8.1.2 样本相关系数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第八章　成对数据的 统计分析 8.1　成对数据的统计相关性 8.1.2　样本相关系数 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　样本相关系数的性质 1．关于两个变量x，y与其线性相关系数r，有下列说法： ①若r>0，则x增大时，y通常也相应增大；②若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；③若r＝1或r＝－1，则x与y有函数关系，在散点图上各个散点均在一条直线上．其中说法正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析　根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱；|r|＝1时，x与y有函数关系，故①②③正确． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 4 2．下列现象中线性相关程度最强的是(　　) A．商店的职工人数与商品销售额之间的线性相关系数为0．87 B．流通费用率与商业利润率之间的线性相关系数为－0．94 C．商品销售额与商业利润率之间的线性相关系数为0．51 D．商品销售额与流通费用率之间的线性相关系数为－0．70 解析　线性相关系数r的绝对值越接近于1，两个变量间的线性相关程度越强． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 5 3．[多选]某统计部门对两组成对样本数据进行统计分析后，获得如下散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是(　　) A．r2<0<r1 B．r1<0<r2 C．|r2|<|r1| D．|r2|＝|r1| 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 6 解析　由散点图可知，图1两变量是正相关，图2两变量是负相关，且图1两变量比图2两变量线性相关程度强，所以r2<0<r1，|r2|<|r1|．故选AC． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 7 知识点二　样本相关系数的计算及应用 4．为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程度(　　) A．很强 B．很弱 C．无相关 D．不确定 x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 8 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 9 5．某运动员训练次数x与运动成绩y之间的数据关系如下： 根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． x 30 33 35 37 39 44 46 50 y 30 34 37 39 42 46 48 51 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 10 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 11 6．某种产品的广告支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据： (1)画出散点图； (2)请推断销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征． x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 12 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 13 30分钟综合练 一、选择题 1．若变量y与x之间的相关系数为r＝－0．9362，则变量y与x之间(　　) A．不具有线性相关关系 B．具有线性相关关系 C．y随x的增大而增大 D．不确定 解析　由r＝－0．9362可知y与x具有较强的线性相关关系，且y与x负相关． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 相关系数r －0．98 0．80 0．50 －0．25 2．研究两个变量y与x的相关关系，分别计算了4组数据的相关系数r(如下表所示)，其中相关程度最强的是(　　) A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组 解析　样本相关系数的绝对值|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 解析　因为r>0，即x与y正相关，所以平移后大多数的点都落在第一、三象限． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 4．如图(1)，(2)，(3)分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为(　　) A．r3<r2<r1 B．r2<r3<r1 C．r3<r1<r2 D．r1<r3<r2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 解析　由散点图(1)可得，变量x与变量y之间呈现正相关，所以r1>0；由散点图(2)可得，变量x与变量y之间呈现负相关，所以r2<0；由散点图(3)可得，变量x与变量y之间不相关，所以r3＝0，所以r2<r3<r1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 5．[多选]为了对变量x与y的线性相关性进行检验，由样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得两个变量的样本相关系数为r，下列说法中错误的是(　　) A．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝1 B．若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，则r＝－2 C．若|r|越大，则变量x与y的线性相关性越强 D．若|r|越小，则变量x与y的线性相关性越强 解析　若所有样本点都在直线y＝－2x＋1上，直线的斜率为负数，则r＝－1，故A，B均错误；若|r|越大，则变量x与y的线性相关性越强，故C正确，D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 二、填空题 6．对两个变量x，y进行线性相关检验，得相关系数r1＝0．7895，对变量x，z进行线性相关检验，得r2＝0．9321，则x与_______的线性相关性较强． 解析　|r|越接近于1，线性相关程度越强． z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 7．如图，在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若去掉样本点B，则这组样本数据的样本相关系数变________(填“大”或“小”)． 解析　由散点图可知，变量x与y具有线性相关关系，且负相关，则其样本相关系数r1<0，去掉样本点B后，线性相关程度变强，记其样本相关系数为r2，则|r1|<|r2|<1，又r1<0，r2<0，所以－1<r2<r1，所以样本数据的相关系数会变小． 小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 8．某10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)： 根据上表资料计算的相关系数约为________(精确到0．01)． 固定资产价值x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10 工业增加值y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45 0．99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 三、解答题 9．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系． 机动车辆数x/千辆 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y/千件 6．2 7．5 7．7 8．5 8．7 9．8 10．2 13．0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 10．小家电指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位：千亿元)，其中年份对应的代码依次为1～5． 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y/千亿元 1．30 1．40 1．62 1．68 1．80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 　　　　　　　　　　　　　 R 解析　eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))xi＝75，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))yi＝543，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝1375，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))xiyi＝8285，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝59051，eq \o(x,\s\up12(－))＝15，eq \o(y,\s\up12(－))＝108．6，r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))x－5\o(x,\s\up12(－))2)\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5\o(y,\s\up12(－))2)) ＝eq \f(8285－5×15×108.6,\r(1375－5×152)×\r(59051－5×108.62)) ≈0．9826，故相关程度很强． 解析　作出该运动员训练次数(x)与运动成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系． 计算可得eq \o(x,\s\up12(－))＝39．25，eq \o(y,\s\up12(－))＝40．875，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝12656，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝13731，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))xiyi＝13180，所以 r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))xiyi－8\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))x－8\o(x,\s\up12(－))2)\r(\o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)－8\o(y,\s\up12(－))2)) ＝eq \f(13180－8×39.25×40.875,\r(12656－8×39.252)×\r(13731－8×40.8752))≈0．99． 由此可得它们的相关程度很强． 解　(1)根据表中所列数据可得散点图如下： (2)由散点图可得，销售额与广告支出正线性相关．计算得eq \o(x,\s\up12(－))＝5，eq \o(y,\s\up12(－))＝50，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝145，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝13500，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))xiyi＝1380． 所以r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))x－5\o(x,\s\up12(－))2)\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)－5\o(y,\s\up12(－))2)) ＝eq \f(1380－5×5×50,\r(145－5×52)×\r(13500－5×502))≈0．92． 由此可得销售额与广告支出之间的相关程度很强，销售额与广告支出有相同的变化趋势． 3．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r>0，平移坐标系，则在以(eq \o(x,\s\up12(－))，eq \o(y,\s\up12(－)))为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在(　　) A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 解析　由表中数据计算可得eq \o(x,\s\up12(－))＝6．6，eq \o(y,\s\up12(－))＝31．5，eq \o(∑,\s\up12(10),\s\do10(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝490，eq \o(∑,\s\up12(10),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝10877，eq \o(∑,\s\up12(10),\s\do10(i＝1))xiyi＝2305，则r＝2,i)eq \f(\o(∑,\s\up12(10),\s\do10(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up12(－))\o(y,\s\up12(－)),\r(\o(∑,\s\up12(10),\s\do10(i＝1))x－10\o(x,\s\up12(－))2)\r(\o(∑,\s\up12(10),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)－10\o(y,\s\up12(－))2)) ≈0．99． 解　计算可得eq \o(x,\s\up12(－))＝128．875，eq \o(y,\s\up12(－))＝8．95，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))xiyi＝9611．7，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))xeq \o\al(2,i)＝137835，eq \o(∑,\s\up12(8),\s\do10(i＝1))yeq \o\al(2,i)＝671， 则r＝eq \f(9611.7－8×128.875×8.95,\r((137835－8×128.8752)×(671－8×8.952)))≈0．99． 因为r接近于1，所以交通事故数y与机动车辆数x有较强的线性相关关系． 由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明(若|r|≥0．75，则线性相关程度较高，r精确到0．01)． 参考公式和数据：样本相关系数r=eq \f(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) (xi－\o(x,\s\up12(－)))(yi－\o(y,\s\up12(－))),\r(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) (xi－\o(x,\s\up12(－)))2)\r(\o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1)) (yi－\o(y,\s\up12(－)))2))，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up12(－)))(yi－eq \o(y,\s\up12(－)))＝1．28，eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) (yi－eq \o(y,\s\up12(－)))2≈0．17，eq \r(1.7)≈1．3． 解　由表知x的平均数为eq \o(x,\s\up12(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3， 所以eq \o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up12(－)))2＝(1－3)2＋(2－3)2＋…＋(5－3)2＝10， r＝eq \f(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) (xi－\o(x,\s\up12(－)))(yi－\o(y,\s\up12(－))),\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) (xi－\o(x,\s\up12(－)))2)\r(\o(∑,\s\up12(5),\s\do10(i＝1)) (yi－\o(y,\s\up12(－)))2))≈eq \f(1.28,\r(10)×\r(0.17))＝eq \f(1.28,\r(1.7))≈eq \f(1.28,1.3)≈0．98， 因为y与x的相关系数近似为0．98，说明y与x的线性相关程度较高，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系． $$