1.6.2正弦定理、余弦定理的综合应用(1)教学设计-2024-2025学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

1.6.2正弦定理 (一)教学目标 1.知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，准确 理解正弦定理的内容及其证明方法。 能够熟练运用正弦定理与三角形内角和定理，解 决两类基本的解三角形问题（已知两角和任意一边，求其他 两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 和其他边)。 掌握正弦定理的变形公式，能根据具体题目条件 灵活选择合适的公式进行计算和推理。 2.过程与方法 在正弦定理的探究过程中，经历观察、猜想、实验、 证明等数学思维过程，培养学生的合情推理能力和逻辑思维 能力。 通过对不同证明方法的学习和比较，体会从特殊 到一般、从直观到抽象的数学思想方法，提高学生分析问题 和解决问题的能力。 在运用正弦定理解三角形的过程中，引导学生学 会对题目条件进行分析和转化，形成解题策略，培养学生的 数学应用意识和实践能力。 3.情感态度与价值观 通过探索正弦定理的过程，让学生体验数学的严 谨性和科学性，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。 在合作交流和探究活动中，培养学生的团队合作 精神和勇于探索的精神，增强学生学好数学的信心。 体会数学知识之间的内在联系，以及数学与其他 学科和实际生活的紧密联系，培养学生的数学文化素养和综 合运用知识的能力。 （二)教学重难点 1.教学重点 正弦定理的内容和证明方法。 正弦定理在解三角形中的应用，特别是解决两类 基本的解三角形问题。 理解正弦定理与三角形外接圆半径的关系，并能 灵活运用这一关系解决相关问题。 2.教学难，点 正弦定理的多种证明方法的理解和掌握，尤其是 向量法证明正弦定理。 运用正弦定理解三角形时，对于已知两边和其中 一边的对角的情况，如何判断解的个数，并能正确求解。 引导学生根据具体题目条件，合理选择正弦定理 的不同形式进行解题，培养学生的解题策略和数学思维能力。 （三)教学过程 1.情境导入（5分钟) 师：（展示图片)同学们，在我们的生活中，有 很多地方会涉及到三角形的测量问题。比如，在测量河流两 岸两点之间的距离，或者测量一座山的高度时，我们很难直 接测量出这些距离或高度。那我们该怎么办呢？今天，我们 就一起来学习一个非常重要的定理一一正弦定理，它可以帮 助我们解决这些问题。 (多煤体展示问题情境)一艘船在海上航行，在A 处观测到灯塔B在它的北偏东30°方向，船继续航行10 海里到达C处，此时观测到灯塔B在它的北偏东75°方 向。那么，我们能否求出船与灯塔B的距离呢？ 引导学生思考：在这个问题中，我们已知哪些条件， 要求什么？如何将实际问题转化为数学问题？让学生初步 感受解三角形的必要性。 2.知识探究（12分钟) 特殊三角形中的边角关系 师：首先，我们来回顾一下直角三角形中的 边角关系。在直角三角形ABC中，∠C=90°，根据正弦 函数的定义，我们有sinA=a/c,sinB=b/c,sinC=1。 由此可以得到a=c sinA,b=c sinB,c=c sinC。那 么，a/sinA=b/sinB=c/sinC=co 引导学生思考：在直角三角形中，我们得到 了三边与对应角的正弦值的比值相等，那么在一般的三角形 中，是否也有这样的关系呢？ 实验探究 师：接下来，我们通过实验来探究一般三角 形中的边角关系。请同学们拿出准备好的三角形硬纸板，测 量出三角形的三条边和三个内角的度数，并计算出每条边与 对应角的正弦值的比值。 学生分组进行实验，教师巡视指导，帮助学 生解决实验过程中遇到的问题。 各小组汇报实验结果，教师将学生的数据进 行整理和展示。引导学生观察这些数据，猜想在一般三角形 中，三边与对应角的正弦值的比值是否相等。 提出猜想 师：通过实验，我们发现，在一般三角形中， 三边与对应角的正弦值的比值似乎也相等。即a/sinA= b/sinB=c/sinC。这就是我们的猜想，那么这个猜想是否 正确呢？接下来，我们需要进行严格的证明。 3.定理证明（10分钟) 证明方法一：利用三角形的面积公式 师：我们先利用三角形的面积公式来证明正 弦定理。已知三角形ABC的面积可以表示为S=1/2ab sinC,同时也可以表示为S=1/2 bc sina=1/2 ac sinB。 由S=1/2 ab sinC=1/2 bc sinA,可得ab sinC=bc sinA,两边同时除以abc,得到sinC/c= sinA/a。同理，由S=1/2 ab sinC=1/2 ac sinB,可得 sinC/c=sinB/b。所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。 证明方法二：向量法 师：接下来，我们用向量法来证明正弦定理。 在三角形ABC中，过点A作单位向量j垂直于向量AC。 因为向量AB与向量AC的夹角为A,向量 CB与向量AC的夹角为180°-C,根据向量的数量积运 算，有j·向量CB=j·（向量AB-向量AC)=j·向量 AB-j·向量AC。 又因为j·向量AC=0,j·向量AB= jI向量AB|cos(90°-A)=c sinA,j·向量CB=| jl|向量CB|cos(90°-C)=a sinC,所以a sinC=c sinA,即a/sinA=c/sinC。同理可证a/sinA=b/sinB。 所以，a/sinA=b/sinB=c/sinC。 引导学生理解两种证明方法的思路和步骤，体会 不同证明方法的特点和应用。 4.定理应用(8分钟) 类型一：已知两角和任意一边，求其他两边和一 角 师：下面我们来看正弦定理的应用。（展示 例题)在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=45°，a =10,求b,c和∠C。 引导学生分析：已知两角和一边，首先可以 根据三角形内角和定理求出第三个角，然后再利用正弦定理 求出另外两边。 学生思考并解答，教师巡视指导，及时纠正 学生的错误。 教师板书解答过程：因为∠A+∠B+∠C= 180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°- 45°=105°。由正弦定理a/sinA=b/sinB,可得b=a sinB/sinA=10×sin45°/sin30°=10×（√2/2)/(1/2) =10√2。再由a/sinA=c/sinC,可得c=a sinC/sinA= 10×sin105°/sin30°=10×(sin(60°+45°)/(1/2) =10×(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/(1/2)=10 ×(√3/2)×（√2/2）+(1/2)×（√2/2）)×2=5（√6+ √2)。 类型二：已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角和其他边 师：（展示例题)在三角形ABC中，已知a =20,b=28,∠A=40°，求∠B,c和∠C。 引导学生分析：已知两边和其中一边的对角， 利用正弦定理可以求出另一边的对角，但需要注意解的个数 问题。 学生思考并解答，教师巡视指导。