2.2 第1课时 向心力-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（教科版2019）

第二章　匀速圆周运动 2．匀速圆周运动的向心力和向心加速度 第1课时　向心力 1．理解向心力的概念，知道它是根据力的作用效果命名的。2.体验向心力的存在，会分析向心力的来源。3.通过实验探究向心力大小的表达式。4.掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。 2 目录 1 2 课后课时作业 课前自主学习 课堂探究评价 3 课前自主学习 一　什么是向心力 1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向____，这个指向______的合力就叫作向心力。 2．方向：总与物体的速度方向______。 3．作用效果：向心力只改变速度的______，不改变速度的_____。 4．来源：向心力可以由弹力提供，也可以由其他性质的力提供；可以由一个力提供，也可以由几个力的______提供。 圆心 圆心 垂直 方向 大小 合力 课前自主学习 5 二　向心力的大小 1．实验探究 2.公式：F＝________或F＝ ________ 。 控制变量 探究内容 ω、r相同，改变m 探究向心力F的大小与______之间的关系 m、r相同，改变ω 探究向心力F的大小与_________之间的关系 m、ω相同，改变r 探究向心力F的大小与______之间的关系 质量m 角速度ω 半径r mω2r 课前自主学习 6 1．判一判 (1)做匀速圆周运动的物体所受合力不变。(　　) (2)随水平圆盘一起匀速转动的物体受重力、支持力和向心力作用。(　　) (3)由公式F＝mω2r可知，圆周运动的半径越大，向心力越大。(　　) 提示：(1)×　做匀速圆周运动的物体所受合力指向圆心，方向时刻改变。 (2)×　向心力是效果力，物体受重力、支持力、圆盘给它的静摩擦力，静摩擦力充当向心力。 (3)×　只有当质量、角速度一定时，向心力才与半径成正比。 课前自主学习 7 2．想一想 匀速圆周运动中，物体所受的合力就是向心力吗？合力一定指向圆心吗？在变速圆周运动中呢？ 提示：在匀速圆周运动中，物体所受的合力就是向心力，合力一定指向圆心；在变速圆周运动中，物体所受的合力不是向心力，合力不指向圆心，但向心力指向圆心。 课前自主学习 8 课堂探究评价 探究1　向心力及其方向 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 10 活动1：如图甲，用一根结实的细绳，一端拴一个小物体，在光滑桌面上抡动细绳，使小物体做圆周运动，则细绳的拉力方向是怎样的？松手后，物体还能维持圆周运动吗？ 活动2：图乙中月球绕地球做匀速圆周运动，月球的运动状态为什么改变？ 提示：细绳的拉力方向总是沿绳子指向圆心。松手后，物体沿与轨迹圆相切的直线运动。 提示：受到地球的引力。 课堂探究评价 11 活动3：图甲物体、图乙月球所受指向轨迹圆心的力叫作向心力。图甲、丙中做匀速圆周运动的物体所受的向心力分别由什么提供？ 活动4：图甲、乙、丙中物体做匀速圆周运动时，它们所受的合力是否改变了速度的大小？其方向与线速度方向有什么关系？ 提示：图甲中，物体所受细绳的拉力提供向心力；图丙中，拉力和重力的合力提供向心力。 提示：合力没有改变速度的大小，其方向与线速度方向垂直。 课堂探究评价 12 1．向心力的方向 无论物体所做圆周运动是否为匀速圆周运动，其所受向心力的方向总是沿着半径指向圆心且时刻改变，故向心力是变力。 2．向心力的作用效果 向心力的作用效果是改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。 课堂探究评价 13 3．向心力的来源 向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的。它是根据力的作用效果命名的。 (1)向心力可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。 (2)对于匀速圆周运动，合力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合力的一个分力。 (3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分力的合力为向心力。 课堂探究评价 14 例1　(多选)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则(　　) A．物块始终受到三个力作用 B．物块受到的合力始终指向圆心 C．在c、d两个位置，物块所受支持力N＝mg，摩擦力f为零 D．在a、b两个位置物块所受摩擦力提供向心力，支持力N＝mg 课堂探究评价 15 (1)做匀速圆周运动的物体所受的合力有什么特点？ (2)图中物块所受的重力和支持力一直是平衡力吗？ 提示：做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，合力的方向始终指向圆心。 提示：物块受竖直方向的重力和支持力、水平方向的摩擦力，合力为向心力，指向圆心，故只有在a、b位置重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，其他位置重力和支持力不可能平衡。 课堂探究评价 16 规范解答　物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d两点物块所受的向心力由重力和支持力的合力提供，摩擦力为零，重力与支持力不相等，其他时候要受到摩擦力的作用，故A、C错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，合力就是向心力，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B正确；在b位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故合力指向圆心，支持力N＝mg，摩擦力f提供向心力，同理可得，在a位置的情形相同，故D正确。 课堂探究评价 17 向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的几个力的合力或某个力的分力。匀速圆周运动中合力提供向心力，合力的方向一定指向圆心。 课堂探究评价 18 [变式训练1]　(多选)下列关于向心力的说法中正确的是(　　) A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小 C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力 D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力 解析　由于向心力的作用物体做圆周运动，A错误；因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，B正确；做匀速圆周运动的物体所受合力指向圆心，完全提供向心力，C正确；变速圆周运动中合力沿半径方向的分力提供向心力，D错误。 课堂探究评价 19 探究2　实验：探究向心力大小的表达式 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 20 活动1：如图所示，用一根结实的细绳，一端拴一个小物体，手握绳结，在光滑桌面上抡动细绳，使小物体做圆周运动，每秒运动1圈，体验手对做圆周运动的物体的拉力。增大旋转的速度(此处指角速度，如每秒转2圈)，其他操作不变，体会两次绳的拉力有何不同？由此可猜测向心力大小与什么有关？ 提示：旋转角速度更大时，绳的拉力更大。两次操作只有小物体做圆周运动的角速度不同，猜测向心力大小与角速度有关，角速度越大，向心力越大。 课堂探究评价 21 活动2：增大旋转半径，物体质量和角速度不变，体会两次绳的拉力有何不同？猜测向心力大小与什么有关？ 活动3：改为使用质量更大的物体，其他操作不变，体会两次绳的拉力有何不同？猜测向心力大小与什么有关？ 提示：旋转半径更大时，绳的拉力更大。两次操作只有小物体做圆周运动的旋转半径不同，猜测向心力大小与旋转半径有关，旋转半径越大，向心力越大。 提示：物体质量更大时，绳的拉力更大。两次操作只有物体质量不同，猜测向心力大小与质量有关，质量越大，向心力越大。 课堂探究评价 22 活动4：如何探究向心力大小与物体做匀速圆周运动的半径、角速度、质量的定量关系？ 提示：用控制变量法，例如先保持物体做匀速圆周运动的角速度、质量不变，探究向心力大小与半径的定量关系，然后用同样的方法，探究向心力大小与角速度、质量的定量关系。 课堂探究评价 23 1．实验目的：(1)学会使用向心力演示器；(2)通过实验探究向心力与质量m、角速度ω、半径r之间的关系。 2．实验仪器：向心力演示器(如图)，三个金属球(半径相同，其中两个为质量相同的钢球，另一个为质量是钢球一半的铝球)。 课堂探究评价 24 3．实验原理 转动手柄使长槽和短槽分别随变速轮塔匀速转动，槽内的球做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。 课堂探究评价 25 4．实验步骤 (1)把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1∶1。将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持ω和r相同。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与质量m之间的关系。(图1) (2)把皮带放在皮带盘第二挡(第三挡)，此时转速比为1∶2(1∶3)；将质量相同的钢球分别放在长、短槽上半径相等的横臂挡板内侧，即保持m和r相同。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与角速度ω之间的关系。(图2) 课堂探究评价 26 (3)把皮带放在皮带盘第一挡，此时转速比为1∶1；将长槽上的钢球由第一挡板内侧移到第二挡板，此时两个质量相同的钢球相对转轴的半径之比为2∶1。然后摇动手柄，记录实验数据，研究小球做圆周运动所需向心力F与半径r之间的关系。(图3) 课堂探究评价 27 5．实验结论 由步骤(1)及其结果可知，半径r、角速度ω相同时，向心力F与质量m成正比； 由步骤(2)及其结果可知，半径r、质量m相同时，向心力F与角速度ω的平方成正比； 由步骤(3)及其结果可知，角速度ω、质量m相同时，向心力F与半径r成正比； 由以上可推知：F＝mω2r。 课堂探究评价 28 6．实验误差 (1)污渍、生锈等使小球质量、半径变化，带来的误差。 (2)仪器不水平带来的误差。 (3)标尺读数不准带来的误差。 (4)皮带打滑带来的误差。 课堂探究评价 29 7．注意事项 (1)实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。 (2)实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。 (3)注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。 (4)注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度。 课堂探究评价 30 例2　某同学利用如图所示的向心力演示器，探究小球做匀速圆周运动向心力F的大小与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系。匀速转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随之做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的弹力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒7下降，从而露出标尺8。根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 实验过程如下： 课堂探究评价 31 (1)把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的运动半径相同，调整轮塔上的皮带的位置，探究向心力的大小与________的关系，将实验数据记录在表格中。 (2)保持两个小球质量不变，调整轮塔上皮带的位置，使与皮带相连的左、右两轮半径r左________r右(选填“＞”“＝”或“＜”)，保证两轮转速相同，增大长槽上小球的运动半径，探究向心力的大小与运动半径的关系，将实验数据记录在表格中。 转速　 ＝ 课堂探究评价 32 (3)使两小球的运动半径和转速相同，改变两个小球的质量，探究向心力的大小与质量的关系，将实验数据记录在表格中。 (4)根据表中数据，小球做匀速圆周运动的向心力的大小F与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系是________。 A．F∝mnr B．F∝mn2r C．F∝m2n2r D．F∝mnr2 B 课堂探究评价 33 (1)本实验主要采用了什么方法？ (2)与皮带相连的左右两轮的哪个运动参量一定相同？ 提示：控制变量法。 提示：边缘线速度。 课堂探究评价 34 课堂探究评价 35 课堂探究评价 36 课堂探究评价 37 [变式训练2]　如图a所示为探究向心力大小与质量、 半径、角速度关系的实验装置。金属块放置在转台凹槽 中，电动机带动转台做圆周运动，可通过改变电动机的 电压来控制转台的角速度。数字计时器可以采集转台转 动的时间信息。已知金属块被约束在转台的径向凹槽中， 只能沿半径方向移动，且可以忽略与凹槽之间的摩擦力。 (1)某同学保持金属块质量和转动半径不变，仅改变转台的角速度，探究向心力大小与角速度的关系。不同角速度对应的向心力大小可由力传感器读出。若数字计时器记录转台每转50周的时间为T，则金属块转动的角速度ω＝________。 课堂探究评价 38 (2)上述实验中，该同学多次改变角速度后，记录了一组角速度的平方ω2与对应的向心力F大小的数据，见下表。请根据表中数据在图b给出的坐标纸中作出F与ω2的关系图像。由图像可知，当金属块质量和转动半径一定时，F与ω2呈________关系(选填“线性”或“非线性”)。 (3)为了探究向心力大小与半径、质量的关系，还需要用到的实验器材：________、________。 线性 次数 物理量 1 2 3 4 5 F/N 0.70 1.35 1.90 2.42 3.10 ω2/ (102 rad·s－1)2 2.3 4.6 6.6 8.3 10.7 刻度尺 天平 课堂探究评价 39 课堂探究评价 40 探究3　向心力的大小的计算 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 41 活动1：若已知小球质量m，绳拉力FT，绳与竖直方向的夹角α，如何求小球做匀速圆周运动的向心力？ 活动2：若已知小球质量m，小球做圆周运动的角速度ω、半径r，如何求小球的向心力？ 提示：小球受重力mg和绳的拉力FT，其合力等于向心力，由力的合成知向心力F＝F合＝mgtanα。 提示：由向心力公式可知F＝mω2r。 课堂探究评价 42 活动3：若已知m、v、r，如何求向心力F？若已知m、T、r呢？ 课堂探究评价 43 课堂探究评价 44 例3图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时： (1)绳子拉力的大小； (2)转盘角速度的大小。 课堂探究评价 45 (1)人和座椅做匀速圆周运动的半径是什么？ (2)什么力提供人和座椅做匀速圆周运动的向心力？ 提示：这个情景和圆锥摆模型相似，在圆锥摆的半径基础上加转盘的半径即等于人和座椅做匀速圆周运动的半径。 提示：人和座椅整体所受的重力和绳子拉力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力。 课堂探究评价 46 课堂探究评价 47 匀速圆周运动中力学问题的解题步骤 (1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。 (2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的。 (3)确定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，选择合适的公式列式求解。 (4)根据F合＝F向列方程，求解。 课堂探究评价 48 课堂探究评价 49 课堂探究评价 50 [名师点拨]　本题首先要正确进行受力分析，整体上看，“山东舰”只受重力及海水对它的作用力，其中海水对“山东舰”的作用力是指海水的浮力、海水对螺旋桨的反作用力、阻力的合力。 课堂探究评价 51 课后课时作业 1．(对向心力的理解)(多选)关于向心力，下列说法正确的是(　　) A．做匀速圆周运动的物体一定受到一个向心力的作用 B．向心力是指向圆心方向的合力，它是根据力的作用效果命名的 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力 D．向心力只能改变物体的运动方向，不能改变物体运动的快慢 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 解析　向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故A错误，B、C、D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 2．(匀速圆周运动的向心力)在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确表示小滑块受到的牵引力F及摩擦力f的图是(　　) 解析　滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向，B、D错误；小滑块做匀速圆周运动，其合力提供向心力，故合力方向一定指向圆心，A正确，C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 3．(向心力的来源)如图所示，有一个水平大圆盘绕过 圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆 盘静止。关于小强的受力，下列说法正确的是(　　) A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用 B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零 C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力 D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 解析　由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，摩擦力充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 4．(向心力的计算)下课后，小丽在运动场上荡秋千，如图所示。已知每根系秋千的绳子长均为4 m，小丽的质量为40 kg，当秋千板摆到最低点时，速度为3 m/s。则此时每根绳子的拉力是(g＝10 m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、秋千板等不计质量)(　　) A．490 N B．245 N C．400 N D．310 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 6．(向心力的计算)飞机由俯冲到拉起时，飞行员处于超重状态，此时座椅对飞行员的支持力大于飞行员所受的重力，严重时会造成飞行员四肢沉重，大脑缺血，暂时失明，甚至昏厥。受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的影响。当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲、拉起的速度为100 m/s时，圆弧轨道的最小半径为(g取10 m/s2)(　　) A．100 m B．111 m C．125 m D．250 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 7．(临界问题)(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力为Fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，另一端通过转台的中心孔O(孔光滑)悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)(　　) A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 8．(用实验探究向心力的大小)在“探究向心力大小的表达式”的实验中会用到向心力演示器，如图甲所示。实验时匀速转动手柄1，可以使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动，使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 (1)本实验中主要用到的研究方法为________。 A．等效法 B．控制变量法 C．留迹法 D．微元法 (2)为探究向心力大小与半径的关系，将两质量相等的钢球置于半径为2∶1的槽内，皮带连接的变速轮塔的半径之比应为______，匀速转动手柄，标尺显示情况如图乙所示，可知此时左、右两槽内放置的钢球所受向心力之比为________，可得出结论：_____________________________________________________。 B 1∶1 2∶1 在质量与角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 解析　(1)本实验要分别探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系，应用到的探究方法主要为控制变量法。 (2)探究向心力大小与半径的关系时，应控制小球质量相同、角速度相同，两轮塔通过皮带相连，则轮塔边缘的线速度相同，由v＝rω可知想要角速度相同，轮塔的半径之比需为1∶1；图乙中左侧标尺露出红格、白格各两格，而右侧标尺露出红格、白格各一格，可知本次实验左、右两钢球的向心力之比为2∶1；由题干可知两小球放置于半径之比也为2∶1的槽内，故可得出结论：在质量与角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 9．(综合)如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)物块做平抛运动的初速度大小v0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ。 答案　(1)1 m/s　(2)0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 10．(综合)(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T，则下列说法正确的是(　　) A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小 B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T减小 C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R变小 D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T一定不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 11．(用实验验证向心力与线速度的关系)某同学做“验证 向心力与线速度关系”的实验。装置如图所示，一轻质细线上 端固定在拉力传感器上，下端悬挂一小钢球。已知钢球直径 为d，钢球静止时刚好位于光电门中央。主要实验步骤如下： ①将钢球悬挂静止不动，此时拉力传感器示数为F1，用米尺量出线长L； ②将钢球拉到适当的高度处释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，拉力传感器示数的最大值为F2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 ①将钢球悬挂静止不动，此时拉力传感器示数为F1，用米尺量出线长L； ②将钢球拉到适当的高度处释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，拉力传感器示数的最大值为F2。 已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示： (1)钢球经过光电门时的线速度表达式为v＝________，向心力表达式为F向＝_______________。 (2)钢球经过光电门时所受合力的表达式为F合＝________。 F2－F1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R meq \f(v2,r) 实验次数 转速之比/eq \f(n左,n右) 球的质量m/g 运动半径r/cm 向心力大小F/红白格数 m左 m右 r左 r右 F左 F右 1 1 12 12 20 10 2 1 12 24 10 10 3 2 12 12 10 10 规范解答　(1)把两个质量相同的小球分别放在长槽和短槽上，使它们的运动半径相同，即m、r一定，调整轮塔上的皮带的位置，根据控制变量法可知，探究的是向心力的大小与转速的关系。 (2)变速轮塔靠皮带传动，边缘的线速度大小相同，为保证两轮转速相同，根据v＝rω、ω＝2πn可知，应使两轮半径相同。 (4)根据表中数据： 第1次：eq \f(n左,n右)＝1，eq \f(m左,m右)＝eq \f(12,12)＝1，eq \f(r左,r右)＝eq \f(20,10)＝eq \f(2,1)，eq \f(F左,F右)＝eq \f(4,2)＝eq \f(2,1)， 则结论1：做圆周运动的小球的转速、质量相等时，向心力F的大小与运动半径成正比，即F∝r； 第2次：eq \f(n左,n右)＝1，eq \f(r左,r右)＝eq \f(10,10)＝1，eq \f(m左,m右)＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2)，eq \f(F左,F右)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)， 结论2：做圆周运动的小球的转速、运动半径相等时，向心力F的大小与小球的质量成正比，即F∝m； 第3次：eq \f(m左,m右)＝eq \f(12,12)＝1，eq \f(r左,r右)＝eq \f(10,10)＝1，eq \f(n左,n右)＝eq \f(2,1)，eq \f(F左,F右)＝eq \f(8,2)＝eq \f(4,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1))) eq \s\up12(2)， 结论3：做圆周运动的小球的质量、运动半径相等时，向心力F的大小与转速的平方成正比，即F∝n2。 综上所述：小球做匀速圆周运动的向心力大小F与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系是F∝mn2r。 1．控制变量法 影响向心力大小的因素比较多，应采用控制变量法进行研究。在让某个因素(如半径)变化的同时，控制其他因素(如质量和角速度)不变，便于找出这个因素影响向心力大小变化的规律。然后依次分别研究其他的影响因素。 2．实验拓展 由v＝rω可知，F＝meq \f(v2,r)，故也可以探究F与v、m、r的关系，实验方法和思路不变。 eq \f(100π,T) 解析　(1)由题意可知，转台转动的周期为T0＝eq \f(T,50)，根据角速度和周期的关系可得角速度ω＝eq \f(2π,T0)＝eq \f(100π,T)。 (2)根据描点法在坐标纸中作出F­ω2的关系图像 如图所示，由图像可知，F与ω2呈线性关系。 (3)为了探究向心力大小跟半径、质量的关系，还 需要用刻度尺测金属块的转动半径，用天平测量金属块 的质量m。 提示：利用F＝mω2r，结合v＝rω，ω＝eq \f(2π,T)得F＝meq \f(v2,r)，F＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r。 1．向心力的大小 (1)根据受力分析求得：圆周运动平面上，指向圆心方向的合力即为向心力。 (2)根据圆周运动规律求得：F＝mω2r＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r＝m(2πn)2r＝mωv。 2．向心力公式的瞬时性 对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。 答案　(1)750 N　(2)eq \f(\r(3),2) rad/s 规范解答　(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力。质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。 故Fcos37°－mg＝0 解得F＝eq \f(mg,cos37°)＝750 N。 (2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动， 重力和绳子拉力的合力提供向心力， 有mgtan37°＝mω2R 分析可知：R＝d＋lsin37° 联立解得ω＝eq \r(\f(gtan37°,d＋lsin37°))＝eq \f(\r(3),2) rad/s。 [变式训练3]　“山东舰”是我国首艘完全自主建造的航空母舰，现已正式入编。如图所示是某次进行小半径转弯训练时，在海平面上画出的圆形航迹。若将此过程看成半径为R、速率为v的匀速圆周运动，“山东舰”质量为m，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　) A．海水对“山东舰”的作用力方向竖直向上 B．海水对“山东舰”的作用力与重力的合力不一定指向圆心 C．海水对“山东舰”的作用力大小为meq \r(g2－\f(v4,R2)) D．海水对“山东舰”的作用力大小为meq \r(g2＋\f(v4,R2)) 解析　“山东舰”做匀速圆周运动，由重力和海水对“山东舰”的作用力的合力提供向心力，其受力如图所示，可知合力一定指向圆心，且海水对“山东舰”的作用力方向不是竖直向上，故A、B错误；根据向心力公式有F合＝meq \f(v2,R)，根据平行四边形定则，如图，海水对“山东舰”的作用力大小为F＝2,合)eq \r(（mg）2＋F) ＝meq \r(g2＋\f(v4,R2))，故C错误，D正确。 解析　以小丽和秋千板为整体，在最低点时进行受力分析，设每根绳子的拉力为T，则2T－mg＝eq \f(mv2,r)，代入数据解得T＝245 N，故B正确。 5．(向心力的计算)如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为(　　) A．eq \r(μgr) B．eq \r(μg) C．eq \r(\f(g,r)) D．eq \r(\f(g,μr)) 解析　对物块a受力分析知f＝mg，F向＝N＝mω2r，又由于f≤μN，所以解这三个方程得角速度ω至少为eq \r(\f(g,μr))，D正确。 解析　在飞机经过最低点时，对飞行员受力分析，受重力mg和支持力FN，两者的合力提供向心力，由题意知，当FN＝9mg时，圆弧轨道半径最小，设为Rmin，由向心力公式得FN－mg＝meq \f(v2,Rmin)，解得Rmin＝125 m，故C正确。 解析　当木块有远离轴心运动的趋势且与转台间的摩擦力为Fmax时，有mg＋Fmax＝Mω2rmax，解得rmax＝eq \f(mg＋Fmax,Mω2)＝0.32 m；当木块有靠近轴心运动的趋势且与转台间的摩擦力为Fmax时，有mg－Fmax＝Mω2rmin，解得rmin＝eq \f(mg－Fmax,Mω2)＝0.08 m，所以木块相对转台静止，木块到O点的距离r应满足0.08 m≤r≤0.32 m，故B、C、D正确。 解析　(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H＝eq \f(1,2)gt2 在水平方向上有s＝v0t 联立并代入数据解得v0＝1 m/s。 (2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有 fmax＝m2,0)eq \f(v,R) fmax＝μN＝μmg 联立并代入数据解得μ＝0.2。 解析　对飞机进行受力分析，由向心力公式得mgtanθ＝meq \f(v2,R)，解得R＝eq \f(v2,gtanθ)，若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小，由T＝eq \f(2πR,v)知，周期T减小，A、B正确；若θ不变，飞行速率v增大，由上述分析可知半径R变大，C错误；由T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πv,gtanθ)知，若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变，D错误。 eq \f(d,t) eq \f(2F1d2,gt2（2L＋d）) 解析　(1)已知钢球直径为d，光电门计时器测出钢球的遮光 时间为t，则钢球经过光电门时的线速度表达式为v＝eq \f(d,t)；由题意 可知，钢球运动的半径R＝L＋eq \f(d,2)，钢球的重力mg＝F1，则钢球的 质量m＝eq \f(F1,g)，向心力表达式为F向＝meq \f(v2,R)＝eq \f(2F1d2,gt2（2L＋d）)。 (2)将钢球拉到适当的高度处释放，钢球经光电门时速度最大，此时拉力传感器示数的最大，为F2，则钢球经过光电门时所受合力的表达式F合＝F2－F1。 12．(临界问题)如图所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为 质点的小球在位置A处与两细线连接后分别系于B、C两点，当 细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。 已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m。(重力加速度g取 10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8) (1)若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1； (2)若装置匀速转动的角速度ω2＝eq \f(5\r(6),3) rad/s，求细线AB和AC上的张力大小FTAB、FTAC。 答案　(1)eq \f(5\r(2),2) rad/s　(2)2.5 N　12.5 N 解析　(1)当细线AB刚好被拉直时，AB的拉力为零，AC的拉力和小球所受重力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，根据向心力公式有mgtan37°＝mLABωeq \o\al(2,1) 又LAB＝Lsin37° 解得ω1＝eq \r(\f(gtan37°,Lsin37°))＝eq \f(5\r(2),2) rad/s。 (2)若装置匀速转动的角速度ω2＝eq \f(5\r(6),3) rad/s>ω1＝eq \f(5\r(2),2) rad/s，则细线AB绷紧 竖直方向上有FTACcos37°＝mg 水平方向上有FTACsin37°＋FTAB＝mLABωeq \o\al(2,2) 代入数据解得FTAC＝12.5 N，FTAB＝2.5 N。 $$