19.2.3 一次函数与方程、不等式（课时2） 课件-2024-2025学年人教版（2012）八年级数学下册

19.2.3一次函数与方程、不等式 （课时2） 第十九章 一次函数 素养目标 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组； 2.体验数形结合的思想，学会用函数的观点去认识问题. 重点 知识回顾 1.解一元一次方程可以看作，在某个一次函数 y=ax+b 的函数值为0时，求自变量x的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 2.解一元一次不等式可以看作，当一次函数 y=ax+b 的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围.即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 新知导入 思考：y-2x=20 是二元一次方程还是函数？ 一次函数的一般形式为 y=kx+b(k≠0). y-2x = 20 y = 2x+20 方程的角度 二元一次方程 函数的角度 一次函数 一次函数与二元一次方程之间有什么关系呢？ 探究新知 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h． （1）请用解析式分别表示两个气 球所在位置的海拔 y(m)与气球 上升时间 x(min)的函数关系． 气球1 海拔高度：y =x+5； 气球2 海拔高度：y =0.5x+15． h1 h2 探究新知 【思考】一次函数与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 二元一次方程 一次函数 y =0.5x+15 二元一次方程 y -0.5x =15 二元一次方程 y =0.5x+15 用方程观点看 用函数观点看 探究新知 由函数图象的定义可知： 直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解. 从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？ 15 10 5 -5 5 10 O x y y =0.5x+15 探究新知 （2）什么时刻两个气球位于同一高度？这时的高度是多少？气球上升了多长时间？ 解：（2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值 (0≤ x ≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决. h1 h2 探究新知 气球1 海拔高度：y =x+5 气球2 海拔高度：y =0.5x+15 从数的角度看： 就是求x为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 有相同的值y . 解方程组 y =x+5 y =0.5x+15 这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 探究新知 从形的角度看： 在同一直角坐标系中，画出一次函数 y=x+5 和 y=0.5x+15的图象. y =x+5 y =0.5x+15 30 25 20 15 10 5 10 20 15 5 O x y 二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标． 这两条直线的交点坐标为(20， 25)，这也说明当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 探究新知 观察函数图象，直接回答下列问题： （1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？ （1）20min后，1 号气球比2 号气球高. （2）0~20min时，2号气球比1号气球高. 30 25 20 15 10 5 10 20 y =x+5 y =0.5x+15 15 5 O x y 气球1 海拔高度：y =x+5 气球2 海拔高度：y =0.5x+15 归纳总结 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 归纳总结 从数的角度看： 一次函数 y=kx+b (k≠0) 二元一次方程 y-kx=b (k≠0) 从形的角度看： 以二元一次方程y=kx+b(其中k，b为常数，k≠0)的解为坐标的点组成的图形 一次函数 y-kx=b的图象 直线y=kx＋b上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解. 归纳总结 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从数的角度看： 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从形的角度看： 解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. y x O A B B B 450 小结 一次函数与二元一次方程（组） 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 . 直线 y=kx+b 上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解. 谢谢同学们的聆听 练习1 若直线 与直线 的交点的横坐标为2,则关于x,y的二元一次方程组 的解是( ) A. B. C. D. 解析：当 时, , 交点为 , 方程组 的解为 ，故选：A. 练习2 如图,一次函数 的图像与 的图像相交于点 ,则关于x,y的方程组 的解是( ) A. B. C. D. 解析：关于x,y的方程组 可化为： 故一次函数 的图像与 的图像的交点坐标即为方程组的解, 将 代入 得： ,∴ 故关于x,y的方程组 的解是 ,故选：B. 练习3 如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，则关于x，y的方程组 的解为( ) A. B. C. D. 解析： 直线 过点 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 直线 与直线 交于点A， 关于x、y的方程组 的解为： ， 故选：B. 练习4 已知二元一次方程组 的解为 ,则函数 和 EMBED Equation.DSMT4 的图象交点的坐标为( ) A. B. C. D. 解析：∵二元一次方程组 的解为 ∴函数 和 的图象的交点坐标为 .故选：B. 练习5 如图,已知函数 和 的图象交于点P,则二元一次方程组 的解是 . 解析：∵函数 和 的 图象交点P的坐标为 ∴二元一次方程组 的解为 ,故答案为： . 练习6 在一次体育课上进行跳绳测试，小明的跳绳平均成绩为每分钟100个，小强的跳绳平均成绩为每分钟150个（单位：个），小明先跳150个，然后小强再跳，如图是小明、 小强跳绳的个数关于小强的跳绳时间t 的函数图象，则两图象交点 P的纵坐标是__________. 解析：由题意得：小明跳绳的函数关系式为： ， 小强跳绳的函数关系式为： ， ， 解得， ， ， P的纵坐标是 ，故答案为： . 练习7 某游乐园推出了甲、乙两种消费卡,已知甲、乙两种消费卡的消费费用y(元)与消费次数为x(次)的函数关系如图所示根据图中信息,解答下列问题： (1)分别求出选择甲、乙两种卡消费时, y与x的函数表达式； 解：(1)设 根据题意得 , 解得 EMBED Equation.DSMT4 设 根据题意得： 解得 EMBED Equation.DSMT4 (2)当消费次数是多少次时,选择两种消费卡的费用一样； 解：(2)解方程组 得 即 故当消费次数是10次时,选择两种消费卡的费用一样； (3)若西西爸爸准备了180元钱用于西西在该游乐园消费,请问西西爸爸选择哪种消费卡更划算. 解：(3)甲： ,解得 ,即甲种消费卡可玩9次； 乙： ,解得 ,即乙种消费卡可玩8次； ∴洋洋爸爸准备180元钱用于洋洋在该游乐场消费,选择甲种消费卡划算. $$