3.3 预言未知星体 计算天体质量-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（教科版2019）

第三章　万有引力定律 3.预言未知星体　计算天体质量 1．了解万有引力理论的重要成就，掌握计算天体质量和密度的基本思路。2.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思路。3.掌握天体的线速度、角速度、周期及向心加速度与轨道半径的关系。4.掌握双星系统的运动特点及其问题的分析方法。 2 目录 1 2 课后课时作业 课前自主学习 课堂探究评价 3 课前自主学习 一　预言彗星回归 哈雷根据牛顿的引力理论，通过计算发现1531年、1607年和1682年出现的彗星是同一颗彗星，并预言了这颗彗星再次出现的时间，并得到了证实。1986年哈雷彗星又一次临近了地球，它的下次来访将是在_______年。 二　预言未知星体 在1843年至1845年间，英国剑桥大学的学生________、法国年轻的天文爱好者_________同时独立地预言了在天王星轨道之外有一颗当时还未知的行星，并计算了这颗未知星体的质量、轨道和位置。_______于1846年9月23日夜间在预定的区域发现了这颗神秘的行星——__________。它的发现，被认为是牛顿引力理论的伟大胜利。 2062 亚当斯 勒维耶 伽勒 海王星 课前自主学习 5 重力 课前自主学习 6 2．太阳质量的计算 设太阳的质量为mS，某个行星的质量为m，它们之间的距离为r，行星公转的周期为T，行星做匀速圆周运动所需的向心力为F＝________，行星运动的向心力是由万有引力提供的，所以F＝ _______，由此解出mS＝ _______。可见，只要测出行星的___________以及它和太阳之间的_______，就可以计算出太阳的质量。 公转周期T 距离r 课前自主学习 7 1．判一判 (1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。(　　) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。(　　) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。(　　) 提示：(1)×　人们依据万有引力定律计算轨道发现的是海王星等，不是天王星。 (2)√ (3)×　计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。 课前自主学习 8 2．想一想 1969年7月20日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下 了人类第一只脚印(如图)，迈出了人类征服宇宙的一大步。 (1)宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力 为F，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球的质量？ (2)宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，已知月球半径为R，怎样利用这个条件估测月球质量？ 课前自主学习 9 课堂探究评价 探究1　天体质量和密度的计算 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 11 活动1：为什么说卡文迪许是“能称出地球质量”的人？ 课堂探究评价 12 活动2：根据行星绕太阳的运动规律，如何计算出太阳的质量？ 课堂探究评价 13 课堂探究评价 14 课堂探究评价 15 课堂探究评价 16 注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的轨道半径，h指卫星距离行星表面的高度，r＝R＋h。 课堂探究评价 17 例1 土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　) A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg 课堂探究评价 18 (1)土星“光环”的外缘颗粒为什么能绕土星做圆周运动？ (2)用什么方法可以求解土星的质量？ 提示：这些颗粒受到土星的万有引力，万有引力提供了颗粒绕土星做圆周运动的向心力。 提示：可以把土星周围的这些颗粒当作土星的卫星，找到其轨道半径和绕土星运动的周期，利用“环绕法”来求出土星的质量。 课堂探究评价 19 课堂探究评价 20 利用环绕法只能求中心天体质量，而不能求环绕中心天体运行的卫星(或行星)的质量。 课堂探究评价 21 课堂探究评价 22 课堂探究评价 23 探究2　天体运动中各物理量与轨道半径的关系 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 24 活动1：与金星、火星相比，地球绕太阳转动一周的时间是更长还是更短？ 活动2：如果知道地球绕太阳公转的半径和太阳的质量，可以得出地球公转的线速度吗？ 课堂探究评价 25 课堂探究评价 26 课堂探究评价 27 例2 人造地球卫星在运行中，由于受到稀薄大气的阻力作用，其运动轨道半径会逐渐减小，在此进程中，以下说法中正确的是(　　) A．卫星的速率将变小 B．卫星的周期将增大 C．卫星的向心加速度将增大 D．卫星的角速度将变小 课堂探究评价 28 (1)卫星绕地球的运动可近似看成什么运动？ (2)请写出题中各量与卫星所受万有引力的关系式。 提示：匀速圆周运动。 课堂探究评价 29 课堂探究评价 30 (1)由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化时，因半径变化缓慢，故卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。 (2)环绕同一中心天体运动的行星(或卫星)的线速度v、角速度ω、周期T、加速度a均由中心天体的质量及行星(或卫星)的轨道半径r确定。中心天体质量给定时，已知v、ω、T、a、r中的一个，即可求解出其他四个量。 课堂探究评价 31 课堂探究评价 32 探究3　双星及多星问题 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 33 活动1：如图所示，两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动，这样的两颗星体组成的系统称为双星系统。两颗星体做圆周运动的向心力由什么力提供？有什么特点？ 活动2：两颗星体的角速度、周期大小相同吗？ 提示：两颗星体的万有引力提供彼此的向心力，所以两颗星体的向心力大小是相等的。 提示：两颗星体总是在它们连线的两个端点，相同时间转过的角度相同，其角速度、周期大小相同。 课堂探究评价 34 课堂探究评价 35 课堂探究评价 36 (1)双星靠什么提供它们转动的向心力？ (2)双星转动时的角速度有什么特点？ 提示：各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供。 提示：两颗星体的角速度相同。 课堂探究评价 37 课堂探究评价 38 课堂探究评价 39 课堂探究评价 40 课堂探究评价 41 课后课时作业 1．(预言未知星体)(多选)下面说法中正确的是(　　) A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 C．天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用 D．德国的伽勒首先预言了海王星的存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 解析　人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道，这就是海王星。故A、C正确，B、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 2．(天体运动各参量的比较)有科学家推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可以推知(　　) A．这颗行星的公转周期与地球相等 B．这颗行星的自转周期与地球相等 C．这颗行星质量等于地球的质量 D．这颗行星的密度等于地球的密度 解析　由题意知，该行星的公转周期应与地球的公转周期相等，这样，从地球上看，它才能永远在太阳的背面，故A正确；由题给信息，无法判断选项B、C、D是否正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 3．(天体运动各参量的比较)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么(　　) A．地球公转的周期大于火星公转的周期 B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 4．(天体质量的计算)(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是(　　) A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 5．(天体运动各参量的比较)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　) A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度大于外侧小行星的向心加速度 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度大于地球公转的线速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 8．(双星问题)天狼星A是在地球上观察到除太阳外全天最亮的恒星，它还有一颗白矮星伴星天狼星B，两者组成双星系统。已知天狼星A和天狼星B的公转周期约为50年，两者之间的平均距离约为20 AU(AU为天文单位，规定地球与太阳之间的平均距离大小为1 AU)，则天狼星A与天狼星B的质量之和与太阳质量的比值约为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 12．(综合)火星探测器在火星表面着陆时，一般使用降落伞和保护罩的方式减速缓冲。“毅力号”火星探测器由于质量太大(设为m)，在抛掉降落伞时，速度还很大，为v0，无法保障探测器安全降落，此时距降落点的高度为h，“毅力号”立即启动喷气式着陆器进一步减速，当到达火星表面时，恰好减速为零。已知“毅力号”火星探测器喷气式着陆器着陆时的推力恒定，大小为F，火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转及探测器运动过程中受到稀薄气体的阻力，求： (1)火星表面的重力加速度大小g； (2)火星的质量M。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 14．(天体密度的计算)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 16．(综合)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 课后课时作业 16 17 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 三　计算天体质量 1．地球质量的计算 如果已知引力常量G、地球半径R和重力加速度g，我们可以认为地球表面的物体受到的_______等于地球对物体的万有引力：mg＝Geq \f(Mm,R2)，那么就可以计算地球的质量M＝__________。 eq \f(gR2,G) mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2) Geq \f(mSm,r2) eq \f(4π2r3,GT2) 提示：设月球质量为M，则F＝Geq \f(Mm,R2)，故M＝eq \f(FR2,Gm)。 (2)设月球质量为M，宇航员与指令舱总质量为m′，由万有引力提供向心力，得Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(4π2,T2)R，则得M＝eq \f(4π2R3,GT2)。 提示：卡文迪许首先精确测量了引力常量G的值。若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。由mg＝Geq \f(m地m,R2)得：m地＝eq \f(gR2,G)，知道了引力常量G、代入数据(地球表面重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6400 km)，就可以算出地球的质量m地＝6.0×1024 kg。 提示：如果知道行星绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，可以利用太阳对行星的万有引力提供行星需要的向心力来求太阳质量。由Geq \f(m太m行,r2)＝m行eq \f(4π2,T2)r，得m太＝eq \f(4π2r3,GT2)。 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得天体的质量为M＝eq \f(gR2,G)，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r) M＝eq \f(rv2,G) r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)绕中心天体运动的线速度、角速度和周期 Geq \f(Mm,r2)＝mω2r M＝eq \f(ω2r3,G) Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r M＝eq \f(4π2r3,GT2) 2.天体密度的计算 方法一：若天体的半径为R，由“重力加速度法”可知天体的质量为M＝eq \f(gR2,G)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得天体的密度ρ＝eq \f(3g,4πRG)。 方法二：若中心天体的半径为R，由“环绕法”可知中心天体的质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得中心天体的密度ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2)。ρ＝eq \f(3π,GT2)给出了一种简单地求中心天体密度的方法，但是要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期，而不是在其他轨道上运动时的周期，也不是随中心天体自转的周期。 规范解答　土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得：M≈6.4×1026 kg，D正确。 [变式训练1]　(多选)2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　) A．ρ＝eq \f(3g0,2πGd) B．ρ＝eq \f(g0T2,3πd) C．ρ＝eq \f(3π,GT2) D．ρ＝eq \f(6M,πd3) 解析　由ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2))) eq \s\up12(3)，得ρ＝eq \f(6M,πd3)，D正确；由Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))\s\up12(2))＝mg0，ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2))) eq \s\up12(3)，联立解得ρ＝eq \f(3g0,2πGd)，A正确；根据万有引力定律得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，可得火星质量M＝eq \f(4π2R3,GT2)，又火星的体积V＝eq \f(4,3)πR3，故火星的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3π,GT2)，C正确。 提示：无论地球、金星还是火星，它们绕太阳的运动都是万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r。由此可得出T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大。故地球绕太阳转动一周的时间比金星长，比火星短。 提示：可以。利用万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得出v＝eq \r(\f(GM,r))。 1．天体运动的分析与计算 (1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。 (2)常用关系：①Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。②忽略自转时，Geq \f(Mm,R2)＝mg(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。 2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系 设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。 (1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越大，v越小。 (2)由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小。 (3)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，r越大，T越大。 (4)由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越小。 以上结论可总结为：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”。 提示：Fn＝Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝mrω2。 规范解答　当卫星的轨道半径逐渐变小时，在较短时间内卫星仍可看作做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有Fn＝Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mreq \f(4π2,T2)＝mrω2，解得v＝eq \r(\f(GM,r))、T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))、an＝eq \f(GM,r2)、ω＝eq \r(\f(GM,r3))。由此可知，当卫星的轨道半径逐渐变小时，卫星的速率将变大，周期将减小，向心加速度将增大，角速度将增大，故A、B、D错误，C正确。 [变式训练2]　(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　) A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群 B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分 C．若v∝eq \f(1,R)，则外层的环是土星的一部分 D．若v2∝eq \f(1,R)，则外层的环是土星的卫星群 解析　若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，则由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得v2∝eq \f(1,R)，故A错误，D正确。 1．双星系统的特点 (1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。 (2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 (3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。 2．多星系统 在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中： (1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。 (2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。 例3 (多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A．太阳的轨道半径为R＝eq \f(m1,m1＋m2)L B．木星的轨道半径为r＝eq \f(m2,m1)L C．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πLeq \r(\f(L,G（m1＋m2）)) D．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πLeq \r(\f(L,Gm1)) 规范解答　双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有eq \f(Gm1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)R，对木星有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)r，其中L＝R＋r，联立解得R＝eq \f(m2,m1＋m2)L，r＝eq \f(m1,m1＋m2)L，T＝2πLeq \r(\f(L,G（m1＋m2）))，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)L，解得T＝2πLeq \r(\f(L,Gm1))，故D正确。 木星的质量为M木＝1.8982×1027 kg，木星与太阳的平均距离为d木＝7.78×108 km，而太阳的质量为M日＝1.9891×1030 kg，半径为R日＝6.955×105 km，由此可算出木星与太阳组成的双星系统中，太阳的轨道半径为r日＝eq \f(M木,M木＋M日)d木＝7.4×105 km≈R日≪d木，木星的轨道半径r木＝eq \f(M日,M木＋M日)d木＝7.77×108 km≈d木，该双星系统的环绕中心几乎在太阳上，所以木星与太阳组成的系统可看成以太阳为中心的单星系统。由上述分析可知，双星系统中质量越大其轨道半径越小，因为木星的质量是太阳系其他行星质量之和的2.5倍，所以一般上可认为太阳系是单星系统。 [变式训练3]　某双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为(　　) A．eq \f(k2－1,4) B．eq \f(k＋1,2) C．eq \f(k2－1,8) D．eq \f(2k2－1,4) 解析　设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有eq \f(Gm2,l2)＝m2,理论)eq \f(4π2,T) ·eq \f(l,2)，解得T理论＝πleq \r(\f(2l,Gm))；设黑洞的质量为m′，同理有eq \f(Gm2,l2)＋eq \f(Gmm′,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝m2,观测)eq \f(4π2,T) ·eq \f(l,2)，解得T观测＝πleq \r(\f(2l,G（m＋4m′）))，又因为T理论＝kT观测，联立解得eq \f(m′,m)＝eq \f(k2－1,4)，故A正确，B、C、D错误。 解析　根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r＝meq \f(v2,r)＝ma＝mω2r得：公转周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，公转线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，公转加速度a＝eq \f(GM,r2)，公转角速度ω＝eq \r(\f(GM,r3))，分析可得A、B、C错误，D正确。 解析　设冥王星的质量为M，根据线速度和角速度可以求出半径r＝eq \f(v,ω)，根据万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，整理可得M＝eq \f(v3,Gω)，故A正确；由于卫星的质量m对圆周运动无影响，故B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r，整理得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，故D正确。 解析　根据万有引力定律F＝Geq \f(Mm,r2)可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离可能不同，所受太阳的万有引力可能不同，A错误；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，因为各小行星的轨道半径均大于地球的轨道半径，所以它们的公转周期均大于地球的公转周期，B错误；向心加速度an＝eq \f(F,m)＝eq \f(GM,r2)，小行星带内侧小行星到太阳的距离小于外侧，故向心加速度大于外侧，C正确；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，小行星带内各小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，则其做圆周运动的线速度小于地球公转的线速度，D错误。 6．(天体质量的计算)“嫦娥五号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示。已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为(　　) A．eq \f(l3,Gθt2) B．eq \f(l3θ,Gt2) C．eq \f(l,Gθt2) D．eq \f(l2,Gθt2) 解析　设月球的质量为M，根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥五号”的轨道半径r＝eq \f(l,θ)，根据转过的角度和时间，可得ω＝eq \f(θ,t)，由于月球对“嫦娥五号”的万有引力提供“嫦娥五号”做圆周运动的向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，由以上三式可得M＝eq \f(l3,Gθt2)，故选A。 7．(天体运动各参量的关系)我国计划发射“人造月亮”，届时天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”。月亮A和“人造月亮”B绕地球(球心为O)的运动均可视为匀速圆周运动，如图所示，设∠BAO＝θ，运动过程中θ的最大正弦值为p，月亮绕地球运动的线速度和周期分别为v1和T1，“人造月亮”绕地球运动的线速度和周期分别为v2和T2，则(　　) A．eq \f(v1,v2)＝eq \r(p)，eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,\r(p3)) B．eq \f(v1,v2)＝eq \r(p)，eq \f(T1,T2)＝eq \r(p3) C．eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,\r(p))，eq \f(T1,T2)＝eq \f(1,\r(p3)) D．eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,\r(p))，eq \f(T1,T2)＝eq \r(p3) 解析　设月亮和“人造月亮”绕地球运动的轨道半径分别为r1和r2，由题图知，当A、B的连线与“人造月亮”的轨道圆相切时，θ最大，有最大正弦值为p，根据几何关系可得sinθ＝eq \f(r2,r1)＝p。根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v1＝eq \r(\f(GM,r1))，v2＝eq \r(\f(GM,r2))，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T1＝3,1)eq \r(\f(4π2r,GM)) ，T2＝3,2)eq \r(\f(4π2r,GM)) ，所以eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(r2,r1))＝eq \r(p)，eq \f(T1,T2)＝3,1)eq \r(\f(r,req \o\al(3,2))) ＝eq \f(1,\r(p3))，故A正确，B、C、D错误。 解析　设天狼星A、B之间的距离为L1，天狼星A的质量为m1，轨道半径为r1，天狼星B的质量为m2，轨道半径为r2，两者公转周期为T1，则对天狼星组成的双星系统，根据万有引力提供向心力得G2,1)eq \f(m1m2,L) ＝m12,1)eq \f(4π2,T) r1，G2,1)eq \f(m1m2,L) ＝m22,1)eq \f(4π2,T) r2，且r1＋r2＝L1，解得m1＋m2＝2,1)eq \f(4π2,GT) Leq \o\al(3,1)；设太阳的质量为M，地球的质量为m，日地距离为L2，地球公转周期为T2，对地球根据万有引力提供向心力得G2,2)eq \f(Mm,L) ＝m2,2)eq \f(4π2,T) L2，解得M＝2,2)eq \f(4π2,GT) Leq \o\al(3,2)，则eq \f(m1＋m2,M)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L1,L2))) eq \s\up12(3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1))) eq \s\up12(2)＝203×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,50))) eq \s\up12(2)≈3，故选C。 9．(天体密度的计算)一个善于思考的同学提出这样的设想：只要知道一个物体在地球北极的重力和赤道重力的比值，就能推算出地球的平均密度。假设同一物体在北极和赤道重力的比值为k(k>1)，已知引力常量G和地球自转周期T，则地球密度ρ为(　　) A．eq \f(3πk,GT2) B．eq \f(3π,kGT2) C．eq \f(3πk,（k－1）GT2) D．eq \f(4π,（k－1）GT2) 解析　物体在北极时，其随地球自转的线速度为零，物体不需要向心力，物体所受万有引力等于其自身的重力，设地球质量为M，地球半径为R，物体质量为m，则G1＝Geq \f(Mm,R2)；物体在赤道时，其随地球一起自转，做匀速圆周运动，此时物体所受万有引力指向地心，万有引力的一个分力指向地心，提供物体做圆周运动的向心力，另一个分力也指向地心，提供物体的重力，可得Geq \f(Mm,R2)－G2＝meq \f(4π2,T2)R，又因为eq \f(G1,G2)＝k，ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，联立解得ρ＝eq \f(3πk,（k－1）GT2)，故选C。 10．(天体密度的计算)某兴趣小组想利用小孔成像实验估测太阳的密度。设计如图所示的装置，不透明的圆桶一端密封，中央有一小孔，另一端为半透明纸。将圆桶轴线正对太阳方向，可观察到太阳的像的直径为d。已知圆桶长为L，地球绕太阳公转周期为T。估测太阳密度的表达式为(　　) A．eq \f(24πL3,GT2d3) B．eq \f(3πL3,GT2d3) C．eq \f(3πd3,GT2L3) D．eq \f(6πd3,GT2L3) 解析　设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r，由题图所示成像光路图，根据相似三角形可得eq \f(R,r)＝eq \f(\f(d,2),L)，地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为M，地球质量为m，则有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，太阳体积为V＝eq \f(4,3)πR3，太阳密度为ρ＝eq \f(M,V)，联立解得ρ＝eq \f(24πL3,GT2d3)，A正确，B、C、D错误。 11．(天体质量的计算)(多选)2022年2月，有科学家报告了迄今观测到的最大星系——“阿尔库俄纽斯”，它离地球30亿光年，自身横跨1630万光年的距离。星系中心有一个超大质量的黑洞，若观测到绕该黑洞做圆周运动的天体A的角速度为ωA，到黑洞中心的距离为RA，天体B绕黑洞运动的周期与地球绕太阳转动的周期相同，为T。已知地球中心到太阳中心的距离为R，则下列说法正确的是(　　) A．该黑洞质量是太阳质量的2,A)eq \f(ωT2R3,4π2Req \o\al(3,A)) 倍 B．该黑洞质量是太阳质量的2,A)eq \f(ωReq \o\al(3,A)T2,4π2R3) 倍 C．天体B到该黑洞中心的距离为RA2,A)eq \r(3,\f(ωT2,4π2)) D．天体B到该黑洞中心的距离为3,A)eq \f(ωAT2,2π) eq \r(R) 解析　设黑洞的质量为M1，太阳的质量为M2，地球的质量为m，天体A的质量为mA，对天体A根据牛顿第二定律有2,A)eq \f(GM1mA,R) ＝mAωeq \o\al(2,A)RA，对地球由牛顿第二定律有eq \f(GM2m,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，联立解得eq \f(M1,M2)＝2,A)eq \f(ωReq \o\al(3,A)T2,4π2R3) ，故A错误，B正确；由题意知天体A的周期为TA＝eq \f(2π,ωA)，对天体A、B由开普勒第三定律有3,A)eq \f(R,Teq \o\al(2,A)) ＝3,B)eq \f(R,T2) ，联立解得RB＝RA2,A)eq \r(3,\f(ωT2,4π2)) ，故C正确，D错误。 答案　(1)eq \f(F,m)－2,0)eq \f(v,2h) 　(2)2,0)eq \f(R2,G) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(F,m)－\f(v,2h))) 解析　(1)设探测器下降的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有mg－F＝－ma 根据运动学规律有0－veq \o\al(2,0)＝－2ah 联立解得g＝eq \f(F,m)－2,0)eq \f(v,2h) 。 (2)火星表面质量为m′的物体所受火星的万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm′,R2)＝m′g 解得M＝2,0)eq \f(R2,G) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(F,m)－\f(v,2h))) 。 13．(预言未知星体)(多选)人们经长期观测发现，天王星绕太阳圆周运动实际运行的轨道总是周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离。英国剑桥大学学生亚当斯和法国天文学家勒维耶认为形成这种现象的原因是天王星外侧还存在着一颗未知行星，这就是后来被称为“笔尖下发现的行星”——海王星。已知天王星运行的周期为T0，轨道半径为R0。则得到海王星绕太阳运行周期T、轨道半径R正确的是(　　) A．T＝eq \f(t0T0,t0＋T0) B．T＝eq \f(t0T0,t0－T0) C．R＝R02,0)eq \r(3,\f(t,（t0＋T0）2)) D．R＝R02,0)eq \r(3,\f(t,（t0－T0）2)) 解析　由题意可知，海王星与天王星相距最近时，海王星对天王星的影响最大，则有eq \f(2π,T0)t0－eq \f(2π,T)t0＝2π，解得T＝eq \f(t0T0,t0－T0)，故A错误，B正确；由开普勒第三定律可得3,0)eq \f(R,Teq \o\al(2,0)) ＝eq \f(R3,T2)，又因T＝eq \f(t0T0,t0－T0)，联立解得R＝R02,0)eq \r(3,\f(t,（t0－T0）2)) ，故C错误，D正确。 解析　设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知eq \f(GMm,R2)≥meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)R，ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，代入可得ρ≥eq \f(3π,GT2)≈5×1015 kg/m3，故C正确。 15．(三星问题)天文观测中观测到有三颗星分别位于边长为l的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　) A．它们两两之间的万有引力大小为eq \f(16π4l4,9GT4) B．某颗星的质量为eq \f(3GT2,4π2l3) C．三颗星的质量可能不相等 D．它们的线速度大小均为eq \f(2\r(3)πl,T) 解析　三颗星运动的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，由几何关系，可知r＝eq \f(\r(3),3)l。根据题意可知任意两颗星对第三颗星的引力的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力大小相等，由这两颗星到第三颗星的距离相同，知这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则F合＝2Fcos30°＝eq \f(\r(3)Gm2,l2)；星球做匀速圆周运动，所受万有引力的合力提供向心力，故F合＝meq \f(4π2,T2)r，解得m＝eq \f(4π2l3,3GT2)；它们两两之间的万有引力F＝eq \f(Gm2,l2)＝eq \f(G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π2l3,3GT2)))\s\up12(2),l2)＝eq \f(16π4l4,9GT4)；根据v＝eq \f(2πr,T)，得线速度大小v＝eq \f(2\r(3)πl,3T)，故A正确，B、C、D错误。 解析　设中心天体的质量为M中，绕中心天体做匀速圆周运动的环绕天体的质量为m，轨道半径为r，周期为T，由万有引力提供向心力有Geq \f(M中m,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r，解得M中＝eq \f(4π2r3,GT2)。由开普勒第三定律知，绕该黑洞做匀速圆周运动的轨道半径为1000 AU的环绕天体的公转周期与S2的公转周期相同，为T＝2×(2002年－1994年)＝16年，根据M中＝eq \f(4π2r3,GT2)，则eq \f(M黑洞,M)＝eq \f(（1000 AU）3,（1 AU）3)×eq \f(（1年）2,（16年）2)≈4×106，即M黑洞≈4×106M，故选B。 17．(综合)2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞的理论研究和天文观测的三位科学家。他们发现某明亮恒星绕银河系中心O处的黑洞做圆周运动，利用多普勒效 应测得该恒星做圆周运动的速度为v，用三角视差法测得地球到银河系中心的距离为L，明亮恒星的运动轨迹对地球的最大张角为θ，如图所示。已知引力常量为G，黑洞的半径与质量的关系为Rs＝eq \f(2GM,c2)，其中c为真空中的光速。求： (1)恒星绕银河系中心黑洞运动的周期T； (2)银河系中心黑洞的质量M； (3)银河系中心黑洞的平均密度ρ。 答案　(1)eq \f(2πL,v)sineq \f(θ,2)　(2)eq \f(v2L,G)sineq \f(θ,2)　(3)eq \f(3c6,16πGv4L2（1－cosθ）) 解析　(1)设恒星绕黑洞做圆周运动的半径为r，根据几何关系，有r＝Lsineq \f(θ,2)，周期T＝eq \f(2πr,v) 代入解得T＝eq \f(2πL,v)sineq \f(θ,2)。 (2)由黑洞对恒星的万有引力提供向心力，设恒星的质量为m，有eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r) 将r＝Lsineq \f(θ,2)代入解得M＝eq \f(v2L,G)sineq \f(θ,2)。 (3)由Rs＝eq \f(2GM,c2)可知， 银河系中心黑洞的体积为 V＝eq \f(4,3)πReq \o\al(3,s)＝eq \f(32πG3M3,3c6) 则其平均密度为 ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(32πG3M3,3c6))＝eq \f(3c6,32πG3M2)＝eq \f(3c6,32πGv4L2sin2\f(θ,2))＝eq \f(3c6,16πGv4L2（1－cosθ）)。 $$