第7章 2.万有引力定律-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案word（人教版2019）

2．万有引力定律 1．能利用开普勒定律和牛顿运动定律推导出太阳与行星之间的引力表达式。2.了解月—地检验，了解万有引力定律得出的过程和思路。3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件，了解引力常量。4.认识万有引力定律的普适性，能应用万有引力定律解决实际问题。5.理解万有引力与重力的关系，并能利用该关系解决问题。 任务1　行星与太阳间的引力 行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。根据圆周运动知识，行星绕太阳运动的原因是什么？ 提示：受到指向太阳的引力，这个引力提供向心力。 1．太阳对行星的引力 如图，设行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为F＝m；测得行星公转的周期T，则行星的速度v＝，两式联立并整理得F＝。把开普勒第三定律＝k变形为T2＝，代入上面的关系式得到F＝4π2k。 由上式可得，太阳对行星的引力F与行星的质量m成正比，与行星和太阳间距离的二次方r2成反比，即F∝。 2．行星对太阳的引力：在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全相当，因此，行星对太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，即F′∝。 3．行星与太阳间的引力：F＝G，式中量G与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。 判一判 (1)行星绕太阳的运动不需要力的作用。(　　) (2)匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动。(　　) (3)太阳与行星间作用力的公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。(　　) 提示：(1)×　行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，和其他做匀速圆周运动的物体一样需要向心力。 (2)√　匀速圆周运动的规律同样适用于行星所做的匀速圆周运动。 (3)√　卫星绕行星的运动同样满足Fn＝m和开普勒第三定律，所以公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。 例1　(多选)根据开普勒关于行星运动的规律、圆周运动的知识和牛顿第三定律可知，太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是(　　) A．由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力 C．F和F′大小相等，是同一个力 D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 [解析]　F和F′大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，A、C错误，B正确；太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，D正确。 [答案]　BD 任务2　月—地检验 绕太阳运动的地球受什么力？忽略空气阻力，下落的苹果受什么力？绕地球转动的月球受什么力？它们的施力物体各是什么？ 提示：绕太阳运动的地球受到太阳的引力，施力物体是太阳；下落的苹果和绕地球转动的月球都受到地球的引力，施力物体都是地球。 1．猜想：地球与月球间的作用力、太阳与行星间的作用力、地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。 2．检验 (1)理论分析 若猜想正确，地球与月球之间的引力F＝G，根据牛顿第二定律有a月＝＝G。 地面上苹果的自由落体加速度a苹＝＝G。 由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝。 (2)观测验证 ①苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2。 ②月球中心与地球中心的距离r＝3.8×108 m，月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s，则a月＝r＝2.7×10－3 m/s2(保留两位有效数字)，＝2.8×10－4(数值)≈(比例)。 3．结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(选填“相同”或“不同”)的规律。 例2　若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”都遵循同样的规律(即“物体受到地球引力的大小与物体到地球中心距离的平方成反比”)，在已知地球表面重力加速度、月地距离和地球半径的情况下，还需要知道(　　) A．月球表面的重力加速度 B．月球公转的周期 C．月球的半径 D．月球的质量 [解析]　设苹果的质量为m，地球半径为R，地球质量为M，月球质量为m′，地球表面重力加速度为g，月地距离为r，对苹果，根据万有引力定律可得＝mg，对月球有＝m′r，已知地球表面重力加速度g、月地距离r和地球半径R，则还需要知道月球公转的周期T，故B正确，A、C、D错误。 [答案]　B 任务3　万有引力定律　引力常量 使月球绕地球运动的力、地球对树上苹果的吸引力与使地球绕太阳运动的力是同一性质的力。由此可以进行什么样的合理推广？ 提示：地面物体所受地球的引力、地球吸引月球的力，与太阳对行星的力是同一性质的力，遵循同样的规律F＝G，可以联想任意两个物体间都有引力，且都遵循这个规律，只是身边物体的质量比天体质量小得多，不易觉察。 1．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)表达式：F＝G，G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 2．引力常量 通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，它是由英国物理学家卡文迪什在实验室里首先测出的。引力常量的普适性是万有引力定律正确性的有力证据。 1．万有引力的特点 普适性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在彼此上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力非常小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力的作用不可忽略 2.应用公式F＝G的注意事项 (1)求两个质点间的万有引力，或者当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，此时公式中的r表示两质点间的距离。 (2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力时，公式中的r为两个球心间的距离。 (3)求一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力时，r指质点到球心的距离。 (4)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，而且不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。 例3　如有两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则它们之间的万有引力的大小为(　　) A．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略 B．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略 C．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略 D．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略 [解析]　根据万有引力定律可得两艘轮船之间的万有引力大小F＝＝ N＝6.67×10－5 N，相比于船自身重力G＝Mg＝1.0×107×9.8 N＝9.8×107 N，该引力可以忽略，A正确，B、C、D错误。 [答案]　A [跟进训练]　 (2024·重庆市长寿区高一下期末)如图所示，某行星绕太阳运行的轨道为椭圆，该行星在近日点A受到太阳对它的万有引力为FA，在远日点B受到太阳对它的万有引力为FB。FA和FB的大小关系为(　　) A．FA<FB B．FA＝FB C．FA>FB D．无法确定 答案：C 解析：设太阳的质量为M，行星的质量为m，两者间的距离为r，根据万有引力定律可得，太阳对该行星的引力F＝，由于该行星在近日点A时与太阳的距离小于在远日点B时与太阳的距离，故有FA>FB，故C正确，A、B、D错误。 任务4　万有引力与重力的关系 1．万有引力和重力的关系 地球对物体的万有引力F指向地心，它的一个分力F向充当物体随地球自转所需要的向心力，另一个分力就是物体的重力mg。 2．重力和纬度的关系 (1)赤道上：万有引力、向心力及重力的方向相同，F＝F向＋mg，即G＝mω2R＋mg。 (2)两极点：向心力F向＝0，F＝G＝mg。 (3)地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 注：由于地球的自转角速度ω很小，所以F向与mg相比一般可忽略。在考查万有引力和重力的关系时，应根据题意判断是否需要考虑地球自转的影响。 3．重力与高度的关系 忽略地球自转的影响时，万有引力与重力相等，即F＝G＝mg，由此可得重力加速度g＝G。可知，距地面越高，重力加速度g越小。 例4　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　) A． B． C． D． [解析]　由万有引力定律得物体在“两极”处有G＝1.1mg，在“赤道”上某处有G－mg＝mω2R，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝，B正确，A、C、D错误。 [答案]　B 例5　设地球表面的重力加速度为10 m/s2，某同学在地面上用体重计所称体重为500 N。假如此同学有幸乘坐一艘宇宙飞船。 (1)宇宙飞船飞行至距离地面高度为地球半径的某处，求此时该同学受到的地球引力大小； (2)若此同学有幸到距离地面高度为地球半径的宇宙空间站上参观，求在空间站上用体重计所称的体重。 [解析]　(1)不考虑地球自转，在地球表面，有F＝mg＝G 设在离地面高度h＝R处，该同学受到的地球引力大小为F′，有F′＝G 解得F′＝320 N。 (2)在空间站中，该同学随空间站一起绕地球做匀速圆周运动，由于万有引力全部提供向心力，该同学处于完全失重状态，所以体重计示数为0。 [答案]　(1)320 N　(2)0 等效思维——割补法 1．概述 万有引力定律适用于计算质点间、质点与均匀球体间、两均匀球体间的相互作用力，若出现大球内某个区域被挖去一个小球，无法直接应用公式求残缺球与另外质点或另外球体的万有引力，此时可以采用“先补后挖”的方法，应用万有引力定律间接求万有引力。 2．分析方法 根据等效思维，可以把残缺的大球用相同材料的小球补充成完整的大球，则质量为m的质点受到残缺球的引力等于完整大球对质点的引力与填充的小球对质点的引力之差。 例　有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R、球心为O′的球体，且O、O′与质点m位于同一直线上，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为(　　) A． B． C． D． [解析]　质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G，挖去的球体的质量M′＝M＝，质量为M′的球体对质点m的万有引力F2＝G＝G，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝G－G＝，故A正确，B、C、D错误。 [答案]　A [方法感悟]　此方法适用的条件 (1)形状的要求：大球内挖掉小球，其他形状的物体的情境不可用此法。 (2)质量分布的要求：残缺球的质量分布要均匀。 (3)三心的位置关系：大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点)，若三心共线，则三力共线，遵循代数运算法则；若三心不共线，则三力不共线，遵循矢量运算法则。 [跟进训练]　 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：利用割补法来分析此题。原来半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，设原球体的质量为M，挖去的半径为的球体的质量M′＝M＝M，根据万有引力定律，挖去的球体对质点P的万有引力为，故原球体 剩余部分对质点P的万有引力变为F－＝，C正确。 课后课时作业 知识点一　万有引力定律的建立过程 1．关于行星运动规律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是(　　) A．第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律 B．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 C．卡文迪什在实验室里通过扭秤实验中几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值 D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验” 答案：C 解析：开普勒通过整理第谷大量的天文观测数据得到行星运动规律，A错误；胡克等人及牛顿提出地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力，B错误；卡文迪什在实验室里通过扭秤实验中几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值，C正确；牛顿通过比较月球公转的向心加速度a月与地球表面重力加速度g，验证其满足关系＝，证明地面物体所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一性质的力，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故D错误。 知识点二　万有引力定律的理解 2．下列有关万有引力的说法中，正确的是(　　) A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力 B．F＝G中的G是比例常数，对于不同的星球G的值不同 C．公式F＝G只适用于天体，不适用于地面物体 D．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力 答案：D 解析：物体落到地面上，说明地球对物体有引力，根据力的相互性，物体对地球也有引力，故A错误；F＝G中的G是比例常数，对于不同的星球G的值相同，故B错误；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，是任意两物体之间的相互作用力，公式适用于天体，也适用于地面物体，地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，故C错误，D正确。 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．万有引力定律F＝G适用于两质点间的作用力计算 B．据F＝G，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大 C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离 答案：AD 解析：万有引力定律适用于计算两质点间的作用力，当两分离的球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，球体之间的相互作用力可以用F＝G计算，其中r是两球体球心间的距离，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大球和小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m的引力合力为零，故C错误。 知识点三　万有引力定律的应用 4．现代粒子物理实验表明，一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。已知一个u夸克和d夸克的质量均为7.1×10－30 kg，质子中两个夸克相距1.0×10－16 m，则质子中两个夸克间的万有引力约为(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)(　　) A．3.4×10－9 N B．1.7×10－35 N C．3.4×10－37 N D．4.9×10－39 N 答案：C 解析：由万有引力公式可得：F＝G＝ N≈3.4×10－37 N，故C正确，A、B、D错误。 5．如图，一体积较小的星体A正在“吸食”另一颗体积较大的星体B的表面物质，达到质量转移的目的，且在“吸食”过程中两者质心之间的距离保持不变。当星体A与星体B的质量分别为m、3m时，两者之间的万有引力大小为F，则当星体A与星体B的质量之比为1∶1时，两者之间的万有引力大小为(　　) A．F B．F C．F D．F 答案：A 解析：设两星体质心之间的距离为r，当星体A与星体B的质量分别为m、3m时，根据万有引力定律可得，两者之间的万有引力大小为F＝G，当两者的质量之比为1∶1时，由于两者的质量之和不变，则星体A与星体B的质量均为2m，两者之间的万有引力大小为F′＝G，联立可得F′＝F，故选A。 知识点四　万有引力与重力的关系 6．2023年5月30日09：31，搭载景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员的神舟十六号载人飞船由长征二号F遥十六运载火箭在酒泉发射场发射升空，正式开启空间站新阶段首次载人飞行任务。载人飞船在远离地球的过程中，所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是(　　) 答案：B 解析：根据万有引力定律可知F＝G，可知F随h增大而减小，且变化越来越慢，故选B。 7. (多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．P、Q受地球引力大小相等 B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q两质点的重力大小相等 答案：AC 解析：P、Q两质点所受地球引力大小都是F＝G，R为地球半径，故A正确；P、Q都随地球一起自转做匀速圆周运动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P做圆周运动的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误。 8．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为(　　) A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1 答案：C 解析：设月球质量为m，地月球心间距离为r，飞行器质量为m0，则地球质量为81m，当飞行器距月球球心的距离为r′时，月球对它的引力等于地球对它的引力，则G＝G，所以r′∶r＝1∶10，故C正确。 9．在长期天文观测中，人们发现一些星体运行过程中物理量的观测值和理论值之间往往存在稍许偏差。为了解释这种现象，科学家们认为，宇宙中存在一种望远镜看不到的物质，叫暗物质。在对一个绕质量为M的恒星做半径为r的匀速圆周运动的行星观测中发现，行星实际所受万有引力值是恒星对其万有引力理论值的k(k>1)倍。假设暗物质均匀分布，且行星轨道外侧的暗物质对行星的引力为0，那么，在以恒星中心为球心，以r为半径的球内暗物质的质量应为(　　) A．(k－1)M B．kM C．(k＋1)M D． 答案：A 解析：设半径为r的球内暗物质的质量为M′，则有F实＝＋，F理＝，F实＝kF理(k>1)，联立解得M′＝(k－1)M，故A正确。 10．行星绕恒星的运动轨道近似圆形，轨道半径R的三次方与运行周期T的平方的比值k为常数，即k＝，根据万有引力定律及圆周运动的知识可推导出k的大小，则常数k的大小(　　) A．与行星的质量成正比 B．与恒星的质量成正比 C．与行星的质量成反比 D．与恒星的质量成反比 答案：B 解析：由万有引力提供向心力有G＝mR，可得k＝＝，则常数k的大小与恒星的质量成正比，故B正确，A、C、D错误。 [名师点拨]　本章第1节曾指出，对于不同的中心天体，开普勒第三定律＝k中的k值一般不同，但没给出原因。根据万有引力定律可得出k＝，由此从理论上给出了解释。 11．火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2，忽略地球和火星的自转影响)， (1)在火星表面上受到的重力是多少？(计算结果保留一位小数) (2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？ 答案：(1)222.2 N　(2)3.375 m 解析：(1)在地球表面上有mg＝G 在火星表面上有mg′＝G 代入数据，联立解得g′＝ m/s2 则宇航员在火星表面上受到的重力 G′＝mg′＝50× N＝222.2 N。 (2)宇航员在地球表面能跳起的高度H＝ 宇航员在火星表面能跳起的高度h＝ 联立并代入数据解得 h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。 12．如图所示，是卡文迪什测量引力常量的实验示意图，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜M上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为m′，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光斑在弧形刻度尺上移动的弧长为Δl。根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度Δθ成正比，即F＝kΔθ，k的单位为N/rad，Δθ可以通过反射光斑在弧形刻度尺上移动的弧长求出来。则测得引力常量为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：施力小球对相应平衡球施加的力为万有引力，即F＝G，根据光的反射定律及几何关系可知，石英丝N发生扭转的角度Δθ＝，又F＝kΔθ，联立可得到G＝，故D正确。 [名师点拨]　与必修第一册“通过平面镜观察桌面的微小形变”的实验类似，该实验也用到“放大”的思想方法，这是物理学史中一个经典的实验，必修第三册还会遇到装置类似的库仑扭秤实验。同学们应在了解这些实验方法的同时，逐步掌握相应的物理思维并能加以实际运用。 15 学科网（北京）股份有限公司 $$