2025年中考数学总复习二次函数压轴题（特殊四边形问题）综合类题型训练

2025年中考数学总复习 二次函数压轴题（特殊四边形问题）综合类题型训练 1．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)抛物线的解析式为______________； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 3．如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．综合与探究 如图，抛物线与y轴交于点D，与某一次函数的图象交点为，，连接，． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点B是x轴上的动点，连接，当时，求点B的坐标； (3)点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E的坐标； (4)若抛物线与x轴正半轴的交点为M，F为抛物线对称轴上一点，则的最大值为________． 5．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C． (1)求抛物线的函数表达式： (2)设P为抛物线上一动点，点P在直线上方时，过P作轴，交于点E，过E作轴于F，求的最大值及此时点P的坐标： (3)若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由． 6．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C．点D在y轴上，其坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)已知在线段下方的抛物线上有一动点P，直线与直线交于点Q，连接，．当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新的抛物线（如图2），点R在新抛物线的对称轴上．在直线上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点R的坐标． 7．抛物线与轴交于点， 两点，与 轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 8．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，连接、、，求的面积的最大值以及此时点的坐标； (3)把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点，为新抛物线对称轴上一点，是坐标平面内一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标． 10．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线过点，，． (1)求此抛物线对应的函数解析式，并且确定其顶点坐标； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在抛物线上存在一动点，使得的面积为10，请求出点的坐标． (4)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P． (1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________； (2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标； (3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围． 13．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 14．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学总复习二次函数压轴题（特殊四边形问题）综合类题型训练》参考答案 1．(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可； （2）先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得 ， 解得 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在． ∵， ∴， 设， ①当为菱的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； ②当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或； 综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与特殊四边形的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线所对应的函数表达是为： 当时，，则， 将O、C、E三点坐标代入函数表达式得： ， 解得：， 故抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：由（1）得：抛物线表达式为：， 则，，， ∵， ∴， 设矩形的周长为C， ∴， 化简得：， ∴， ∵． ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是． 3．(1) (2)四边形面积的最大值是，此时点的坐标为 (3)的坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）由抛物线对称轴是直线，点的坐标为，得点的坐标为，故二次函数解析式为； （2）连接，设，则，可得 ，根据二次函数的性质可得答案； （3）由，得直线解析式为，设，，则，，由，知，是一组对边；分两种情况：①当，为对角线时，，的中点重合，且，②当，为对角线时，，的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴二次函数解析式为； （2）解：连接，如图： 设，则， 在中，令得， ， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； 四边形面积的最大值是，此时点P的坐标为； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，，则，， ∵， ∴当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当，为对角线时，，的中点重合，且， ， 解得（此时与C重合，舍去）或：； ； ②当为对角线时，的中点重合，且， ， 解得（舍去）或或， 或； 综上所述，Q的坐标为或或． 4．(1)， (2)或 (3)点E的坐标为或或 (4) 【分析】（1）结合题意利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式，进而当时，求出函数值，即可得到点D的坐标； （2）根据题意得到，设，结合建立等式求解，即可解题； （3）根据点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，分情况①当、为边时，②当为对角线、为边时，③当为对角线、为边时，结合平行四边形性质，已经全等三角形性质和判定求解，即可解题； （4）由二次函数解析式及对称性得到函数的对称轴，点坐标，以及点关于对称轴对称的点为点，结合对称的性质得到，当、、三点共线时，最大，即时取最大值，最后结合勾股定理求出，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与某一次函数的图象交点为，， ， 解得， ， 当时，， ； （2）解：，， ， ， 设， ， ， 解得， ， 点的坐标为或； （3）解：以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形， ①当、为边时， 有，且， 此时坐标为， ②当为对角线、为边时， 有，且， 此时坐标为， ③当为对角线、为边时， 有，且， 作轴于点， ， ， ，， ， ，， ， 此时坐标为， 综上所述，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为或或； （4）解：， 对称轴为直线， ，点与点关于直线对称， ， 点关于直线对称的点为点，且F为抛物线对称轴上一点， 连接，，有， 当、、三点共线时，最大， 即时取最大值， ， 则的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数与面积综合，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，对称的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，灵活利用数形结合、分类讨论的数学思想解决问题． 5．(1) (2)的最大值为4， (3)存在，点N的坐标为或 【分析】（1）将两点代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，根据，，即可求解； （3）由，得抛物线的对称轴直线为，设点M的坐标为，点N的坐标为，分类讨论当线段为平行四边形的边时，当线段为平行四边形的对角线时两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， 由得 设直线的解析式为，过点，两点， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴， ， ∴， ∴当，的最大值为4，此时； （3）解：∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ①当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为； 或当点M在N下方时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， ，解得，此时，不成立； ②当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为； 综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与线段、特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键. 6．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可； （2）分别求出直线，的解析式，可证，所以的面积的面积，进而求的面积最大可转化为求的面积最大；过点P作轴交于点E，表达的面积，利用二次函数的性质求解即可； （3）由平移的性质可知，抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论∶当是平行四边形的边时，当是平行四边形的对角线时，分别求解即可， 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达为； （2）解：如图1，连接． ∵抛物线与y轴交于点 C， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 代入和得， 解得， ∴直线的函数表达式为． ∵点B的坐标为，点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 代入和得， 解得， ∴直线的函数表达式为． ，． ． ． 过点P作轴交于点E， 设点P的横坐标为t， 则，， ． ， 高的和为3， ， ∴当时，有最大值，为，， 此时； （3）解：由平移的性质可知，抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位， ∴平移后的抛物线为：． ∵点R在新抛物线对称轴上， , ∴点R的横坐标为． 若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况： ①当为平行四边形的边时，或， 或， 解得或． 或． 或， 或， 或， 或； ②当为平行四边形的对角线时，， ， 解得， ； ， ， ． ． 综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为： 或或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． 7．(1)； (2)，最大值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可得：，令，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式． （2）设，则，表示出，即可得到与的二次函数解析式，通过求二次函数的最值，可得的最大值． （3）①当为平行四边形的边时，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，证得，得到，由抛物线的表达式可得对称轴，设点，则，求出的值，据此可得点的坐标，继而得到点坐标． ②当为平行四边形的对角线时，设的中点为，易得点的坐标，由点在对称轴上，可得点的横坐标为，设点的横坐标为，由中点坐标公式可得的值，据此可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，代入得： ， 解得：， ． 设直线的解析式为，将，，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． （2）解：设，则． ． 依据二次函数的性质可知，存在最大值，最大值为． （3）解：①当为平行四边形的边时，则有，且，如图3，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点． 则． 在和中， ． ． ． 点到对称轴的距离为3． 又． 抛物线对称轴为直线． 设点，则． 解得：或． 当时，代入，得：． 当时，代入，． 点N坐标为或． ． ②当为平行四边形的对角线时，如图4，设的中点为． ，． ． 点在对称轴上． 点的横坐标为． 设点N的横坐标为x，根据中点公式得：． ． 此时． ． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、灵活的将问题转化为二次函数的最值问题，并利用二次函数性质及平行四边形存在性问题求点坐标是解答本题的关键．在解题过程中，要注意思路的清晰性、方法的灵活性和计算的准确性，分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑平行四边形存在的各种可能性，才能顺利的解决此类题目． 8．(1) (2)（4，-3） (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令代入求解可得A、B坐标，然后令可得C点的坐标，进而利用待定系数法可求直线解析式； （2）过点P作轴，交于点H，设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可进行求解； （3）由抛物线解析式可得对称轴为直线，则有，根据拓展可知，然后根据平行四边形的性质可得，进而求解即可． 【详解】（1）令时，则， 解得：， 令时，则有， ∴，，， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点H，如图所示： 设，则，所以， ∴， 因为，所以当时，的面积最大，此时点P的坐标为. （3）由题意，，所以，对称轴为直线， 令，则，所以 .所以， 因为四边形为平行四边形，所以，， 由题意知，则，所以， 所以，解得，（不符合题意，舍去）， 所以当时，四边形为平行四边形． 9．(1)； (2)最大值为，； (3)或或或或． 【分析】（）将，和代入即可求解； （）先求直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，然后根据二次函数的性质即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查二次函数的性质，菱形的性质，两点之间的距离，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，并能分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将，和代入， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：和， 设直线的解析式为， ∴，解得： ， ∴直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为，此时； （3）解：由（）得，设， ∵，， ∴， ∵以点，，，为顶点的四边形是菱形， ∴如图，当时， ∴，解得：， ∴或； 如图，当时， ∴，解得：， ∴或； 如图，当时， ∴，解得：， ∴， 综上可知：的坐标为或或或或． 10．(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 11．(1)此抛物线的函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 (4)存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定该抛物线的顶点坐标； （2）结合（1）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合可知点在直线上，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （3）当点在轴左侧时，设，交轴于点，利用待定系数法解得直线的解析式，进而确定点坐标，结合求得的值，即可确点坐标；当点在轴右侧时，设，交轴于点，利用待定系数法解得直线的解析式，进而确定点的坐标，结合求得的值，即可确点坐标； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵， ∴点在直线上， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （3）当点在轴左侧时，设，交轴于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 整理可得， 解得或（舍去）， ∴； 当点在轴右侧时，设，交轴于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 整理可得， 解得或（舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为或； （4）∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 12．(1)； (2)点的坐标为或 (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，平移的性质，分类讨论思是解题的关键. （1）根据中点坐标公式解答即可；把代入解析式变形解答即可. （2）根据，，是等腰直角三角形，得到，，，得到,， 结合点为中点，得到，代入解析式，结合计算即可得到函数解析式，根据，得到的解析式为；根据点点为中点，得到， 设，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，分点向左平移1的单位和向右平移1个单位，计算即可. （3）分抛物线经过原点，抛物线的顶点在M处和抛物线在中点的右侧和得左侧或上面求解即可. 【详解】（1）∵，等腰直角三角形的顶点的坐标为，点分别是线段的中点， ∴， ∴， 解得， 故答案为：；. （2）∵，，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴,， ∵点为中点， ∴， 代入解析式得， ∵， 解得， 故抛物线的解析式为. 设的解析式为； 把代入解析式为，得， 解得， 故的解析式为； ∵点为中点，，， ∴， ∵，，点F在线段上， 设， 当点R向左平移1个单位长度得到M时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向左平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形； ∵点E在抛物线上， ∴， 解得(舍去), 故点； 当点M向右平移1个单位长度得到R时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需将点F向右平移1个单位长度，得到,此时四边形是平行四边形； ∵点E在抛物线上， ∴， 解得(舍去), 故点； 综上所述，符合条件的点E的坐标为或. （3）当经过原点时， ， ∵， ∴， 此时顶点为原点，也在抛物线上，符合题意； 故； ∵， ∴抛物线的顶点， 当抛物线的顶点在M上时，也是符合题意的， 此时即； ∵，， ∴它们的中点， ∵点在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点， ∴抛物线的对称轴， ∴， 解得； 综上所述，符合题意的m取值为或或. 13．(1) (2)点P的坐标为或或 (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意可得点B的坐标为，进而得抛物线的表达式为：，即可求解； （2）设点P的坐标为：，点，分类讨论当或或为对角线三种情况即可求解； （3）设直线的表达式为：，点G、H的坐标分别为，；联立和可得； 由点G、D的坐标得，直线的表达式为：，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线 点B的横坐标为 点B的坐标为， 抛物线的表达式为：， 即 ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得： 设点P的坐标为：，点， 当或为对角线时，由中点坐标公式得 解得（舍去）或2， 则点； 当为对角线时，同理可得： 解得： 则点P的坐标为：或 综上所述，点P的坐标为或或 （3）解：是定值，理由： 直线过点，故设直线的表达式为： 设点G、H的坐标分别为， 联立和并整理得： 则 由点G、D的坐标得，直线的表达式为： 令，则，即点， 则, 同理可得， 则 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数的解析式求解、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与一次函数综合问题等知识点，掌握函数的性质是解题关键． 14．(1)，； (2)面积最大值为，； (3)点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 15．(1) (2) (3)M的坐标为或或或或 【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点可得、，运用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）根据二次函数图象与轴的交点可求出，如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，设点的横坐标为，则，根据相似三角形的判定和性质可得，，结合直线可用含的式子表示点，再根据，列式得，由此即可求解； （3）根据题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，可知，设，由两点之间距离公式可得，，，根据菱形的性质分类讨论：①当为菱形的边时， ；②当为菱形的边时，；③当为菱形的对角线时，；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、， ∵抛物线的图象经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，且， 解得， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则， ∵点在直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，则，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 解得，， 当时，；当时，， ∴，； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）的条件下，点位于对称轴左侧， ∴， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴，，， ①当为菱形的边时， ，如图所示，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的边时，，如图所示，即， ∴， ∴或， ∴或； ③当为菱形的对角线时，如图所示，，即， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，两点之间距离公式的运用，图形结合分析，分类讨论思想等知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$