7.4.1 二项分布-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评word（人教A版2019）

7．4　二项分布与超几何分布 7．4．1　二项分布 知识点一　n重伯努利试验的概率 1．任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为P＝C××＝． 2．某批电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)＝(　　) A．C×× B．C×× C．× D．× 答案　C 解析　{X＝3}表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率是×． 知识点二　二项分布的概率及分布列 3．已知随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝________． 答案　 解析　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．所以P(X＝3)＝C××＝． 4．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为________． 答案　 解析　记甲以3∶0获胜为事件A，甲以3∶1获胜为事件B，则A，B互斥，且P(A)＝＝，P(B)＝C×××＝，所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为P(A＋B)＝＋＝． 5．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0．9．求发生险情时，下列事件的概率： (1)3台都未报警； (2)恰有1台报警； (3)恰有2台报警； (4)3台都报警； (5)至少有2台报警； (6)至少有1台报警． 解　令X为在发生险情时3台报警器中报警的台数，那么X～B(3，0．9)，则它的分布列为P(X＝k)＝C0．9k(1－0．9)3－k(k＝0，1，2，3)． (1)3台都未报警的概率为 P(X＝0)＝C×0．90×0．13＝0．001． (2)恰有1台报警的概率为 P(X＝1)＝C×0．91×0．12＝0．027． (3)恰有2台报警的概率为 P(X＝2)＝C×0．92×0．1＝0．243． (4)3台都报警的概率为 P(X＝3)＝C×0．93×0．10＝0．729． (5)至少有2台报警的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0．243＋0．729＝0．972． (6)至少有1台报警的概率为 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0．001＝0．999． 6．某学校食堂为同学们提供了A，B两种套餐，经过前期调研，食堂每天备餐时A，B两种套餐的配餐比例为3∶1．为保证套餐的分量充足，后勤会对每天的套餐的重量进行抽查，假定每个套餐的包装没有区分，被抽查的可能性相同． (1)若每天抽查5份套餐，求抽取的5份套餐中有3份是B套餐的概率； (2)某天配餐后，食堂管理人员怀疑B套餐中配菜有误，需要从所有的套餐中挑出一份B套餐查看．如果抽到的是A套餐，则放回备餐区，继续抽取下一份；如果抽到的是B套餐，则抽样结束．规定抽取次数不超过n(n∈N*)．假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中A，B两种套餐的比例．记抽样结束时抽到的A套餐的份数为X，求X的分布列． 解　(1)依题意，随机地抽取一份套餐是B套餐的概率为． 用ζ表示“抽取的5份套餐中B套餐的份数”，则ζ服从二项分布，即ζ～B． 所以抽取的5份套餐中有3份是B套餐的概率P＝C××＝． (2)X的所有可能取值为0，1，2，…，n． P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，…，P(X＝n－1)＝×＝，P(X＝n)＝． 所以X的分布列为 X 0 1 2 … n－1 n P … 知识点三　二项分布的均值与方差 7．随机变量X～B，则E(2X＋3)＝(　　) A． B． C．3 D． 答案　D 解析　∵X～B，∴E(X)＝4×＝，E(2X＋3)＝2×＋3＝． 8．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意，知X～B，∴D(X)＝3××＝． 9．[多选]设火箭发射失败的概率为0．01，若发射10次，其中失败的次数为X，则(　　) A．E(X)＝0．1 B．P(X＝k)＝0．01k×0．9910－k C．D(X)＝0．99 D．P(X＝k)＝C×0．01k×0．9910－k 答案　AD 解析　∵X～B(10，0．01)，∴E(X)＝10×0．01＝0．1，D(X)＝10×0．01×0．99＝0．099，P(X＝k)＝C×0．01k×0．9910－k．故选AD． 10．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、均值E(X)及方差D(X)． 解　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”． 因此P(A1)＝(0．006＋0．004＋0．002)×50＝0．6， P(A2)＝0．003×50＝0．15， P(B)＝0．6×0．6×0．15×2＝0．108． (2)X的可能取值为0，1，2，3，相应的概率为 P(X＝0)＝C×(1－0．6)3＝0．064， P(X＝1)＝C×0．6×(1－0．6)2＝0．288， P(X＝2)＝C×0．62×(1－0．6)＝0．432， P(X＝3)＝C×0．63＝0．216， 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0．064 0．288 0．432 0．216 因为X～B(3，0．6)，所以均值E(X)＝3×0．6＝1．8，方差D(X)＝3×0．6×(1－0．6)＝0．72． 一、选择题 1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　) A．0．648 B．0．432 C．0．36 D．0．312 答案　A 解析　这是一个3重伯努利试验，该同学通过测试的概率为P＝C×0．62×0．4＋0．63＝0．648． 2．若随机变量X～B(n，0．4)，且E(X)＝2，则P(X＝1)的值是(　　) A．3×0．44 B．2×0．45 C．3×0．64 D．2×0．64 答案　D 解析　因为随机变量X～B(n，0．4)，所以E(X)＝0．4n＝2，解得n＝5，所以随机变量X～B(5，0．4)，所以P(X＝1)＝C(1－0．4)4×0．41＝2×0．64．故选D． 3．技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子．经过大量试验，每个试验组不发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率p＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意可知，每个坑不发芽的概率为1－p，设每个试验组不发芽的坑数为X，则X～B(3，1－p)，故3(1－p)＝，解得p＝．故选C． 4．已知随机变量X～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则E(X)＋D(X)＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　因为X～B(4，p)，P(X≥1)＝，所以P(X＝0)＝1－＝，所以Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，所以p＝，所以E(X)＝，D(X)＝×＝，所以E(X)＋D(X)＝＋＝．故选C． 5．[多选]为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品能销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则下列说法正确的是(　　) A．该产品能销售的概率为 B．若Y表示一箱产品中可以销售的件数，则Y～B C．若Y表示一箱产品中可以销售的件数，则P(Y＝3)＝ D．P(X＝－80)＝ 答案　ABD 解析　对于A，该产品能销售的概率为×＝，故A正确；对于B，由A可得每件产品能销售的概率为，一箱中有4件产品，则Y～B，故B正确；对于C，由题意得P(Y＝3)＝C××＝，故C不正确；对于D，由题意X＝－80，即4件产品中有2件能销售，有2件不能销售，所以P(X＝－80)＝C××＝，故D正确．故选ABD． 二、填空题 6．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率都为，若随机变量X表示同时打开的水龙头的个数，则P(X＝3)＝________． 答案　0．0081 解析　由题意知X～B，则P(X＝3)＝C××＝0．0081． 7．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝__________． 答案　 解析　∵＝P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2⇒p＝，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－(1－p)3＝． 8．英语考试有100道单选题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，则甲在这次测验中得分的均值为________，乙在这次测验中得分的均值为________． 答案　40　85 解析　设甲和乙不会的题得分分别为随机变量X和Y，由题意知X～B(80，0．25)，Y～B(20，0．25)，E(X)＝80×0．25＝20，E(Y)＝20×0．25＝5．故甲、乙在这次测验中得分的均值分别为40和85． 三、解答题 9．一批玉米种子，其发芽率是0．8． (1)若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率； (2)问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg 2≈0．3010) 解　记事件A为“种一粒种子，发芽”， 则P(A)＝0．8，P()＝1－0．8＝0．2． (1)∵每穴种3粒相当于3重伯努利试验， ∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为P＝C×0．82×0．2＝0．384． (2)设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．发芽的粒数为X． ∵每穴种n粒相当于n重伯努利试验，记事件B为“每穴至少有一粒发芽”，则P()＝P(X＝0)＝C×0．80×0．2n＝0．2n． ∴P(B)＝1－P()＝1－0．2n． 由题意，令P(B)>98%，得0．2n<0．02，两边取常用对数得， nlg 0．2<lg 0．02．即n(lg 2－1)<lg 2－2， ∴n>≈≈2．43， 又n∈N，∴n≥3． ∴每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． 10．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到有筛选功能的黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，． (1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率； (2)在容器的入口处依次放入4个小球，记X为落入B袋中的小球的个数，求X的分布列、数学期望和方差． 解　(1)设事件M为“小球落入A袋”，事件N为“小球落入B袋”， 则P(M)＝××＋××＝， 从而P(N)＝1－P(M)＝1－＝． (2)易知X～B， 则X的分布列为P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4)，即 X 0 1 2 3 4 P E(X)＝4×＝， D(X)＝4××＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$