2025年九年级数学中考三轮冲刺训练反比例函数中几何综合问题

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练反比例函数中几何综合问题 一、选择题 1.如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点C（3，4），反比例函数图象交线段AB，射线BC于点E，F，连接EF，则S△BEF的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，点A在双曲线y1＝（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2＝（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 第2题图 第3题图 第1题图 4．如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y＝（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．3 5．如图，动点P在函数的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值是（　　） A．4 B．2 C．1 D． 6．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（　　） A． B． C． D． 第5题图 第4题图 第6题图 7．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知：如图，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA＝2OC，直线y＝x+b过点C，并且交对角线OB于点E，交x轴于点D，反比例函数过点E且交AB于点M，交BC于点N，连接MN、OM、ON，若△OMN的面积是，则a、b的值分别为（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝﹣3，b＝2 第9题图 第8题图 第7题图 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 　 　． 10．如图，矩形OABC顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交BC、AB于点D、E，连接DE并延长交x轴于点F，连接AC．下列结论： ①DE∥CA； ②S四边形ACDF＝k； ③若BD＝2CD，则AE＝2BE； ④若点E为DF的中点，且S△AEF＝3，则k＝12； 其中正确的有 　 　．（填写所有正确结论的序号） 11．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y＝（x＜0）的图象为曲线L． （1）若L过点T1，则k＝　 　； （2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝　 　； （3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有 　　个． ． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N，若点B的坐标为（4，2），△MON的面积是，则k的值为 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 　 　． 第13题图 第12题图 第11题图 三、解答题 14．如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞的解集． 15．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点 和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF． （1）求k的值； （2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝的图象交于M（，4），N（n，1）两点． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求△OMN的面积； （3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标． 17．如图，点M、N是反比例函数的图象上的两个动点，过点M作MP⊥y轴、过点N作NQ⊥x轴，分别交反比例函数的图象于点P、Q，连接PN、QM．设点M的横坐标为m（m＞0），点N的横坐标为n（n＜0）． （1）若m＝3，求MP的长； （2）若MP＝NQ，求mn的值； （3）①求△MNP的面积（用含m、n的代数式表示）； ②点P、Q到直线MN的距离是否相等？并说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝． （1）求过点D的反比例函数的解析式； （2）求△DBE的面积； （3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，△AOB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，OB＝4，反比例函数y过AB的中点C，交OA于点E． （1）求k的值； （2）以O为圆心OE为半径作圆，⊙O与y的图象的另一个分支交于点D、F．求图中阴影部分面积． 20．如图，反比例函数y（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝2，OC＝4，连接OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2． （1）填空： ①点B坐标为　 　； ②S1　 S2（填“＞”、“＜”、“＝”）； （2）当S1+S2＝2时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积． 参考答案 一、选择题 1.【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H， ∵点A在函数y＝﹣图象上，点B在反比例函数y＝图象上， ∴S△AGO＝，S△BOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB， ∴△AGO∽△OHB， ∴， ∴． 故选：A． 2．【解答】解：∵C（3，4）， ∴OC＝BC＝＝5， ∴B（8，4）， 在反比例函数y＝中，当y＝4时，x＝2， F（2，4）， BF＝8﹣2＝6． 设直线AB的解析式为y＝kx+b，A（5，0）、B（8，4）在直线上， ，解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣， 联立方程组，解得，， ∴E（6，）， ∴S△BEF＝＝8． 故选：C． 3．【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴于D． 由题意，设A（a，）（a＞0）， ∵AO＝AC，AD⊥OC， ∴OC＝2OD＝2a． 又设直线OA为y＝mx， ∴ma＝． ∴m＝． ∴直线OA为y＝x． 联立， ∴x2＝． ∴x＝±． ∴B（﹣，﹣）． ∴S△ABC＝S△BOC+S△AOC ＝OC•|yB|+OC•|yA| ＝×2a（+） ＝k． 又∵S△ABC＝6， ∴k＝6． ∴k＝4． 故选：C． 4．【解答】解：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H， ∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴， ∴∠EDO＝＝＝60°， ∴∠EDG＝30°， ∴EG＝ED，GD＝， 设正六边形ABCDEF的边长为a，则E（，），H（a，）， ∵点E、H都在反比例函数图象上， ∴， 解得a＝4， ∴H（4，）， ∴k＝4． 故选：A． 5．【解答】解：作FG⊥x轴， ∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA， ∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0）， ∴BN＝1﹣， 在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°， ∴三角形OAB是等腰直角三角形， ∴OB＝OA＝1， ∴NF＝BN＝1﹣， ∴F点的坐标为（1﹣，）， 同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a）， ∴AF2＝（1﹣1+）2+（）2＝，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2， ∴AF2•BE2＝•2a2＝1，即AF•BE＝1． 故选：C． 6．【解答】解：过点E作EM⊥OC，则EM∥OB， ∴△OME∽△OCA， ∴， 设， ∵OE＝2AE， ∴， ∴， ∴， 即，解得：， 故选：D． 7．【解答】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图， 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点， 设，， 由BC中点为D，AB＝AC， 在等腰三角形ABC中， ∴BD＝DC＝a﹣b， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由M在反比例函数上得， ∴， 解得：b＝﹣3a， 由题可知，AD∥NE， ∴， 故选：B． 8．【解答】解：过点E作EH⊥AO，垂足为H，如图， ∵直线y＝x+b与y轴交于点C，交x轴于点D， ∴点C（0，b），点D（﹣b，0）． ∴OC＝OD＝b． ∵四边形OABC是矩形，OA＝2OC， ∴BC＝OA＝2b，AB＝OC＝b，BC∥OA． ∴△BEC∽△OED． ∴＝＝2． ∴＝3． ∵EH⊥OA，∠COA＝90°， ∴∠EHA＝∠COA＝90°． ∴EH∥OC． ∴△DOC∽△DHE． ∴＝＝＝3． ∴EH＝，DH＝． ∴OH＝OD﹣DH＝b﹣＝． ∴点E的坐标为（﹣，）． ∵点E在反比例函数上， ∴﹣×＝a． ∴2b2＝﹣9a． ∵反比例函数图象交AB于点M，交BC于点N， ∴点M的坐标为（﹣2b，），点N的坐标为（，b）． ∴S△BMN＝BM•BN ＝（b﹣）[2b﹣（﹣）] ＝×× ＝ ＝﹣a． ∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△AMO﹣S△OCN﹣S△BMN ＝2b2﹣（﹣）﹣（﹣）﹣（﹣a） ＝﹣9a+a+a ＝﹣a＝． 解得：a＝﹣2． ∴2b2＝﹣9a＝﹣9×（﹣2）＝18． ∴b＝±3． ∵b＞0， ∴b＝3． 故选：C． 二、填空题 9．【解答】解：点A与B关于直线y＝x对称， 设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得， 2＝﹣1+b，解得b＝3， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3， ∵点A（1，2）在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为y＝， 联立方程组，解得或． ∴B（2，1）． 故答案为：（2，1）． 10．【解答】解：设B（m，n），则OA＝BC＝m，OC＝AB＝n， ∵双曲线分别交BC、AB于点D、E， ∴D（，n），E（m，）， ∴CD＝，AE＝， ∵，＝＝， ∴， ∴DE∥CA，故①正确； ∵DF∥AC，CD∥AF， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴S四边形ACDF＝CD•OC＝k，故②正确； ∵DE∥CA， ∴， ∵BD＝2CD， ∴＝2， ∴BE＝2AE，故③错误； ∵∠B＝∠EAF＝90°，∠BED＝∠AEF，BE＝AE， ∴△BED≌AEF（ASA）， ∴AF＝BD，S△BDE＝S△AEF＝3， ∴＝3， ∵CD＝AF， ∴＝3， ∴CD•AB＝12， ∴k＝12，故④正确． 故答案为：①②④． 11．【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8）， ∵L过点T1， ∴k＝﹣16×1＝﹣16， 故答案为：﹣16； （2）∵L过点T4， ∴k＝﹣10×4＝﹣40， ∴反比例函数解析式为：y＝﹣， 当x＝﹣8时，y＝5， ∴T5在反比例函数图象上， ∴m＝5， 故答案为：5； （3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16， 若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28， 若曲线L过点T3（﹣12，3），T6（﹣6，6）时，k＝﹣12×3＝﹣36， 若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40， ∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴﹣36＜k＜﹣28， ∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个， 故答案为：7． 12．【解答】解：由题意可知点M的坐标为（4，），点N的坐标为（，2，），则BM＝2﹣，BN＝4﹣， 由反比例函数k值的几何意义可得：S△OCN+S△OAM＝k， ∴S△BMN＝S矩形OABC﹣k﹣， ＝8﹣k﹣， 解得：k＝2． 故答案为：2． 13．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图所示： ∵点A（5，0），B（2，6），BC∥x轴，∠COM＝90°， ∴四边形OMBC为矩形， ∴BC＝OM＝2，OC＝MB＝6， ∴AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3， ∵BD＝2AD， ∴AD：AB＝1：3， ∵BM⊥x轴，DN⊥x轴， ∴BM∥DN， ∴△ADN∽△ABM， ∴DN：BM＝AN：AM＝AD：AB， 即DN：6＝AN：3＝1：3， ∴DN＝2，AN＝1， ∴ON＝OA﹣AN＝5﹣1＝4， ∴点D的坐标为（4，2）， ∵反比例函数（x＞0）的图象经过点D， ∴k＝8， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE＝×8＝4， ∵S梯形OABC＝（BC+OA）•OC＝×（2+5）×6＝21，S△AOD＝OA•DN＝×5×2＝5， ∴S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△AOD＝21﹣4﹣5＝12． 三、解答题 14．【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2）， ∵tan∠ACO＝2， ∴＝2， ∴C（﹣1，0）， 代入y＝k1x+2得k1＝2， ∴一次函数解析式为y＝2x+2． 过A作AM⊥x轴，如图1． ∴tan∠ACO＝＝2， ∵AM＝4， ∴CM＝2， ∴OM＝1， ∴A（1，4）， 代入y＝得k2＝4， ∴反比例函数解析式为y＝． （2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N． 联立y＝2x+2和y＝得x2+x﹣2＝0， ∴x＝﹣2或1， ∴B（﹣2，﹣2）． ∴BD＝＝2， ∴DE＝DB＝2， ∴OE＝＝4， ∴E（4，0）， 设直线BE解析式为y＝mx+n， ∴， ∴m＝，n＝﹣， ∴直线BE解析式为y＝x﹣， ∴N（1，﹣1）， ∴△ABE面积＝（4+1）（4+2）＝15． （3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞，即2x+2＞． 15．【解答】解：（1）将A（，1）代入到y＝中， 得：1＝， 解得：k＝； （2）过点A作OD 的垂线，交x轴于G， ∵A（，1）， ∴AG＝1，OG＝， OA＝＝2， ∴半径为2； ∵AG＝OA， ∴∠AOG＝30°， 由菱形的性质可知，∠AOG＝∠COG＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∴圆心角的度数为：60°； （3）∵OD＝2OG＝2， ∴S菱形AOCD＝AC×OD＝2， ∴S扇形AOC＝×π×r2＝， 在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO， ∵S△FHO＝＝， ∴S△FBO＝2×＝， ∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC＝+2﹣π＝3﹣． 16．【解答】解：（1）由题意，∵M（，4）在反比例函数y＝上， ∴k＝×4＝2． ∴反比例函数表达式为y＝． 又N（n，1）在反比例函数y＝上， ∴n＝2． ∴N（2，1）． 设一次函数表达式为y＝ax+b， ∴． ∴a＝﹣2，b＝5． ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5． （2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为y＝﹣2x+5， ∴A（，0），B（0，5）． ∴OA＝，OB＝5． ∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO•yN﹣×BO×xM ＝××5﹣××1﹣×5× ＝． （3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长． ∵M（，4）与M'关于y轴对称， ∴M'为（﹣，4）． 又N（2，1）， ∴直线M′N为y＝﹣x+． 令x＝0，则y＝， ∴P（0，）． 17．【解答】解：（1）当m＝3时， 又点M的横坐标为m，M在y＝上， ∴M（3，1）． 又MP⊥y轴， ∴P的纵坐标为1． 又∵P在y＝﹣上， ∴P（﹣2，1）． ∴MP＝3﹣（﹣2）＝5． （2）由题意，∵点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，M、N都在y＝上， ∴M（m，），N（n，）． 又MP⊥y轴，NQ⊥x轴， ∴P的纵坐标为，Q的横坐标为n． 又∵P、Q都在y＝﹣上， ∴P（﹣，），Q（n，﹣）． ∴MP＝m﹣（﹣m）＝m，NQ＝﹣﹣＝﹣． 又MP＝NQ， ∴＝﹣． ∴mn＝﹣3． （3）①由题意，根据（2）N（n，），P（﹣，）， ∴△MNP的MP边上的高h为：﹣＝． 又∵MP＝m， ∴S△MNP＝MP•h＝×m×＝． ②相等．理由如下： 由题意，根据（2）M（m，），Q（n，﹣）． ∴△MNQ的NQ边上的高h'＝m﹣n． 又∵NQ＝﹣， ∴S△MNQ＝NQ•h'＝×（m﹣n）×（﹣）＝． 又由①S△MNP＝， ∴S△MNP＝S△MNQ． ∴当MP看作底时，点P、Q到直线MN的距离相等． 18．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA，AB＝OC， ∵tan∠COD＝， ∴设OC＝3x，CD＝4x， ∴OD＝5x＝5， ∴x＝1， ∴OC＝3，CD＝4， ∴D（4，3）， 设过点D的反比例函数的解析式为：y＝， ∴k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝； （2）∵点D是BC的中点， ∴B（8，3）， ∴BC＝8，AB＝3， ∵E点在过点D的反比例函数图象上， ∴E（8，）， ∴S△DBE＝BD•BE＝＝3； （3）存在， ∵△OPD为直角三角形， ∴当∠OPD＝90°时，PD⊥x轴于P， ∴OP＝4， ∴P（4，0）， 当∠ODP＝90°时， 如图，过D作DH⊥x轴于H， ∴OD2＝OH•OP， ∴OP＝＝． ∴P（，O）， ∴存在点P使△OPD为直角三角形， ∴P（4，0），（，0）． 19．【解答】解：（1）如图，连接OC，过点C作CM⊥OB于点M， ∵△OAB是正三角形，OB＝4， ∴OC⊥AB，AC＝BC＝2， ∴OCBC＝2， 在Rt△OCM中，∠COM＝30°，OC＝2， ∴OMOC＝3，CMOC， ∴S△COMOM•CM|k|， ∵k＞0， ∴k＝3； （2）由中心对称图形的性质可知，∠DOF＝∠AOC＝30°，OD＝OF＝OC＝2， ∴S扇形ODFπ． 20．【解答】解：（1）①根据长方形OABC中，OA＝2，OC＝4， 则点B坐标为（4，2）， ②∵反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点， 利用△OAD、△OCE的面积分别为S1AD•AO，S2•CO•EC，xy＝k，得出， S1AD•AOk，S2•CO•ECk， ∴S1＝S2； （2）当S1+S2＝2时，∵S1＝S2， ∴S1＝S2＝1， ∴k＝2， ∵S1AD•AOAD×2＝1， ∴AD＝1， ∵S2•CO•EC4×EC＝1， ∴EC， ∵OA＝2，OC＝4， ∴BD＝4﹣1＝3， BE＝2， ∴DO2＝AO2+AD2＝4+1＝5， DE2＝DB2+BE2＝9， OE2＝CO2+CE2＝16， ∴D的坐标为（1，2），E的坐标为（4，） ∴DO2+DE2＝OE2， ∴△ODE是直角三角形， ∵DO2＝5， ∴DO， ∵DE2， ∴DE， ∴△ODE的面积为：DO×DE， 故答案为：（1）①（4，2）；②＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$