精品解析：辽宁省重点高中2025届高考扣题卷（一）数学试题

2025年辽宁高考扣题卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，点D满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，则使和最小的实数分别为的（ ） A. 中位数；平均数 B. 中位数；中位数 C. 平均数；平均数 D. 平均数；中位数 6. 已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若，若为偶函数，则（ ） A B. C. 0 D. 2 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中同时满足：①在上是增函数；②最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 在上是增函数 C. 有极小值 D. 若， 11. 已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ） A. 记的轨迹方程为轨迹： B. 的最大值为 C. 的最小值是 D. （点O为坐标原点）的最小值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，，则______. 13. 已知，则_________． 14 如图1，把一个圆分成n（）个扇形，每个扇形用k种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法． 如图2，有4种不同颜色的涂料，给图中的12个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有_________种（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态．某中学的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”，“抽取的学生为女生”，． （1）求和，并解释所求结果大小关系的实际意义； （2）为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值． 参考公式及数据：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7879 10.828 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围． 17. 已知函数． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）证明：函数上有两个零点． 18. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．的面积为；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题： 条件①：；条件②：点到平面的距离为． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知曲线，当变化时得到一系列椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”． （1）若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：． （2）当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设． （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年辽宁高考扣题卷（一） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的运算可得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得，，然后得到结果. 【详解】，， ∴， 故选：C 3. 已知，点D满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图形结合向量的加法法则可得. 【详解】 . 故选：B 4. 圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 【详解】如图， 则该几何体的轴截面如下： 所以，， ∵与圆相切，点切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 5. 已知实数，则使和最小的实数分别为的（ ） A. 中位数；平均数 B. 中位数；中位数 C. 平均数；平均数 D. 平均数；中位数 【答案】A 【解析】 【分析】结合绝对值的几何意义和二次函数，根据中位数和平均数的定义判断即可. 【详解】，表示11个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 因为11为奇数，所以取的中位数时，有最小值； 为关于的一元二次函数， 故当时，有最小值， 即为的平均数时，有最小值. 故选：A 6. 已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解. 【详解】设， 则， 则由得：， 化简得：， 即点的轨迹是， 故选：C 7. 若，若为偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先令解得的值，再利用定义检验为偶函数. 【详解】， ， 若为偶函数，则， 左右两边同时乘以得，，即， 得，解得； 检验：当时，， ，则，故为偶函数. 故选：A 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】找到的零点可得，构造函数，由导数分析单调性找到最小值即可. 【详解】当时，，不满足恒成立； 当时，令，可得或， 函数的零点为和， 因为恒成立，所以， 所以， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则， 所以的最小值为1. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中同时满足：①在上是增函数；②最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的解析式结合函数图像变换的规则逐个选项判断即可. 【详解】对于选项A，在上是增函数，但不具有周期性， 不合题意，A错误； 对于选项B，在上是增函数，最小正周期为， 符合题意，B正确； 对于选项C，，最小正周期为，但在上是减函数， 不符合题意，C错误； 对于D选项，在上是增函数，最小正周期为，符合题意， D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 在上是增函数 C. 有极小值 D. 若， 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，得到出方程解的个数，然后判断A选项；对函数求导，然后得到函数的递增区间，判断B选项；由函数的单调区间得到函数的极值判断C选项；构造函数，由导函数得到函数的单调性，从而求出当时，的最小值，即能判断D选项. 【详解】令，即，∵，∴只有一个解，即函数有一个零点，A选项错误; ，令，，∵，∴，∴在上是增函数，B选项正确； 在上单调减，在上单调递增，∴函数有极小值，C选项正确； 令，，， 令，则，，， ∴当时，，即在单调递增，∴， 即，在单调递增，∴，即，D选项正确. 故选：BCD. 11. 已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ） A. 记的轨迹方程为轨迹： B. 的最大值为 C. 的最小值是 D. （点O为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A选项；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C选项；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，即可判断D选项. 【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图： 则，， ∴，即，∴，A选项正确； ∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号， 所以，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； 当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为：7，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可. 【详解】由等比中项的性质可得， 设等比数列的公比为， 因为， 所以， 故答案为：6. 13. 已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由切化弦结合三角恒等变换和拆角可得. 【详解】由可得， ， ， ， ， . 故答案为：. 14. 如图1，把一个圆分成n（）个扇形，每个扇形用k种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法． 如图2，有4种不同颜色的涂料，给图中的12个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有_________种（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件可计算八个空格染色问题，剩下的可用分步分类计数即可. 【详解】染色问题按以下步骤进行： 第一步：给染色有4种方法； 第二步：给染色， 若与的颜色均不同，则可用颜色有3种， 根据已知条件可知：种； 若与其中一个的颜色相同，则有种方法； 若与两个的颜色相同，则有种方法 若与其中三个的颜色相同，则有种方法； 若与颜色都相同，则有种方法： 第三步：给染色，因为已经染了色，所以分以下两类: 当与同色，给染色有：种； 当与不同色，给染色有：种； 利用分类分步原理可得：总有：种， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态．某中学的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”，“抽取的学生为女生”，． （1）求和，并解释所求结果大小关系的实际意义； （2）为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值． 参考公式及数据：，． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）由对立事件的概率公式结合条件概率、全概率公式计算即可；实际意义由题干中结合所求概率可得； （2）完成列联表，计算卡方可得. 【小问1详解】 因为， 所以由对立事件概率公式关系可得 代入， 所以， 由全概率公式可得， 即， 所以. 说明学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关. 【小问2详解】 完成列联表如下： 学生体验到心流 学生未体验到心流 合计 男生 女生 总计 ， 所以，所以的最值小值为4. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，在中利用正弦定理求得关于角的表达式，构造函数，利用函数的单调性求解即可. 小问1详解】 因为，由正弦定理有：， 所以， ， ， ， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 因为， 所以有：，，或，（舍）， 所以得证. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 所以 ， 因为，所以， 令，则，， 令，， 根据函数解析式，上单调递减， 因为，，所以， 所以. 17. 已知函数． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）证明：函数在上有两个零点． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解， （2）根据三角函数的性质，结合导数即可求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得， 当时，令，可得， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 ， 则， 当时，故，此时在单调递增， 当时，记，则， 由于，则故，因此在单调递减，由于，故存在唯一的使得， 当单调递增，当单调递减， 综上知：在单调递增，在单调递减， 且， 因此在上有两个零点. 18. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．的面积为；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题： 条件①：；条件②：点到平面的距离为． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件，确定底面三角形得边长，再利用空间向量的方法求二个平面所成角即可； （2）根据已知条件分析确定点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设出点坐标，根据已知条件求出，利用空间向量的方法求出与平面所成角的正弦值表达式，根据范围即可求解. 【小问1详解】 根据题意建立如图所示以为坐标原点， 、、为、、轴的空间直角坐标系， 设，， 因为三棱柱为直三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为直角三角形，， 因为三楼柱为直三棱柱，所以平面， 平面，所以，又因为， 平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 所以为直角三角形，因为的面积为， 所以， 若选条件①：， ，，，，， ，，因为， 所以，即，解得， 代入，解得， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， ，设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角余弦值为：. 若选条件②：点到平面距离为， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 解得，所以， 因为点到平面的距离为， 所以，即，解得， 代入，解得， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， ，设平面的法向量为， ，所以，令， 解得，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角余弦值为：. 【小问2详解】 取中点，连结、，则， 因为，，所以， 在，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则,，， 因为，，所以， 整理得：， 由（1）知，平面的法向量为， 设与平面的夹角为，则 ， 因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”． （1）若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：． （2）当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设． （i）求证：为等比数列，并求出其通项公式； （ii）令数列，求证． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析，；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段的中点与线段中点重合，根据线段长度的减法可证得结论； （2）（i）根据题意联立方程组，求出点和的横坐标，利用两点间距离公式求得，即证得结论并得到通项公式；（ii）由已知条件得到，利用放缩法构造出新数列的不等式，利用裂项相消法求前项和即可证得结论. 【小问1详解】 由题意，联立方程可得， ，即， 由图可知，椭圆与直线的交点为点，设，则， 同理，将与直线联立可得：， ，即， 可得，则线段的中点与线段中点重合，设为点， 即有，所以，即. 【小问2详解】 （i）由题意，联立方程可得，即. 因为交点在第一象限内，所以点的横坐标，同理可得点的横坐标， 则. 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为. （ii）由（i）可知，，则. 设， 设， 由时，，可得， ， 即. ， 即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$