精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考数学试卷（人教A版）

A10联盟2024级高一下学期3月阶段考 数学（人教A版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的补集运算和交集运算求解. 【详解】由题，可得， 所以. 故选：B. 2. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到，即，再结合角的范围求解即可. 【详解】若，则有，即， 因为，所以. 故选：D. 3. 一物体在力的作用下，由点移动到点.已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意得，，又，对物体做的功， 故选：A. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量的模相等 B. 若，，则 C. 共线向量是在同一条直线上的向量 D. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模，共线向量，向量的表示方法,相等向量等知识对各个选项注意判断. 【详解】因为，所以向量与向量的模相等，故A正确； 当时，与可能不共线，故B错误； 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故C错误； 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误. 故选：A. 5. 已知是的中线，在直线上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为是的中线， 所以. 又因为， 所以. 所以. 故选：C. 6. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知结合诱导公式可得出关于的等式，即可得出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位后得到， 所以， ，解得， 又，令，得， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得，在中，利用余弦定理求得，然后由求解. 【详解】由题意得， 解得， 在中，， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，先解出，再分别求解即可. 【详解】设，则， 若，则，解得或， 则或， 当时，，不合题意， 则，或， 解得，此时方程仅一个根； 若，则，解得或，即或， 当时，或， 方程即在仅一个根， 方程，即， ，且，，两根均为负，合题意， 当时 ，，解得或，方程有两根， 综上，方程的实根个数为6. 故选：C. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可. 【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确； B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误； C选项：，又，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； D选项：，又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，则扇形的周长为6 D. 函数的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】由可得或，进而判断A；结合正、余弦函数图象判断B；结合扇形的弧长和周长公式求解判断C；举例判断D. 【详解】在中，若，则或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 由，则，由正、余弦函数图象可知B正确； 若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度， 则扇形的弧长为，故扇形的周长为，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. 若，则 B. 若为锐角，则 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理，正弦定理，三角恒等变换结合同角的三角函数关系可得A错误；由A结合已知可得B正确；由A结合二倍角的余弦公式可得C正确；由C结合正切函数的值域可得D正确. 【详解】对于A，由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 即，即，所以. 若，则且，从而，所以，故A错误； 对于B，若为锐角，由及得，即，故B正确； 对于C，因为，所以为锐角，，所以，故C正确； 对于D，当为锐角三角形时，且，解得，则，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将三点共线转化为向量共线，再根据共线向量基本定理列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 由三点共线，得， 所以存在唯一实数，使得，即， 又和不共线，所以，解得. 故答案为：. 13. 顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，其底边与腰长之比为黄金比，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合余弦定理求解即可. 【详解】在等腰中，设，则， . 故答案为：. 14. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由条件③可得，，且， 所以函数在上单调递减， 又为偶函数，且， 则，所以为奇函数，且， 所以在上单调递减，， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若向量与共线，求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不同向共线，从而可得不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，， 由向量与共线，得， 解得 【小问2详解】 由向量与的夹角为锐角，得，且与不共线， 则， 解得，即的取值范围为 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若是上的点，平分，，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出角； （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到边、的关系，最后利用基本不等式求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得 因为，所以，故， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为平分，所以， 所以， ， ， 因为，所以，即， 由，得，解得，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最小值为 17. 已知为奇函数，为常数. （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可求出a的值，验证后即可确定答案； （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合判断函数单调性，求得函数最值，即可求得答案. 【小问1详解】 由于，函数为奇函数， 故，即， 则，即， 则， 当时，，不符合题意； 当时，，令，则或， 即函数定义域为， ，即函数为奇函数，符合题意， 故； 【小问2详解】 对于区间上的每一个的值，不等式恒成立， 即对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，所以， 令，则在上单调递增， 而在上单调递增，故在上单调递增， 在上单调递增，故在上单调递增， 则的最小值为， 故. 18. 在中，已知. （1）求的取值范围； （2）若，点在线段上，且，，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，再根据三角形内角和定理结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质即可得解； （2）在中，求出，在中，利用正弦定理求出角，注意检验. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以 ， 由知，所以， 即的取值范围为； 【小问2详解】 在中，，，则， 在中，由正弦定理得， 即，所以 因为，所以，所以， 则或，解得或， 当时，，此时不存在，舍去； 综上，. 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 因为 ，故得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数新定义结合指数幂的运算可得； （2）由函数新定义结合指数幂的运算得证； （3）分离参数后再构造函数，分离常数换元令，再结合二次函数的单调性可求. 【小问1详解】 由题意得， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，在上恒成立， 即在上恒成立 ， 令，则. 令，因为，所以，所以， 所以，， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 则，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A10联盟2024级高一下学期3月阶段考 数学（人教A版）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角，向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 一物体在力的作用下，由点移动到点.已知，则对该物体所做的功为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 16 4. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量的模相等 B. 若，，则 C. 共线向量是在同一条直线上的向量 D. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 5. 已知是的中线，在直线上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与平行 C. 在上的投影向量为 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，则扇形的周长为6 D. 函数的最小值为2 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（ ） A. 若，则 B. 若为锐角，则 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 13. 顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”，其底边与腰长之比为黄金比，则的值为__________. 14. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若向量与共线，求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若是上的点，平分，，求面积的最小值. 17. 已知为奇函数，为常数. （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 在中，已知. （1）求的取值范围； （2）若，点在线段上，且，，求的大小. 19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数，）. （1）求的值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $