2.3 圆周运动的实例分析 2.4 .圆周运动与人类文明(选学)-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（教科版2019）

第二章　匀速圆周运动 3.圆周运动的实例分析 4.圆周运动与人类文明(选学) 1．巩固向心力和向心加速度的知识。2.会利用牛顿第二定律解决生活中比较简单的圆周运动问题。3.了解圆周运动在古代文明、工业技术、科学实验、文化生活中的应用。 2 目录 1 2 课后课时作业 课前自主学习 课堂探究评价 3 课前自主学习 mg－N N－mg 小于 越小 大于 越大 课前自主学习 5 二　“旋转秋千” 向心力F合＝__________；轨道半径r＝_______；结合牛顿第二定律F合＝_______，解得ω＝__________，cosα＝_______。 mgtanα lsinα mω2r 课前自主学习 6 三　火车转弯 1．如果让火车在水平路基上转弯，外侧车轮的轮缘将_______外轨，外轨对轮缘的弹力为火车转弯提供了_______。由于轮缘与外轨挤压、摩擦而产生磨损，而且火车的质量、车速越_______时，磨损越厉害。 2．轨道设计：使转弯处的外轨略______(选填“高”或“低”)于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力N的方向是_________________，若火车以规定的速度行驶，转弯时所需的向心力几乎完全由_________________________来提供。 挤压 向心力 大 高 斜向弯道的内侧 重力G和支持力N的合力 课前自主学习 7 四　离心运动 1．定义：在做圆周运动时，由于合外力提供的向心力_____________，以致物体沿圆周运动的______方向飞出或远离圆心而去的运动叫作离心运动。 2．应用与防止 (1)洗衣机的脱水筒：它是家庭常见的离心机械，当它高速转动时，由于筒内衣服上的水滴所受合力_________提供向心力，水滴离开衣服，从脱水筒壁的小孔飞出筒外，衣服就被甩干了。 (2)离心机：它是科研、生产中重要的实验装置， 它可以把一些混合物中不同的成分分离开。 (3)离心运动有时会造成危害，如汽车转弯向外滑动。 消失或不足 切线 不足以 课前自主学习 8 五　圆周运动与人类文明(选学) 1．圆周运动与古代文明 (1)钻木取火：这是早期人类利用圆周运动的一项发明。 (2)陶器制作：5000多年前，我们的祖先就能利用圆周运动的特点，制造出精致的陶器制品。 (3)车轮的发明：我们的祖先在5000多年前就已经发明了车轮，车轮第一次把圆周运动和直线运动联系起来。 (4)机械能的利用：水轮的发明推进了人类利用自然界机械能的历史。 课前自主学习 9 2．圆周运动与工业技术 (1)圆周运动在蒸汽机中的应用。 (2)齿轮和轴在各种大型的、精密的、专用的或通用的机器中的应用。 3．圆周运动与科学实验 (1)粒子物理和核物理实验；(2)航天技术；(3)生命科学。 4．圆周运动与文化生活 (1)现代城市的结构设计；(2)旋转餐厅；(3)游乐设施；(4)体育、杂技、舞蹈设计；(5)科学玩具。 课前自主学习 10 1．判一判 (1)汽车通过拱形桥最高点时，人处于超重状态。(　　) (2)铁轨弯道处外高内低，是为了方便火车转弯。(　　) (3)若弯道处重力与支持力的合力恰好提供火车做圆周运动的向心力，则火车处于平衡状态。(　　) (4)水平路面上，车辆转弯时，横向摩擦力提供向心力。(　　) 课前自主学习 11 提示：(1)×　人有竖直向下的加速度，处于失重状态。 (2)√　铁轨弯道处外高内低使火车受到的重力与支持力的合力指向圆心，为火车提供向心力。 (3)×　火车做圆周运动，受力不平衡，并不处于平衡状态。 (4)√ 　水平路面上，重力与支持力沿竖直方向，只能由横向摩擦力提供向心力。 课前自主学习 12 2．想一想 低温离心机能实现血液不同成分的分离，其原理是什么？ 提示：血液绕低温离心机的转轴旋转时，在同一运动半径处，相同体积密度较大的成分所需向心力较大，会相对密度较小的部分做离心运动，最终，离转轴越远的位置血液的密度越大，从而将血液的不同成分分离。 课前自主学习 13 课堂探究评价 探究1　汽车通过拱形桥 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 15 活动1：如图甲、乙是汽车行驶中的两种情景，在拱形桥、凹形桥上如图所示的位置什么力给汽车提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？ 提示：不管是拱形桥还是凹形桥，在如图所示的位置竖直方向上都受重力和支持力，它们的合力提供向心力。但是，拱形桥的圆心在下、凹形桥的圆心在上，也就是汽车过拱形桥最高点时向心力向下，过凹形桥最低点时向心力向上，则汽车过拱形桥最高点时重力大于支持力，过凹形桥最低点时重力小于支持力。所以结合牛顿第三定律可知，汽车过拱形桥最高点时对桥面的压力小于重力，过凹形桥最低点时对桥面的压力大于重力。 课堂探究评价 16 活动2：如果汽车通过拱形桥最高点时，支持力为零会出现什么情况？ 提示：如果汽车的速度达到一定大小，支持力为零，汽车将离开桥面做平抛运动，会有安全隐患。 课堂探究评价 17 课堂探究评价 18 课堂探究评价 19 例1　如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面的圆弧半径均为20 m。如果桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105 N，则： (1)汽车允许的最大速率是多少？ (2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2) 答案　(1)10 m/s　(2)1.0×105 N 课堂探究评价 20 (1)汽车通过凹形桥面和凸形桥面时做什么样的运动？ (2)汽车通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点的向心力如何求解？ 提示：汽车通过凹形桥面、凸形桥面时做竖直平面内的圆周运动。 课堂探究评价 21 课堂探究评价 22 解决汽车通过拱形桥和凹形桥的问题的一般步骤 对于汽车通过拱形桥和凹形桥的问题，明确汽车的运动情况和受力情况是解题的关键。具体的解题步骤是： (1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。 (2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力的来源。 (3)根据牛顿运动定律列方程求解。 课堂探究评价 23 [变式训练1]　一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求： (1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(结果保留三位有效数字) (2)在最高点对桥面的压力等于零时，车的速度大小是多少？ 答案　 (1)1.78×104 N　(2)30 m/s 课堂探究评价 24 课堂探究评价 25 探究2　“旋转秋千” 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 26 活动1：“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，启动后，座椅在旋转圆盘的带动下围绕竖直的中心轴旋转，则什么力对座椅(包括人)提供向心力？ 活动2：“旋转秋千”的运动经过简化如图乙所示：在一根长为l的细线下面系一质量为m的小球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角，给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫作圆锥摆。小球做圆周运动的半径r如何表示？ 提示：缆绳的拉力与座椅(包括人)的总重力的合力。 提示：r＝lsinα。 课堂探究评价 27 活动3：试由图乙模型求解小球的角速度ω。 活动4：体重不同的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心轴的夹角相同吗？ 课堂探究评价 28 1．常见的圆锥摆模型 物体受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆模型。常见的圆锥摆模型如下表： 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯 圆锥摆 物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动 课堂探究评价 29 2.圆锥摆问题的分析思路 ①对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。 ②确定圆心和半径。 ③应用相关规律列方程求解。在竖直方向根据平衡条件列式，在水平方向根据向心力公式和牛顿第二定律列式。 课堂探究评价 30 例2　如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　) A．A的线速度比B的大 B．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 C．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 D．A与B的向心加速度大小相等 课堂探究评价 31 (1)座椅A、B的哪个运动参量相同？ (2)座椅做圆周运动的半径如何计算？ 提示：角速度。 提示：根据图可知，座椅做圆周运动的半径等于绳的悬挂点到中心转轴的距离r0与绳在水平方向的投影长度lsinθ之和，即r＝r0＋lsinθ。 课堂探究评价 32 课堂探究评价 33 [变式训练2]　(多选)如图甲所示，杂技表演“飞车走壁”的演员骑着摩托车飞驶在圆台形筒壁上，筒的轴线垂直于水平面，圆台筒固定不动。现将圆台筒简化为如图乙所示，若演员骑着摩托车先后在A、B两处紧贴着内壁分别在图乙中虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(不计摩擦)(　　) A．在A处的线速度大于在B处的线速度 B．在A处的角速度小于在B处的角速度 C．在A处对筒的压力大于在B处对筒的压力 D．在A处受到的向心力大小等于在B处受到 的向心力大小 课堂探究评价 34 课堂探究评价 35 探究3　火车转弯 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 36 活动1：如图甲所示，如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？ 提示：如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮会极易受损。 课堂探究评价 37 活动2：实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图乙，试从向心力的来源分析，这样做有怎样的优点？若火车的速度为v，轨道平面与水平面之间的夹角θ应满足什么样的关系，轨道才不受挤压？ 课堂探究评价 38 课堂探究评价 39 2．速度与轨道压力的关系 (1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力完全由重力和支持力的合力提供，此时火车对内、外轨均无挤压作用。 (2)当火车行驶速度v>v0时，火车对外轨有挤压作用。 (3)当火车行驶速度v<v0时，火车对内轨有挤压作用。 课堂探究评价 40 3．注意事项 (1)合力的方向：因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合力应沿水平面指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。 (2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。 课堂探究评价 41 例3有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2) (1)试计算铁轨受到的侧压力大小； (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。 答案　(1)1×105 N　(2)0.1 课堂探究评价 42 (1)内外轨一样高时，火车靠什么提供向心力？ (2)要使铁轨受到的侧压力为零，需要满足什么条件？ 提示：外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力。 提示：需要完全由重力和铁轨对火车的支持力的合力来提供火车转弯的向心力。 课堂探究评价 43 课堂探究评价 44 火车转弯(或汽车转弯)问题实际都是水平面内的匀速圆周运动问题，解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源，然后利用合力提供向心力求解。 课堂探究评价 45 [变式训练3]　(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　) A．路面外侧高、内侧低 B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动 C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度， 车辆便不会向外侧滑动 D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小 课堂探究评价 46 课堂探究评价 47 探究4　离心运动的理解和应用 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 48 活动1：转动雨伞时，雨滴会被甩出，对雨滴在水平面内受力情况的分析如图。F合表示什么意思？F合＝mω2r时雨滴在水平面内做什么运动？ 活动2：F合＝0表示什么意思？F合＝0时，雨滴在水平面内会怎样运动？ 提示：F合是雨滴在水平面内受到的所有力的合力。当F合＝mω2r时，合力等于所需的向心力，雨滴在水平面内做匀速圆周运动。 提示： F合＝0表示雨滴在水平面内受到的所有力的合力为零，这里相当于雨滴在水平面内做圆周运动的向心力突然消失。向心力消失后，雨滴在水平面内将沿切线方向飞出做离心运动。 课堂探究评价 49 活动3：如果雨滴在水平面内所受的合力不足以提供所需的向心力，雨滴在水平面内又会怎样运动？ 提示：如果雨滴在水平面内所受的合力不足以提供所需的向心力，雨滴在水平面内会远离圆心沿曲线做离心运动。 课堂探究评价 50 课堂探究评价 51 课堂探究评价 52 例4　(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是(　　) A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动 C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动 课堂探究评价 53 (1)物体做离心运动的条件是什么？ (2)离心运动一定是直线运动吗？ 提示：物体所受沿轨迹半径方向的合力突然为零或沿轨迹半径方向的合力小于所需要的向心力。 提示：不一定。离心运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。 课堂探究评价 54 规范解答　若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动，A错误。若拉力突然变小，小球将做离心运动，又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb做离心运动，B正确，D错误。若拉力突然消失，小球将沿着P点处的切线Pa做离心运动，C正确。 课堂探究评价 55 离心现象的三点注意事项 (1)离心现象并不是由于存在离心力而产生的，而是由于物体所受的力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力引起的，是惯性的一种表现形式。 (2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。 (3)物体的质量越大、线速度越大(或角速度越大)时，物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。 课堂探究评价 56 [变式训练4]　如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有 一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　) A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用 B．摩托车所受合力小于所需的向心力 C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去 D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去 课堂探究评价 57 解析　摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D错误。 课堂探究评价 58 课后课时作业 1．(航天器中的失重现象)(多选)飞船在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员，下列说法中正确的是(　　) A．航天员仍受重力作用 B．航天员受的重力提供其做匀速圆周运动的向心力 C．航天员处于超重状态 D．航天员对座椅的压力为零 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 2．(拱形桥问题)(多选)广东省某小镇一次洪水后， 将一座桥的桥墩冲毁，桥面向下凹陷，成为一座罕见的“倒拱桥”，如图所示，一辆三轮车正在通过此桥，试分析该三轮车通过此桥凹陷路段最低点时，下列判断正确的是(　　) A．桥面对整车的支持力大于整车自身重力 B．整车受到重力、支持力、向心力的作用 C．为了避免桥面因受到的压力过大而发生 危险，该车应加速尽快通过 D．为了避免桥面因受到的压力过大而发生危险，该车应减速缓慢通过 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 3．(拱形桥问题)有一运输西瓜的汽车，以5 m/s的速率通过一个半径为R＝10 m的凹形桥，车经凹形桥最低点时，车中间一个质量为6 kg的大西瓜受到周围西瓜对它的作用力大小为(g取10 m/s2)(　　) A．60 N B．75 N C．45 N D．0 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 4．(汽车转弯问题)(多选)在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车的交通事故。经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示。为了避免交通卡车事故再次发生，很多人提出了建议，下列建议中合理的是(　　) A．改进路面设计，增大车轮与路面间的动摩擦因数 B．改造此段弯路，使弯道内侧高、外侧低 C．把路面的弯道半径改小一点 D．在进入转弯处设立限速标志，提醒司机不要超速转弯 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 6．(火车转弯问题)在“银西”高铁建设时为了解决高速列车在弯路上运行时轮轨间的磨损问题，保证列车能经济、安全地通过弯道，常用的办法是将弯道曲线外轨轨枕下的道床加厚，使外轨高于内轨，外轨与内轨的高度差叫曲线外轨超高。已知某曲线路段设计外轨超高值为72 mm，两铁轨间距离为1435 mm，最佳的过弯速度为180 km/h，g＝10 m/s2，则该曲线路段的半径约为(　　) A．20 km B．10 km C．5 km D．1 km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 7．(离心现象)在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛，比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而摔离正常比赛路线。如图所示，圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为运动员在O点时的速度方向(研究时可将运动员看作质点)。下列论述正确的是(　　) A．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心 B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力 C．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧 D．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析　发生侧滑是因为运动员的速度过大，所需要的向心力过大，而运动员受到的合力小于所需要的向心力，运动员受到的合力方向指向圆心，故A、B错误；运动员在水平方向不受任何外力时沿Oa方向做离心运动，实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob内侧，所以运动员若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间，故C错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 8．(火车转弯问题)(多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是(　　) A．减小内外轨的高度差 B．增加内外轨的高度差 C．减小弯道半径 D．增大弯道半径 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 9．(离心现象的应用)图甲是滚筒洗衣机滚筒的内部结构，内筒壁上有很多光滑的突起和小孔，洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，如图乙所示。a、b、c、d分别为一件小衣物(可理想化为质点)随滚筒转动过程中经过的四个位置，a为最高位置，c为最低位置，b、d与滚筒圆心等高。下列说法正确的是(　　) A．衣物在四个位置加速度大小相等 B．衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的大 C．衣物转到a位置时的脱水效果最好 D．衣物在b位置受到的摩擦力方向和在d位置受到的摩擦力方向相反 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析　衣物做匀速圆周运动，角速度大小恒定，根据向心加速度公式an＝ω2r，可知衣物在四个位置加速度大小相等，A正确；衣物在a位置，根据牛顿第二定律，有FNa＋mg＝mω2r，同理，在c位置有FNc－mg＝mω2r，可知FNa<FNc，结合牛顿第三定律，可知衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的小，B错误；衣物在c位置与滚筒壁的挤压作用最大，所以衣物转到c位置时的脱水效果最好，C错误；衣物做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，所以衣物在b位置和d位置受到的摩擦力与重力等大反向，衣物在b位置受到的摩擦力方向和在d位置受到的摩擦力方向相同，均竖直向上，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 10．(圆锥摆模型)(多选)某公园有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，模型如图乙所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ(小于90°)，当模型飞机以恒定角速度绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是(　　) A．模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力 B．旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直 C．旋臂对模型飞机的作用力大于mg D．若仅减小夹角θ，则旋臂对模型飞机的作用力减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 11．(汽车转弯问题)一质量为1.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，当汽车经过半径为100 m的弯道时，汽车的速度为36 km/h。求： (1)路面对轮胎的径向静摩擦力为多大？ (2)若路面对轮胎的径向最大静摩擦力为9×103 N，为保障汽车不发生侧滑，汽车转弯的速度不能超过多少？ (3)为防止汽车侧滑，可以在弯道处让路面倾斜，假设某弯道路面倾角为27°，弯道半径为80 m，汽车速度为多大时，路面对轮胎的侧向摩擦力恰好为零？(g取10 m/s2，tan27°≈0.5) 答案　(1)1000 N　(2)30 m/s　(3)20 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 12．(离心运动的防止)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车(　　) A．在绕过小圆弧弯道后加速 B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 14．(圆锥摆模型)雪车是冬奥会的比赛项目之一，风驰电掣般的高速行驶是雪车的最大看点之一。比赛中为了让乘坐雪车的运动员能高速且安全地通过弯道，弯道处的赛道均向内侧倾斜。若雪车以速度v通过一小段半径为r的水平弯道，将运动员和雪车整体视为质点，设雪车的质量为m1，运动员的质量为m2，重力加速度为g，忽略冰面与雪车间的摩擦，求在弯道处： (1)雪车(含运动员)所受向心力的大小； (2)雪车对运动员作用力的大小。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R 一　汽车通过拱形桥 汽车通过拱形桥最高点 汽车通过凹形桥最低点 竖直方向受力分析 向心力 F合＝__________＝meq \f(v2,R) F合＝_______＝meq \f(v2,R) 对桥的压力 N′＝_____________ N′＝_____________ 结论 汽车对桥的压力N______汽车所受的重力mg，而且汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就______ 汽车对桥的压力N′_____汽车所受的重力mg，而且汽车通过最低点时的速度越大，汽车对桥面的压力就_____ mg－meq \f(v2,R) mg＋meq \f(v2,R) eq \r(\f(g,lcosα)) eq \f(g,ω2l) 1．汽车通过拱形桥 汽车在最高点满足关系：mg－N＝meq \f(v2,R)，即N＝mg－meq \f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为N′＝mg－meq \f(v2,R)。由此可知汽车对桥面的压力小于汽车所受的重力，汽车处于失重状态，而且汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小。当汽车对桥面的压力为零时，处于完全失重状态，即mg＝m2,m)eq \f(v,R) ，得vm＝eq \r(gR)，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面做平抛运动，发生危险。 2．汽车通过凹形桥 汽车在最低点满足关系：N－mg＝meq \f(v2,R)，即N＝mg＋meq \f(v2,R)，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为N′＝mg＋meq \f(v2,R)。由此可知汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力，汽车处于超重状态，而且汽车通过最低点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越大，故凹形桥易被压垮，因而现实生活中拱形桥多于凹形桥。 提示：根据牛顿第二定律，汽车通过凹形桥面最低点时，Fn＝FN－mg＝meq \f(v2,R)；通过凸形桥面最高点时，Fn＝mg－FN＝meq \f(v2,R)。 规范解答　(1)汽车在凹形桥面底部时，对桥面压力最大。 由牛顿第三定律得，此时桥面对车的支持力FN＝3.0×105 N 由牛顿第二定律得：FN－mg＝meq \f(v2,R) 代入数据解得汽车允许的最大速率v＝10 m/s。 (2)汽车在凸形桥面顶部时，对桥面压力最小。 由牛顿第二定律得：mg－FN′＝meq \f(v2,R) 代入数据解得FN′＝1.0×105 N 由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于1.0×105 N。 解析　(1)轿车通过凸形桥面最高点时，竖直方向受力分析如图所示： 由牛顿第二定律得mg－FN＝meq \f(v2,R) 故桥面对车的支持力大小 FN＝mg－meq \f(v2,R)＝2000×10 N－2000×eq \f(102,90) N≈1.78×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。 (2)轿车在最高点对桥面的压力等于零时，由牛顿第三定律知轿车受到的支持力为零，则向心力Fn＝mg＝meq \f(v′2,R) 所以此时轿车的速度大小v′＝eq \r(gR)＝eq \r(10×90) m/s＝30 m/s。 提示：由受力分析可得小球所受合力F合＝mgtanα，由牛顿第二定律可得F合＝mω2r，联立解得ω＝eq \r(\f(g,lcosα))。 提示：由上述活动，可得cosα＝eq \f(g,ω2l)，可知缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关，而与所乘坐人的体重无关，即夹角相同。 规范解答　由于两座椅是同轴转动，故角速度相等，设为ω。对任一座椅分析，设座椅悬挂点距转轴的距离为r0，缆绳长l，座椅旋转时缆绳与竖直方向的夹角为θ，对座椅，由牛顿第二定律有mgtanθ＝mω2r，根据几何关系知运动半径r＝r0＋lsinθ，联立可得gtanθ＝ω2(r0＋lsinθ)，变形得eq \f(g,ω2)＝eq \f(r0,tanθ)＋lcosθ，由题图知r0A<r0B，则θA<θB，B错误；根据r＝r0＋lsinθ，则rA<rB，由v＝rω可知，A的线速度比B的小，故A错误；缆绳对座椅的拉力FT＝eq \f(mg,cosθ)，悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角较小，所受的拉力较小，故C正确；根据an＝ω2r，因为A、B的角速度相等，而A的运动半径较小，则A的向心加速度较小，故D错误。 解析　对A、B两处演员和摩托车进行受力分析如图所示，两个支持力与竖直方向的夹角相等，设为θ，由于FN1cosθ＝mg，FN2cosθ＝mg，可知FN1＝FN2，根据牛顿第三定律，可知演员和摩托车对筒的压力大小相等，故C错误；两处支持力的水平分力等于向心力，因此两处向心力F大小也相等，D正确；根据F＝meq \f(v2,r)可知，F、m一定时，r越大，v越大，故在A处的线速度比在B处的线速度大，A正确；根据F＝mω2r可知，F、m一定时，r越大，ω越小，故在A处的角速度比在B处的角速度小，B正确。 提示：如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是垂直轨道平面指向弯道的内侧，它的水平分力为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压。要使轨道不受挤压，需要向心力完全由重力和支持力的合力提供，则Fn＝F＝mgtanθ＝meq \f(v2,R)，所以θ应满足tanθ＝eq \f(v2,gR)，其中R为弯道半径。 1．弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanθ＝m2,0)eq \f(v,R) ，则v0＝eq \r(gRtanθ)，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。 规范解答　(1)m＝100 t＝1×105 kg，v＝72 km/h＝20 m/s， 外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力 所以有：F＝meq \f(v2,r)＝1×105×eq \f(202,400) N＝1×105 N 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小为1×105 N。 (2)火车以此速率通过弯道时，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示， 则mgtanθ＝meq \f(v2,r) 由此可得tanθ＝eq \f(v2,rg)＝0.1。 解析　当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，并不一定会向内侧滑动，B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力指向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，C正确；由mgtanθ＝m2,0)eq \f(v,r) 可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误。 1．离心运动的理解 (1)若F合＝mω2R或F合＝eq \f(mv2,R)，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。 (2)若F合>mω2R或F合>eq \f(mv2,R)，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。 (3)若F合<mω2R或F合<eq \f(mv2,R)，物体远离圆心，做离心运动，即“需要”大于“提供”，也就是“提供不足”。若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动。 2．几种常见的离心运动 项目 示意图 原理图 现象及结论 洗衣机脱水 当水滴受到衣服的附着力F不足以提供向心力时，即F<mω2R，水滴做离心运动 汽车在水平路面上转弯 当侧向最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax<meq \f(v2,R)，汽车做离心运动 用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中 当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力，水银柱做离心运动进入玻璃泡内 解析　飞船在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提供飞船绕地球做匀速圆周运动的向心力，航天员的加速度与飞船的相同，也是重力提供向心力，即mg＝meq \f(v2,R)，A、B正确；此时航天员不受座椅的弹力，即对座椅无压力，处于完全失重状态，D正确，C错误。 解析　由牛顿第二定律可得FN－mg＝meq \f(v2,R)，可知桥面对整车的支持力大于整车自身重力，A正确；向心力是支持力与重力的合力，是效果力，不是车所受的一个力，B错误；由A项的分析计算及牛顿第三定律可知，该车的速度越大，桥面所受的压力越大，速度越小，桥面所受的压力越小，越安全，因此为了避免桥面因受到的压力过大而发生危险，该车应减速慢行，C错误，D正确。 解析　该大西瓜受到周围西瓜对它的作用力和重力的作用，其合力提供做圆周运动的向心力，即F－mg＝meq \f(v2,R)，所以F＝mg＋meq \f(v2,R)＝75 N，故B正确。 解析　车辆在水平路面上拐弯时，靠静摩擦力提供向心力，故可以通过改进路面设计，增大车轮与路面间的动摩擦因数，以增大最大静摩擦力，A正确；要使卡车沿题图所示弯路行驶，应改造路面使弯道内侧低，外侧高，B错误；由向心力公式Fn＝meq \f(v2,R)知，增大弯道半径或减小卡车行驶速度可以减小向心力，防止卡车因离心现象发生事故，C错误，D正确。 5．(拱形桥问题)如图，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的eq \f(3,4)；如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，恰好不受桥面支持力作用，则汽车通过桥顶的速度应为(g取10 m/s2)(　　) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 解析　根据牛顿第二定律得mg－eq \f(3,4)mg＝meq \f(v2,r)，解得拱桥的圆弧半径为r＝eq \f(4v2,g)＝40 m；当桥面支持力恰好为零时，有mg＝meq \f(v′2,r)，解得汽车通过桥顶的速度为v′＝eq \r(gr)＝20 m/s，故B正确，A、C、D错误。 解析　设外轨与内轨所在平面的倾角为θ，列车转弯时支持力与重力的合力提供向心力，则有mgtanθ＝meq \f(v2,R)，得该曲线路段的半径R＝eq \f(v2,gtanθ)，由于倾角很小，则有tanθ≈sinθ，代入数据可得R＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,3.6)))\s\up12(2),10×\f(72,1435)) m≈4983 m≈5 km，故选C。 解析　当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示，即Fn＝mgtanθ＝meq \f(v2,R)，故v＝eq \r(gRtanθ)，若使火车经过弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。 解析　当模型飞机以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，模型飞机受到重力和旋臂的作用力，而向心力属于效果力，由重力和旋臂的作用力的合力提供，故模型飞机受到的力为重力和旋臂的作用力，故A错误；旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，但在竖直方向和水平方向有分力，且竖直方向的分力大小等于重力，水平方向的分力提供向心力，故B错误；由力的合成可知，旋臂对模型飞机的作用力大小为F＝eq \r(（mg）2＋（mω2Lsinθ）2)>mg，故C正确；根据旋臂对模型飞机的作用力大小的表达式F＝eq \r(（mg）2＋（mω2Lsinθ）2)可知，若仅减小夹角θ，则旋臂对模型飞机的作用力减小，故D正确。 解析　(1)由题意知v＝36 km/h＝10 m/s 由径向静摩擦力提供向心力得f＝meq \f(v2,r) 解得f＝1000 N。 (2)由题意得fm＝m2,m)eq \f(v,r) 解得vm＝30 m/s。 (3)当路面对轮胎的侧向摩擦力恰好为零时，由重力和路面支持力的合力提供向心力，即mgtan27°＝m2,1)eq \f(v,r1) 解得v1＝20 m/s。 解析　若使赛车绕赛道一圈用时最短，就要求赛车通过大、小圆弧时，速率都应达到题述所允许的最大速率，即赛车通过小圆弧时，由2,1)eq \f(mv,r) ＝2.25mg得v1＝30 m/s，通过大圆弧时，由2,2)eq \f(mv,R) ＝2.25mg得v2＝45 m/s，B正确；赛车从小圆弧到大圆弧通过直道时需加速，故A正确；由几何关系可知连接大、小圆弧的直道长x＝eq \r(L2－（R－r）2)＝50eq \r(3) m，由匀加速直线运动的速度位移公式veq \o\al(2,2)－veq \o\al(2,1)＝2ax得赛车在直道上的加速度大小为a≈6.50 m/s2，C错误；由几何关系可得小圆弧所对圆心角为120°，所以通过小圆弧弯道的时间t＝eq \f(T,3)＝eq \f(1,3)×eq \f(2πr,v1)＝2.79 s，故D错误。 13．(拱形桥问题)如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，这被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示，在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点，质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝eq \r(gR)通过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 (1)求质点的质量； (2)若强磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，求质点通过B点的最大速率。 解析　(1)质点在最高点A点时，根据牛顿第二定律有F＋mg－FA＝eq \f(mv2,R) 根据牛顿第三定律有FA＝FA′＝7mg 联立解得m＝eq \f(F,7g)。 (2)质点在最低点B点时，根据牛顿第二定律有2F－mg－FB＝2,B)eq \f(mv,R) 当FB＝0时，质点的速率最大，有 2F－mg＝2,Bm)eq \f(mv,R) 联立解得vBm＝eq \r(13gR)。 答案　(1)eq \f(F,7g)　(2)eq \r(13gR) 答案　(1)(m1＋m2)eq \f(v2,r)　(2)m2eq \r(\f(v4,r2)＋g2) 解析　(1)在弯道处雪车加速度的大小为a＝eq \f(v2,r) 雪车(含运动员)所受向心力的大小为F＝(m1＋m2)a 解得F＝(m1＋m2)eq \f(v2,r)。 (2)运动员所受向心力的大小为F2＝m2eq \f(v2,r) 雪车对运动员作用力的竖直分力用来平衡重力，水平分力提供向心力，因此其大小为F车＝2,2)eq \r(F＋（m2g）2) 解得F车＝m2eq \r(\f(v4,r2)＋g2)。 $$