据二次根式有意义的条件和零指数幂有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据有意义，可得：， 解得：， 根据有意义，可得：， 解得：， 综上可得：的取值范围是且． 故答案为：且 15． 【分析】本题考查了展开与折叠，勾股定理； 分两种情况对正方体进行展开，然后利用勾股定理计算出最短路径，进而可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图1，展开底面与右面，由勾股定理，得； ②如图2，展开前面与上面，由勾股定理，得． ∵， ∴最短路径长为5cm， ∴这只蚂蚁从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据题意易求，根据，，易求，得到是等边三角形，即，过点作于点H，则，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点H， 则， ∴， ∵， ∴， 故选：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式,然后再进行计算即可解答； （2）根据题意直接利用二次根式的除法法则进行计算,即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． 18．(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得， （米）, （米）, （2）解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）, （米）, 他应该往回收线8米． 19．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数的混合运算，熟练掌握掌握二次根式的基本性质是解题关键． （1）先计算零指数幂，绝对值，乘方，化简二次根式，然后计算乘法，再计算加减，即可求解； （2）根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【详解】（1）解： （2）解：由图知：， ，， 原式； 20．(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据题意画图即可；②由条件可证,得到,从而有，再通过平行线分线段成比例即可证出为的中点； （2）由(1)知,可得为的中点仍然成立,设,表示出即可发现它们之间的数量关系． 【详解】（1）解：①如图， ②如图，连接， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， G为的中点． （2）解：． 理由如下：如图，连接， 由（1）可知：， ， 为的中点仍然成立，且， 设，，则， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ，，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出的长度是解决问题的关键． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化： （1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ，， ∴； （2）解： ． 22．(1)CD＝ (2) 【分析】（1）根据勾股定理先求出AB，再根据“双求法”求出CD的长度； （2）在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别利用勾股定理表示出，然后得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝， 由面积的两种算法可得：， 解得：CD＝； （2）在Rt△ABD中，， 在Rt△ADC中，， 所以， 解得：． 【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$