第一次月考综合检测卷（测试内容：二次根式+勾股定理）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年人教版八年级数学下册同步精讲精练

（人教版）八年级数学下册第一次月考 综合检测卷 （测试范围：第十六章和第十七章） 测试时间：120分钟 满分：120分钟 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．一切实数 2．下列四组数中，不是勾股数的是（　　） A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a＝6，b＝5，c＝8 D．a＝9，b＝12，c＝15 3．下列计算正确的是（　　） A． B．33 C．3﹣1＝1 D． 4．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，且已知a＝5，c＝13，则b为（　　） A．8 B．10 C．12 D．18 5．若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣4 D．4﹣2x 6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A−∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 7．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（　　） A．3 B． C．2 D． 8．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A．210 B．45 C．410 D．45或210 9．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH（赵爽弦图），连接AC，交EF、GH分别于点M，N，连接FN，已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝25，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．5 C． D．10 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．在，，，，中，最简二次根式有 　 　个． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BD＝4，CD＝2，则AD的长度是 　 ． 13．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为　 ． 14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 米． 15．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．若a2+b2＝25，a2﹣b2＝7，c＝5，则最长边上的高是 　 　． 16．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（每小题4分，共8分）计算： （1）（23）；（2）（）2﹣（2）（2）+|1|． 18．（7分）给出以下式子：（），先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值． 19．（8分）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看作是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m；放飞点与风筝的水平距离BM为24m；根据手中余线的长度，计算出AN的长度为25m．已知点A，B，M，N在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度MN． （2）若此时小明手里的余线仅剩4m，他想要让风筝沿射线MN方向再上升11m，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 20．（8分）已知x，y． （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值． 21．（9分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 22．（10分）如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ADP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点O，且OE＝OD． （1）求证：DP＝EG； （2）求AP的长． 23．（10分）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，直接写出第五个等式：　 　； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （3）设S＝S1+S2+S3+⋯+Sn（n为正整数），当n＝100时，求S的值． 24．（12分）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，请判断BD与CE的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝7，求CD2的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ （人教版）八年级数学下册第一次月考 综合检测卷 （测试范围：第十六章和第十七章） 测试时间：120分钟 满分：120分钟 1、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D．一切实数 【分析】直接利用二次根式的性质得出的符号，进而得出答案． 【解答】解：若， 则， 解得：． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式化简结果的符号是解题的关键． 2．下列四组数中，不是勾股数的是（　　） A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a＝6，b＝5，c＝8 D．a＝9，b＝12，c＝15 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵82+52＝172， ∴a＝15，b＝8，c＝17是一组勾股数，本选项不符合题意； B、∵62+82＝102， ∴a＝6，b＝8，c＝10是一组勾股数，本选项不符合题意； C、∵52+62≠82， ∴a＝6，b＝5，c＝8不是一组勾股数，本选项符合题意； D、∵92+122＝152， ∴a＝9，b＝12，c＝15是一组勾股数，本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 3．下列计算正确的是（　　） A． B．33 C．3﹣1＝1 D． 【分析】根据同类二次根式的概念、合并同类二次根式的法则、二次根式的混合运算顺序和法则及分母有理化逐一判断即可． 【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B．32，此选项计算错误； C．，此选项计算错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念、合并同类二次根式的法则、二次根式的混合运算顺序和法则及分母有理化． 4．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，且已知a＝5，c＝13，则b为（　　） A．8 B．10 C．12 D．18 【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【解答】解：由勾股定理可得：， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握其性质是解题的关键． 5．（2024春•滨城区校级月考）若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣4 D．4﹣2x 【分析】先判断出x﹣3与x﹣1的正负情况，再根据绝对值的性质与二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣3＜0，x﹣1＞0， ∴|x﹣3|（x﹣3）+x﹣1＝﹣x+3+x﹣1＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据x的取值范围判断出x﹣3与x﹣1的正负情况是解题的关键． 6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A−∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可． 【解答】解：如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，A不合题意； 如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5， 设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， 则3x+4x+5x＝180°， 解得，x＝15°， 则3x＝45°，4x＝60°，5x＝75°， 那么△ABC不是直角三角形，B符合题意； 如果a2：b2：c2＝9：16：25， 则如果a2+b2＝c2， 那么△ABC是直角三角形，C不合题意； 如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，D不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 7．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据等腰三角形三线合一可推出BE＝DE，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得AE，然后利用勾股定理求得CE，BE，最后由CD＝CE﹣DE即可求得答案． 【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，如图： ∵AB＝AD， ∵AE⊥BD， ∴BE＝DE， 在Rt△AEC，AC＝8，∠C＝30°， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴DE＝BE＝3， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A．210 B．45 C．410 D．45或210 【分析】分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长． 【解答】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，不满足三角形的三边关系； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系，此时周长为210． 综上可知，三角形的周长为210． 故选：A． 【点评】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 9．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC的面积和AC的长，然后即可计算出BD的长，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， △ABC的面积是：3×4， ∵BD是△ABC的高，AC5， ∴， 解得，BD， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH（赵爽弦图），连接AC，交EF、GH分别于点M，N，连接FN，已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝25，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．5 C． D．10 【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积． 【解答】解：∵S正方形ABCD＝25， ∴AB2＝25， 设DH＝x， 则AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝25， ∴x2， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN， ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： （EM+MF）•FG （2x）2 ＝2x2 ＝5， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．在，，，，中，最简二次根式有 　 　个． 【分析】根据二次根式的定义即可得出答案． 【解答】解：最简二次根式有，共1个． 故答案为：1． 【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BD＝4，CD＝2，则AD的长度是 　 ． 【分析】设AD＝a，根据题意，得出AB＝a+2，在Rt△ABD中，根据AB2＝AD2+BD2，列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：设AD＝a， ∵AB＝AC，CD＝2， ∴AB＝AC＝AD+DC＝a+2， ∵BD是AC边上的高， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2， 即（a+2）2＝a2+42， 解得a＝3， 故选：3． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 13．若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为　 ． 【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案． 【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7， ∴3﹣n＜0，8﹣n＞1， 原式＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝﹣（3﹣n）+（8﹣n） ＝﹣3+n+8﹣n ＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 米． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长． 【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．若a2+b2＝25，a2﹣b2＝7，c＝5，则最长边上的高是 　 　． 【分析】求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：由a2+b2＝25，a2﹣b2＝7建立方程组，解得， ∵32+42＝52， ∴△ABC为直角三角形，c为斜边， 设c上的高为h，由面积公式Schab， ∴3×4＝5h， ∴h， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键． 16．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 【分析】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理解决问题，将容器侧面展开，建立A关于MM'的对称点A'，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求．将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则MM'＝NN'＝10cm，作A关于MM'的对称点A'，连接A′B，则此时线段A′B即为蚂蚁走的最短路径， 【解答】解：将圆柱沿A所在的高剪开， 展平如图： 则MM'＝NN'＝10cm， 作A关于MM'的对称点A'， 连接A′B， 则此时线段A′B即为蚂蚁走的最短路径， 过B作BD⊥A'A于点D， 则BD＝NE＝5cm，A'D＝MN+A'M﹣BE＝10﹣3+2＝9cm， 在Rt△A'BD中，由勾股定理得ABcm， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（每小题4分，共8分）计算： （1）（23）； （2）（）2﹣（2）（2）+|1|． 【分析】①根据二次根式的除法和算术平方根将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可； ②根据完全平方公式、平方差公式和去绝对值的方法可以将题目中的式子展开，然后合并同类项和同类二次根式即可． 【解答】解：①（23） ＝23（1） 31 ＝﹣2； ②（）2﹣（2）（2）+|1| ＝3+22﹣（3﹣4）1 ＝3+22+11 ＝5+3． 【点评】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用． 18．（7分）给出以下式子：（），先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值． 【分析】先算括号里面的减法，再根据发送到除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为2，﹣2，﹣1，取x＝2+2，再代入求出答案即可． 【解答】解：（） ＝[]• ＝（）• • • ， 由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0， 则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1， ∴当时 原式． 【点评】本题考查了分式和二次根式的化简求值，能灵活运用分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 19．（8分）风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，第一个风筝是鲁班用竹子做的，后来只有皇宫里才有风筝．唐朝以前，风筝一般被看作是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m；放飞点与风筝的水平距离BM为24m；根据手中余线的长度，计算出AN的长度为25m．已知点A，B，M，N在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度MN． （2）若此时小明手里的余线仅剩4m，他想要让风筝沿射线MN方向再上升11m，请问能否成功？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【分析】（1）过点A作AE⊥MN于点E，在Rt△AEN中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升11m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF＝25m，再根据题意，25+4＝29＜30，即可求解． 【解答】解：（1）如图1所示，过点A作AE⊥MN于点E，则AE＝BM＝24m，AB＝CD＝1.5m，∠AEN＝90°， 在Rt△AEN中，NE7（m）， ∴MN＝NE+EM＝7+1.5＝8.5（m）； （2）不能成功，理由如下： 假设能上升11m，如图所示，延长MN至点F，连接AF，则NF＝11m， ∴EF＝NE+NF＝7+11＝18（m）， 在Rt△AEF中，AF30（m）， ∵AN＝25m，余线仅剩4m， ∴25+4＝29＜30， ∴不能上升11m，即不能成功． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． 20．（8分）已知x，y． （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的整数部分是a，y的小数部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值． 【分析】（1）利用分母有理化化简x和y，并将所求式变形后代入可答案； （2）根据无理数的估算可知0＜21，3＜24，可得a和b的值，代入所求式可得答案． 【解答】解：（1）∵x2，y2， ∴x2+y2﹣xy ＝（x+y）2﹣3xy ＝（22）2﹣3（2）（2） ＝16﹣3 ＝13； （2）∵12， ∴0＜21，3＜24， ∴a＝0，b＝231， ∴5a2021+（x﹣b）2﹣y ＝5×0+（21）2﹣（2） ＝（3﹣2）2﹣2 ＝9﹣1212﹣2 ＝19﹣13． 【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本题的关键． 21．（9分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点， 在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km， 因为160＜200，所以A城要受台风影响； （2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米， ∴△ADG是等腰三角形， ∵AC⊥BF， ∴AC是DG的垂直平分线， ∴CD＝GC， 在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米， 由勾股定理得，CD120千米， 则DG＝2DC＝240千米， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）． 【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂． 22．（10分）如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ADP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点O，且OE＝OD． （1）求证：DP＝EG； （2）求AP的长． 【分析】（1）根据折叠的性质可得PA＝PE，∠A＝∠E＝∠D＝90°，BE＝AB＝10，结合OE＝OD，可证明△PDO≌△GEO，得到OG＝OP，DP＝EG； （2）推出DG＝PE＝PA，设AP＝x，则PD＝EG＝3﹣x，DG＝AP＝x，推出BG＝1+x，在Rt△BCG中，根据勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝3， ∵将△ABP沿BP翻折至△EBP，BE与CD相交于点G，PE与CD相交于点O， ∴∠A＝∠E＝∠D＝90°， 在△PDO和△GEO中， ， ∴△PDO≌△GEO（ASA）， ∴OG＝OP，PD＝EG； （2）解：∵OP＝OG，OD＝OE， ∴OD+OG＝OE+OP， 即DG＝PE， ∴DG＝PE＝PA， 设AP＝x，则PD＝EG＝3﹣x，DG＝AP＝x， ∴BG＝BE﹣EG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，CG＝DC﹣DG＝4﹣x， 在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2， 即32+（4﹣x）2＝（1+x）2， 解得：x＝2.4， ∴AP＝2.4． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． 23．（10分）先观察下列等式，再解答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，直接写出第五个等式：　 　； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （3）设S＝S1+S2+S3+⋯+Sn（n为正整数），当n＝100时，求S的值． 【分析】（1）由已知仿写即得； （2）用n表示出式子，再利用规律得出结果即可； （3）根据题目中的规律计算即可得到结论． 【解答】解：（1）第五个等式：S511， 故答案为：S511； （2）第n个等式：Sn11（n是正整数）； （3）当n＝100时， S＝S1+S2+S3+⋯+S100 ＝1111 ＝100+1 ＝100+1 ＝100． 【点评】本题考查了数字的变化规律，二次根式的性质与化简，能够通过已知归纳数的一般规律，解题的关键是找出规律． 24．（12分）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，请判断BD与CE的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝7，求CD2的值． 【分析】（1）由已知条件证明△ABD≌△AEC，可得结论； （2）在△ABC的外部作Rt△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接BE、CE，先证明△EAC≌△BAD，可得EC＝BD，再证明∠CBE＝90°，根据勾股定理求出EC2的值，即得到BD2的值； （3）先证明△ABC是等边三角形，再将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转60°，得到△BCE，可得△ECD是等边三角形，求得∠BED＝90°，根据勾股定理求出ED的长，即可得到CD2的值． 【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下： ∵∠CAD＝∠BAE＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°+∠BAC， ∵AB＝AE，AD＝AC， ∴△ABD≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE； （2）如图2，在△ABC的外部作Rt△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接BE、CE． ∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴∠CAD＝90°，AC＝AD， ∴∠EAC＝∠BAD＝90°+∠BAC， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴EC＝BD， ∴EC2＝BD2， ∵∠ABE＝45°，∠ABC＝45°， ∴∠CBE＝45°+45°＝90°， ∵AE＝AB＝5，∠BAE＝90°， ∴BE2＝AB2+AE2＝52+52＝50， ∵BC＝2， ∴EC2＝BC2+BE2＝22+50＝54， ∴BD2＝54； （3）如图3，∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， 将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转60°，得到△BCE， 则CE＝CD，∠ECD＝60°， ∴△ECD是等边三角形， ∴∠CED＝60°，ED＝CD， 由旋转得∠BEC＝∠ADC＝30°，BE＝AD＝4， ∴∠BED＝30°+60°＝90°， ∴BD＝7， ∴ED， ∴CD2＝ED2＝33． 故答案为：33． 【点评】此题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形、等边三角形等，以便进一步分析和解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$