19.2.3一次函数与方程、不等式（第一课时）课件 2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2.3一次函数与方程、不等式 （课时1） 第十九章 一次函数 素养目标 1.认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系； 2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. 重点 难点 新知导入 【问题1】已知一次函数 y=2x+1，求当函数值 y =3，y =0，y = -1 时，自变量x的值． 自变量x的值依次是 1， ，-1 【问题2】当y=3时，2x+1等于几？当y =0，y = -1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？ 可以写成 2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1 的形式，就变成了一元一次方程． 下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1) 2x+1 = 3; (2) 2x+1 = 0; (3) 2x+1 = -1. 探究新知 可以看出，这3个方程的等号左边都是2x＋1，等号右边分别是3， 0， -1. 探究新知 1.从“数”的角度看： 一次函数问题 方程的解 2x+1=3 2x+1=0 2x+1=﹣1 可以看作函数y=2x+1，当y=3时，求x的值 可以看作函数y=2x+1，当y=0时，求x的值 可以看作函数y=2x+1，当y=﹣1时，求x的值 x = 1 x = x =﹣1 探究新知 2.从“形”的角度看： 一次函数问题 图象 2x+1=3 2x+1=0 2x+1= -1 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =2x+1 在直线 y=2x+1上取纵坐标为3的点，求其横坐标 在直线y=2x+1上取纵坐标为0的点，求其横坐标 在直线y=2x+1上取纵坐标为-1的点，求其横坐标 2x +1=0 的解 2x +1=-1 的解 2x +1=3 的解 归纳总结 从数的角度看： 求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解 一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值 从形的角度看： 求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解 求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标 数形结合 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值. 探究新知 【问题1】已知一次函数y=3x+2，求函数值y＞2，y＜0，y＜-1时，自变量x的取值范围. 【问题2】当 y＞2时，3x+2大于几？当 y＜0，y＜-1时，3x+2又小于几呢？怎样列式表示？ 可以写成 3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1 的形式，就变成了一元一次不等式． 自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜ ，x＜-1. 探究新知 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？　 （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x+2，而不等号及不等号右边却有不同. 探究新知 1.从“数”的角度看： 一次函数问题 方程的解 3x+2>2 3x+2<0 3x+2<﹣1 可以看作函数y=3x+2，当y>2时，求x的取值范围 可以看作函数y=3x+2，当y<0时，求x的取值范围 可以看作函数y=3x+2，当y<﹣1时，求x的取值范围 x > 0 x < x <﹣1 探究新知 2.从“形”的角度看： 一次函数问题 图象 3x+2>2 3x+2<0 3x+2<-1 在直线y=3x+2上取纵坐标大于2的点，求其横坐标的范围 在直线y=3x+2上取纵坐标小于0的点，求其横坐标的范围 在直线y=3x+2上取纵坐标小于﹣1的点，求其横坐标的范围 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3x+2 y =2 y =0 y =-1 归纳总结 从数的角度看： 求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集 一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围 从形的角度看： 求ax+b>0(或<0)(a,b是常数，a≠0)的解集 求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围 数形结合 因为任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或 ax+b<0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围. 练一练 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3？ 解：作出函数 y = -3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0). O B(2,0) A(0,6) y 练一练 解：（1）由图象可知，不等式 -3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围，即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2； O B(2,0) A(0,6) 3 1 y （2）由图象可知，当x>1时，y<3. (1,3) 归纳总结 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤： 1.将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0) 的形式； 2.画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标； 3.根据函数图象确定对应不等式的解集. A C B A 小结 一次函数与一元一次方程、不等式 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 谢谢同学们的聆听 练习1 下表是一次函数 中x与y的几组对应值,则方程 的解为( ) x … 0 1 2 … y … 1 7 13 19 … A. B. C. D. 解析：由表格信息可得：当 时, , ∴ 的解为 ,故选A 练习2 已知方程 的解是 ,则函数 的图象可能是( ) A. B. C. D. 解析： 方程 的解是 , 经过点 .故选：C. 练习3 若直线 与x轴交于点 ,则方程 的解是( ) A. B. C. D. 解析：∵直线 与x轴交于点 , ∴当 时, , ∴方程 的解是 .故选：B 练习4 若一次函数 的图象经过点 和 ,则关于x的一元一次方程 的解为______. 解析：∵一次函数 的图象经过点 和 . 直线 与x轴的交点坐标是 , ∴关于x的一元一次方程 的解为 ,故答案为： . 练习5 如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若 ， ，则关于x的方程 的解为__________. 解析： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 一次函数 的图象与x轴交于点 ， 当 时， ，即 时， ， 关于x的方程 的解是 . 故答案为： . 练习6 若一次函数 的图象如图所示,点 在函数图象上,则关于x的不等式 的解集是____________. 解析：观察函数图象, 可知：当 时, . 故填： . 练习7 如图,一次函数 的图象分别与x轴,y轴交于点 , ,则关于x的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 解析： 一次函数 的图象分别与x轴,y轴交于点 , , 关于x的不等式 的解集为 . 故选：A. 练习8 如图,直线 与直线 交于点 ,则关于x的不等式 的解集是______. 解析：∵ 根据图象进行对比可得： , ∴把 , 代入 可得： , 解得： , ∴ , 故答案为： . $$