第一章　直角三角形的边角关系 （测试题） 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第一章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数 第1课时　正切 1.如图，在平面直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tan α＝2，那么点A的坐标是（ ） A.（1，2） B.（2，1） C.（1，） D.（2，） 2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ） A. B. C. D.3 3.如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则tan∠1＝　 　. 4.（2024·西安雁塔区模拟）由全等的含60°角的小菱形组成的网格如图所示，每个小菱形的顶点都叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠ACB的值为 　. 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（不与点D，C重合），当MP＋PN的值最小时，tan∠MPN的值是　　　　. 第2课时　正弦和余弦 1.（2022·西安交大附中校考）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝5，E是AB边上的一点，连接DE，EC.若EC平分∠BED，则sin∠BCE的值为（ ） A. B. C. D. 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，作DE⊥AC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F.若AD∶DC＝3∶2，则sin A的值为　　 . 3.（2024·西安雁塔区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别为△ABC的高线和中线，AB＝4，AC＝3，则cos∠EAD的值为（ ） A. B. C. D. 4.（2021·西安碑林区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，已知AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，且F是AB的中点，连接DF，DE，FE.若△DEF的周长为10，则cos C的值为（ ） A. B. C. D. 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝2AC，AE＝2CD，AD，BE交于点F，则cos∠AFE的值为　　. 2　30°，45°，60° 角的三角函数值 1.（2022·西安三模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AB＝，OD＝1，则cos∠BOC的值为（ ） A. B. C. D. 2.（2023·榆林横山区三模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4.E，F，G，H分别为菱形四条边的中点，连接EF，FG，GH，HE，则＝　　 . 3　三角函数的计算 1.（1）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现.在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝＝. 类比这种方法，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到点D，使BD＝AB……请你补充完这种思路，计算tan 22.5°的值.（结果保留根号） （2）你能再给出一种数形结合的思路解答上题吗？画出图形，并写出步骤.（提示：利用顶角为45°的等腰三角形） 4　解直角三角形 1.（2024·西安校级四模）如图，在△ABC中，∠C＝45°，tan B＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为（ ） A. B.2 C. D. 2.（2023·西安校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为E，CD＝5，sin∠BCD＝. （1）求BC的长； （2）求∠ACB的正切值. 3.（2024·西安长安区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D，E为边BC上的两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°.若tan∠EAC＝，则BD＝　　. 1.（2024·西安校级模拟）我校科技节上，小孙所在的小组利用无人机完成了对某大厦的高度AB的测量工作.他们的实施过程如下：如图所示，小孙先控制无人机到达一定的高度D处，测得大厦底部的俯角为30°，随后他控制无人机垂直上升10米到达点C处，此时测得大厦顶部的仰角恰好也为30°，同时在C处测得大厦底部的俯角为45°.请你根据以上数据，求出大厦的高度AB.（结果保留根号） 2.（2024·西安校级二模）无人机在实际生活中的应用非常广泛.如图所示，某人利用无人机测大楼的高度BC，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为80米，测得C点的俯角为14°，控制无人机水平移动至点D处，测得AD＝21米，测得C点的俯角为31°，点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度BC.（tan 14°≈0.25，tan 31°≈0.6） 3.（2024·西安校级模拟）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物的高度，活动报告如下： 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图所示的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（点A，B，C，D在同一平面上，CD⊥AD于点D） ①建筑物CD前有一段斜坡AB，斜坡AB的坡度i＝1∶2.4； ②在斜坡AB的底部点A处测得建筑物顶点C的仰角为31°； ③斜坡AB的长为52米； ④在点B处测得建筑物顶点C的仰角为53° 步骤四：计算建筑物CD的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物CD的高度.（参考数据：tan 53°≈，tan 31°≈） 6　利用三角函数测高 1.（2024·西安校级模拟）某数学兴趣小组测量碑林博物馆院内的一棵古树（古树四周有栅栏）高度的报告如下： 活动目的 利用“阳光和标杆”测量古树的高度（古树底部不可到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图所示的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器、标杆 步骤三：实地测量并记录数据（DF是长1.8米的标杆，BC为古树AB落在地面上的影子，DE是同一时刻标杆DF落在地面上的影子） 项目 第一次 第二次 平均值 α 18.5° 19.3° 18.9° DC 5.85米 6.15米 a米 DE 3.1米 2.9米 3米 步骤四：计算古树的高度AB 请结合以上信息解答下列问题： （1）表格中a的值为　　； （2）请完成步骤四：计算古树的高度AB.（参考数据：sin α≈，cos α≈， tan α≈） 章末综合提升 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE.将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝　　 . 2.（2024·西安高新区模拟）2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者的“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图.若BC为1.1米，AB为 0.6米，∠BAD＝70°，∠ABC＝130°，求此时舞者的垂直高度CD约为多少米.（参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，结果精确到0.01米） 　　　 3.（2024·西安校级模拟）如图1，某人的一个器官后面的A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离.为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定了一个方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.具体方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN 测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm 请你根据上表中的测量数据，计算新生物到皮肤的距离.（结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.7，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.4） 4.（2024·榆林府谷三模）数学课题研究小组针对所在城市的住房窗户“如何设计遮阳棚”这一课题进行了探究，过程如下： [问题提出] 某住户窗户上安装的遮阳棚如图1所示，要求设计的遮阳棚既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. [方案设计] 如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳棚CD. [数据收集] 通过查阅相关资料和实际测量，该市夏至日这一天的正午时刻的太阳光线DA与遮阳棚CD的夹角∠ADC最大，且最大角∠ADC＝75°，冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳棚CD的夹角∠BDC最小，且最小角∠BDC＝35°. [问题解决] （1）若只要求设计的遮阳棚能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD＝1 m时，AC的长约为　　； （2）要求设计的遮阳棚既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，当AB＝1.8 m时，根据上述方案及数据，求遮阳棚CD的长. （结果精确到0.1 m.参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.7） 5.（2024·渭南大荔一模）某校数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】小组成员讨论后设计测量方案，画出两种测量方案的图形，如图1、图2所示. 【步骤二】准备测量工具镜子、皮尺和测倾器，如图3所示.皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点之间的距离；测倾器（由度盘、铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角. 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线l⊥AD，∠1＝∠2）.如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下. 测量过程：小明将镜子放在距离旗杆AB底部a m的点C处，然后看着镜子沿直线AC来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得CD＝b m，小明的眼睛距离地面的高度DE＝c m. 求解过程：由测量知，AC＝a m，CD＝b m，DE＝c m. ∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠BCA＝∠ECD. ∵①　 　，∴△ABC∽△DEC， ∴＝，即＝，∴AB＝②　　m. 故旗杆的高度为……m. 方案二：如图2，小亮在点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角∠BEC＝32°，量出点D到旗杆的距离AD＝18 m，量出测倾器的高度DE＝1.68 m. 　　　　 （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625）. 第 1 页 共 55 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数 第1课时　正切 1.如图，在平面直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tan α＝2，那么点A的坐标是（ A ） A.（1，2） B.（2，1） C.（1，） D.（2，） 2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC＝1∶2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ C ） A. B. C. D.3 3.如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则tan∠1＝　1　. 提示：如图，平移AB至CE，连接DE，则tan∠1＝tan∠DCE. 4.（2024·西安雁塔区模拟）由全等的含60°角的小菱形组成的网格如图所示，每个小菱形的顶点都叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠ACB的值为 　. 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（不与点D，C重合），当MP＋PN的值最小时，tan∠MPN的值是　　　　. 提示：如图，作点N关于直线CD的对称点N'，连接MN'，交CD于点P，此时MP＋PN的值最小. 第2课时　正弦和余弦 1.（2022·西安交大附中校考）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝5，E是AB边上的一点，连接DE，EC.若EC平分∠BED，则sin∠BCE的值为（ A ） A. B. C. D. 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，作DE⊥AC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F.若AD∶DC＝3∶2，则sin A的值为　　. 3.（2024·西安雁塔区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别为△ABC的高线和中线，AB＝4，AC＝3，则cos∠EAD的值为（ D ） A. B. C. D. 4.（2021·西安碑林区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，已知AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，且F是AB的中点，连接DF，DE，FE.若△DEF的周长为10，则cos C的值为（ C ） A. B. C. D. 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝2AC，AE＝2CD，AD，BE交于点F，则cos∠AFE的值为　　. 提示：如图，过点D作DM⊥AD，过点B作BM⊥BC交DM于点M，连接AM.先证明△ACD∽△DBM，得到DM＝2AD，BM＝AE，进而证明四边形AEBM是平行四边形，得到∠AFE＝∠DAM.再根据勾股定理得到AM＝AD，即可得到cos∠AFE＝cos∠DAM＝＝. 2　30°，45°，60° 角的三角函数值 1.（2022·西安三模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AB＝，OD＝1，则cos∠BOC的值为（ D ） A. B. C. D. 2.（2023·榆林横山区三模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4.E，F，G，H分别为菱形四条边的中点，连接EF，FG，GH，HE，则＝　　. 3　三角函数的计算 1.（1）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现.在计算tan 15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝＝. 类比这种方法，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到点D，使BD＝AB……请你补充完这种思路，计算tan 22.5°的值.（结果保留根号） 解：如图， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到点D， 使BD＝AB，则∠ABC＝45°，∠ADB＝22.5°. 设AC＝BC＝a，∴AB＝＝＝a， ∴BD＝AB＝a，∴CD＝BC＋BD＝a＋a＝（＋1）a. 在Rt△ACD中，tan∠ADC＝＝＝－1，即tan 22.5°＝－1. （2）你能再给出一种数形结合的思路解答上题吗？画出图形，并写出步骤.（提示：利用顶角为45°的等腰三角形） 解：如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝AC，CD⊥AB，则∠DCB＝22.5°. 设AD＝x，则CD＝x，AC＝x，此时AB＝x，∴DB＝（－1）x， ∴tan∠DCB＝＝＝－1，即tan 22.5°＝－1. 4　解直角三角形 1.（2024·西安校级四模）如图，在△ABC中，∠C＝45°，tan B＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为（ B ） A. B.2 C. D. 2.（2023·西安校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为E，CD＝5，sin∠BCD＝. （1）求BC的长； （2）求∠ACB的正切值. 解：（1）∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，∴sin∠BCD＝＝＝，∴DE＝3.∵CD＝5，DE＝3，∴CE＝＝4.∵∠B＝45°，∴BE＝DE＝3，∴BC＝BE＋CE＝3＋4＝7. （2）如图，过点A作AF⊥BC于点F，则DE∥AF. ∵DE∥AF，D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴E是BF的中点，AF＝2DE. 由（1），知DE＝BE＝3，∴AF＝6，BF＝6，∴CF＝BC－BF＝1，∴tan∠ACB＝＝6. 3.（2024·西安长安区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D，E为边BC上的两点（点D在点E的左侧），且∠DAE＝45°.若tan∠EAC＝，则BD＝　1　. 提示： 解法1：如图，过点A作AH⊥BC于点H.根据等腰直角三角形的性质可得∠CAH＝45°，AH＝BH＝BC＝4.再证明∠DAH＝∠EAC，根据三角函数的定义求出DH，即可求出BD. 解法2：如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G.将△ABD绕点A逆时针旋转90°至AB与AC重合，得到△ACF，连接EF，则△ABD≌△ACF，△ADE≌△AFE（SAS），可得BD＝CF，DE＝FE.解三角形AEC求出CE，在直角三角形ECF中，利用勾股定理列方程，即可求解. 5　三角函数的应用 1.（2024·西安校级模拟）我校科技节上，小孙所在的小组利用无人机完成了对某大厦的高度AB的测量工作.他们的实施过程如下：如图所示，小孙先控制无人机到达一定的高度D处，测得大厦底部的俯角为30°，随后他控制无人机垂直上升10米到达点C处，此时测得大厦顶部的仰角恰好也为30°，同时在C处测得大厦底部的俯角为45°.请你根据以上数据，求出大厦的高度AB.（结果保留根号） 解：如图，由题意可知∠DBE＝30°，CD＝10米，∠CBE＝45°，∠CEB＝90°， ∴△CBE是等腰直角三角形，∴CE＝BE，∴四边形CEBF是正方形，∴CE＝BE＝BF＝CF. 设DE＝x米，则CE＝BE＝CD＋DE＝（x＋10）米.∵∠DBE＝30°，∴BE＝DE＝x米， ∴x＋10＝x，解得x＝5（＋1），∴CE＝BE＝CF＝BF＝（15＋5）米. ∵∠ACF＝30°，∴AF＝CF＝（15＋5）＝（5＋5）米， ∴AB＝BF＋AF＝15＋5＋5＋5＝（20＋10）米. 答：大厦的高度AB为（20＋10）米. 2.（2024·西安校级二模）无人机在实际生活中的应用非常广泛.如图所示，某人利用无人机测大楼的高度BC，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为80米，测得C点的俯角为14°，控制无人机水平移动至点D处，测得AD＝21米，测得C点的俯角为31°，点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度BC. （tan 14°≈0.25，tan 31°≈0.6） 　　　　　　 解：如图，延长BC交AD的延长线于点E. 根据题意，得BE＝80米，∠CAE＝14°，∠CDE＝31°，∠AEC＝90°. 在Rt△ACE中，CE＝AE·tan∠CAE＝（21＋DE）·tan 14°≈0.25（21＋DE）， 在Rt△CDE中，CE＝DE·tan∠CDE＝DE·tan 31°≈0.6DE， ∴0.25（21＋DE）≈0.6DE，解得DE≈15（米），∴CE≈0.6×15＝9（米）， ∴BC＝BE－CE≈80－9＝71（米）. 答：大楼的高度BC约为71米. 3.（2024·西安校级模拟）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物的高度，活动报告如下： 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图所示的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（点A，B，C，D在同一平面上，CD⊥AD于点D） ①建筑物CD前有一段斜坡AB，斜坡AB的坡度i＝1∶2.4； ②在斜坡AB的底部点A处测得建筑物顶点C的仰角为31°； ③斜坡AB的长为52米； ④在点B处测得建筑物顶点C的仰角为53° 步骤四：计算建筑物CD的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物CD的高度.（参考数据：tan 53°≈， tan 31°≈） 解：如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F. 由题意，得BE＝DF，BF＝DE.∵斜坡AB的坡度i＝1∶2.4，∴＝＝， ∴设BE＝5x米，则AE＝12x米. 在Rt△ABE中，AB＝＝＝13x（米）. ∵AB＝52米，∴13x＝52，解得x＝4，∴AE＝48米，BE＝DF＝20米. 设BF＝DE＝y米，∴AD＝AE＋DE＝（48＋y）米. 在Rt△ADC中，∠CAD＝31°，∴CD＝AD·tan 31°≈（48＋y）米. 在Rt△BCF中，∠CBF＝53°，∴CF＝BF·tan 53°≈y（米）. ∵CF＋DF＝CD，∴y＋20≈（48＋y），解得y≈12， ∴CD≈（48＋y）≈36（米），∴建筑物CD的高度约为36米. 6　利用三角函数测高 1.（2024·西安校级模拟）某数学兴趣小组测量碑林博物馆院内的一棵古树（古树四周有栅栏）高度的报告如下： 活动目的 利用“阳光和标杆”测量古树的高度（古树底部不可到达） 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图所示的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器、标杆 步骤三：实地测量并记录数据（DF是长1.8米的标杆，BC为古树AB落在地面上的影子，DE是同一时刻标杆DF落在地面上的影子） 项目 第一次 第二次 平均值 α 18.5° 19.3° 18.9° DC 5.85米 6.15米 a米 DE 3.1米 2.9米 3米 步骤四：计算古树的高度AB 请结合以上信息解答下列问题： （1）表格中a的值为　6　； （2）请完成步骤四：计算古树的高度AB.（参考数据：sin α≈，cos α≈， tan α≈） 解：（2）如图，过点F作FH⊥AB于点H，则四边形BDFH是矩形， ∴HF＝BD，BH＝DF＝1.8米. 设AH＝x米.∵tan α＝＝≈，∴BC≈（米）. ∵△ABC∽△FDE，∴＝，∴≈，∴x≈7.2， ∴AB＝AH＋BH≈7.2＋1.8＝9（米）. 答：古树的高度AB约为9米. 章末综合提升 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE.将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝　　 . 提示： 解法1：如图，过点E作EH⊥CF于点H.由折叠的性质，得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA. 由E是BC的中点，得到CE＝BE，得到△EFC是等腰三角形.根据等腰三角形的性质得到∠FEH＝∠CEH，所以AE⊥EH，推出△ABE∽△EHC，求得EH＝，进而可得sin∠ECF＝＝. 解法2：可以证明∠ECF＝∠AEB，求出AE＝10，进而可得sin∠ECF＝sin∠AEB＝. 2.（2024·西安高新区模拟）2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者的“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图.若BC为1.1米，AB为 0.6米，∠BAD＝70°，∠ABC＝130°，求此时舞者的垂直高度CD约为多少米.（参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，结果精确到0.01米） 　　　 解：如图，过点B作BF⊥CD于点F， 作BE⊥AD于点E. ∵∠BAD＝70°，BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠ABE＝90°－∠BAD＝20°，∠EBF＝90°， ∴∠CBF＝130°－20°－90°＝20°，四边形BEDF为矩形， ∴BE＝DF. 在Rt△ABE中，∠ABE＝20°，AB＝0.6米， ∴BE＝AB·cos∠ABE≈0.6×0.94＝0.564（米）. 同理可得CF＝BC·sin∠CBF≈1.1×0.34＝0.374（米）， ∴CD＝CF＋DF＝CF＋BE≈0.374＋0.564≈0.94（米）. 答：此时舞者的垂直高度CD约为0.94米. 3.（2024·西安校级模拟）如图1，某人的一个器官后面的A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离.为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定了一个方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.具体方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9 cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN 测量数据 ∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9 cm 请你根据上表中的测量数据，计算新生物到皮肤的距离.（结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.7，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.4） 解：如图，过点A作AF⊥MN，垂足为F. 设BF＝x cm. ∵BC＝9 cm， ∴CF＝BC＋BF＝（x＋9）cm. 在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°， ∴AF＝BF·tan 35°≈0.7x cm， 在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°， ∴AF＝CF·tan 22°≈0.4（x＋9）cm， ∴0.7x≈0.4（x＋9），解得x≈12， ∴AF≈0.7x≈8.4 cm， ∴新生物到皮肤的距离约为8.4 cm. 4.（2024·榆林府谷三模）数学课题研究小组针对所在城市的住房窗户“如何设计遮阳棚”这一课题进行了探究，过程如下： [问题提出] 某住户窗户上安装的遮阳棚如图1所示，要求设计的遮阳棚既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. [方案设计] 如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳棚CD. [数据收集] 通过查阅相关资料和实际测量，该市夏至日这一天的正午时刻的太阳光线DA与遮阳棚CD的夹角∠ADC最大，且最大角∠ADC＝75°，冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳棚CD的夹角∠BDC最小，且最小角∠BDC＝35°. [问题解决] （1）若只要求设计的遮阳棚能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当CD＝1 m时，AC的长约为　3.7 m　； （2）要求设计的遮阳棚既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，当AB＝1.8 m时，根据上述方案及数据，求遮阳棚CD的长. （结果精确到0.1 m.参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.7） 解：（1）由题意，得DC⊥AC. 在Rt△ACD中，∠ADC＝75°，CD＝1 m， ∴AC＝CD·tan 75°≈1×3.73≈3.7（m），故答案为3.7 m. （2）在Rt△ACD中，∠ADC＝75°，∴AC＝CD·tan 75°≈3.73CD. 在Rt△BCD中，∠BDC＝35°，∴BC＝CD·tan 35°≈0.7CD. ∵AC－BC＝AB，∴3.73CD－0.7CD≈1.8，解得CD≈0.6（m）， ∴遮阳棚CD的长约为0.6 m. 5.（2024·渭南大荔一模）某校数学兴趣小组测量校内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】小组成员讨论后设计测量方案，画出两种测量方案的图形，如图1、图2所示. 【步骤二】准备测量工具镜子、皮尺和测倾器，如图3所示.皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点之间的距离；测倾器（由度盘、铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角. 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线l⊥AD，∠1＝∠2）.如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下. 测量过程：小明将镜子放在距离旗杆AB底部a m的点C处，然后看着镜子沿直线AC来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得CD＝b m，小明的眼睛距离地面的高度DE＝c m. 求解过程：由测量知，AC＝a m，CD＝b m，DE＝c m. ∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠BCA＝∠ECD. ∵①　∠BAC＝∠EDC＝90°　，∴△ABC∽△DEC， ∴＝，即＝，∴AB＝②　　m. 故旗杆的高度为……m. 方案二：如图2，小亮在点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角∠BEC＝32°，量出点D到旗杆的距离AD＝18 m，量出测倾器的高度DE＝1.68 m. 　　　　 （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625）. 解：（2）∵AB⊥AD，AB⊥CE，DE⊥AD， ∴∠DAC＝∠ACE＝∠ADE＝90°， ∴四边形ACED是矩形， ∴CE＝AD＝18 m，AC＝DE＝1.68 m. 在Rt△CBE中，∠BEC＝32°， ∴CB＝CE·tan 32°≈18×0.625＝11.25（m）， ∴AB＝AC＋CB≈1.68＋11.25≈12.9（m）. 答：旗杆的高度约为12.9 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$