6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第六章　计数原理 6.1　分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 第2课时　两个计数原理的综合应用 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　组数问题 1．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25 B．20 C．16 D．12 解析　分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 4 2．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为(　　) A．81 B．48 C．36 D．24 解析　根据题意，数字3至多出现一次，分两种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32个．故可以组成16＋32＝48个四位数．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 5 3．[多选]由0，1，2，3，5组成无重复数字的五位数的偶数，则下列说法正确的是(　　) A．若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数 B．若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数 C．若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数 D．总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 6 解析　若五位数的个位数是0，则共有4×3×2×1＝24个无重复数字的五位数的偶数，故A正确；若五位数的个位数是2，则0必须在十位、百位、千位中任选一位，有3种选法，那么剩下的数就可以任意排列，共有3×3×2×1＝18个无重复数字的五位数的偶数，故B正确，C错误；由A，B可知，总共可组成24＋18＝42个无重复数字的五位数的偶数，故D错误．故选AB． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7 知识点二　分配问题 4．高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践(每个班只能去一个工厂)，其中甲工厂必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　) A．360种 B．420种 C．369种 D．396种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 8 解析　解法一：(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种；第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16种；第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96种；第四类，有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256种．综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369种． 解法二：(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即有5×5×5×5－4×4×4×4＝369种不同的分配方案． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 9 5．某校高一年级共有四个班，有四位老师各教一个班的数学．在某次数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析　设四个班分别是A，B，C，D，它们的数学老师分别是a，b，c，d．让a老师先选，可从B，C，D中选一个，有3种选法．若a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法；若a老师选的是C，则先让c老师从剩下的三个班级中任选一个，也有3种选法；若a老师选的是D，同理．最后剩下的两位老师都只有1种选法．由分步乘法计数原理，知共有3×3×1×1＝9种安排监考的方法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 10 知识点三　几何问题 6．[多选]已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则下列结论正确的是(　　) A．P可表示平面上36个不同的点 B．P可表示平面上6个第二象限的点 C．P可表示平面上30个不在直线y＝x上的点 D．P可表示平面坐标轴上10个不同的点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 解析　分两步，a有6种选法，b也有6种选法，所以P可表示平面上6×6＝36个不同的点，A正确；由a<0，b>0且a，b∈M可知，a有3种选法，b有2种选法，所以P可表示平面上3×2＝6个第二象限的点，B正确；由P不在直线y＝x上可知a≠b，又a，b∈M，则a有6种选法，b有5种选法，所以P可表示平面上6×5＝30个不在直线y＝x上的点，C正确；当a＝b＝0时，P(0，0)在坐标轴上．当a，b不同时为0时，若P(a，b)在横轴上，则b＝0，此时a有5种选法，若P(a，b)在纵轴上，则a＝0，此时b有5种选法，所以P(a，b)可表示平面坐标轴上11个不同的点，D错误．故选ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 12 7．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有_____条． 解析　因为直线经过坐标原点，所以C＝0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数A，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B，有5种方法，由分步乘法计数原理，得符合条件的直线共有1×6×5＝30条． 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 13 知识点四　涂色(种植)问题 8．如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8 同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有(　　) A．360种 B．720种 C．780种 D．840种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 14 解析　因为2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，所 以只需确定1，2，3，4，5这5个区域的颜色．先确定区域1，有6 种不同的颜色可选择；再确定区域2，有5种不同的颜色可选择； 再确定区域3，有4种不同的颜色可选择；再确定区域4，与区域2 颜色不同，则有3种不同的颜色可选择；最后确定区域5，与区域3颜色不同，则有2种不同的颜色可选择．所以由分步乘法计数原理可得，共有6×5×4×3×2＝720种涂色方法．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 15 9．给一个凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但相邻边的颜色不同，则不同的染色方法有_____种． 解析　如图，染边1时有3种染法，染边2时有2种染法． (1)当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法， 边5有1种染法，此时染法有3×2×1×2×1＝12种． (2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时染法有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18种． 由分类加法计数原理，可得不同的染色方法有12＋18＝30种． 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 16 10．如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由8块相同的区域组成的，用7种颜色分别涂在伞蓬的8块区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有______种． 解析　分步进行，如图，对8个区域进行编号，任选一组相对区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7×6×5×4×3×2×1＝5040种，又1与5，2与6，3与7，4与8相对，即重复涂色2次，故不同的颜色图案的此类太阳伞至多有5040÷2＝2520种． 2520 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 17 30分钟综合练 一、选择题 1．某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有(　　) A．180种 B．56种 C．29种 D．15种 解析　从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×3＝9种方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有5×4＝20种方案，根据分步乘法计数原理，共有9×20＝180种不同的选派方案．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 2．已知点P(x，y)，其中x∈{1，2，－3}，y∈{4，－5，6，－7}，则在平面直角坐标系中，点P为第一、三象限不同点的个数为(　　) A．4 B．8 C．6 D．12 解析　若点P为第一象限的点，共有2×2＝4个；若点P为第三象限的点，共有1×2＝2个．所以所求的不同点的个数为4＋2＝6． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 3．五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有(　　) A．60种 B．40种 C．20种 D．10种 解析　设五名护士分别为A，B，C，D，E．其中两人拿到自己的外衣，可能是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况．假设A，B两人拿到自己的外衣，则C，D，E三人不能拿到自己的外衣，所以只有C取D，D取E，E取C或C取E，D取C，E取D两种情况．所以根据分步乘法计数原理，应有10×2＝20种情况． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 4．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 解析　首先涂A有4种涂色方法，则涂B有3种涂色方法，由于C与A，B均相邻，则C有2种涂色方法，D只与C相邻，则D有3种涂色方法，由分步乘法计数原理，知共有4×3×2×3＝72种涂色方法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 5．[多选]从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字组成一个三位数，则在所组成的数中(　　) A．偶数有48个 B．比300大的奇数有48个 C．个位和百位数字之和为7的有24个 D．能被3整除的数有48个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 解析　对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有5×4＝20种情况，则有3×20＝60个三位偶数，A错误；对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24个三位奇数，则符合题意的三位数有16＋24＝40个，B错误；对于C，个位和百位数字之和为7有(1，6)，(2，5)，(3，4)，共3种情况，则符合题意的三位数有3×2×1×4＝24个，C正确；对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，有(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共8种情况，则符合题意的三位数有8×3×2×1＝48个，D正确．故选CD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 二、填空题 6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有_____种． 解析　分两步：第一步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)；第二步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，这样选出的三个面符合题目要求．所以共有3×4＝12种选法． 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 7．用数字0，1，2，3，4，5可以组成______个无重复数字且十位数字为奇数的五位偶数．(用数字作答) 解析　当万位为奇数时，第一步，万位有3种排法，第二步，十位有2种排法，第三步，个位有3种排法，第四步，从剩下的3个数字中任选2个数字排在千位和百位，有3×2＝6种排法，所以，当万位为奇数时，共有3×2×3×6＝108个数；当万位为偶数时，第一步，万位有2种排法，第二步，十位有3种排法，第三步，个位有2种排法，第四步，从剩下的3个数字中任选2个数字排在千位和百位，有3×2＝6种排法，所以，当万位为偶数时，共有2×3×2×6＝72个数．综上，共有108＋72＝180个符合要求的数． 180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 8．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有______个，其中不同的偶函数共有_____个．(用数字作答) 解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知不同的二次函数的个数为3×3×2＝18．f(x)为偶函数时，b＝0，所以不同偶函数的个数为3×2＝6． 18 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 三、解答题 9．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有多少种不同的安排方法？ 解　选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，将问题分为三类： 第一类，2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理，知共有3×1＝3种选法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 第二类，2人中被选出1人，有2种选法．若此人去排版，则再从只会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理，知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从只会印刷的2人中选1人，有2种选法，从只会排版的3人中选2人，有3种选法．由分步乘法计数原理，知共有2×2×3＝12种选法，再由分类加法计数原理，知共有6＋12＝18种选法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 第三类，2人全被选出，有1种选法．若这2人都去排版，则只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理，知共有1×1＝1种选法；若这2人都去印刷，则再从只会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理，知共有1×3＝3种选法；若一人去印刷一人去排版，有2种选法，则再从只会排版的3人中选1人，有3种选法，从只会印刷的2人中选1人，有2种选法，由分步乘法计数原理，知共有2×3×2＝12种选法．再由分类加法计数原理，知共有1＋3＋12＝16种选法． 所以共有3＋18＋16＝37种不同的安排方法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 30 10．用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，共有多少种不同的涂色方法？ 解　将六个区域标记为A，B，C，D，E，F，如图所示． 所有的涂色方法可以分为三类： 第一类，区域C，F涂相同颜色， 先涂区域A，有4种方法，再涂区域B，有3种方法，然后涂区域C，F，有2种方法，再涂区域D，有1种方法，最后涂区域E，有2种方法，由分步乘法计数原理，不同的涂色方法有4×3×2×1×2＝48种； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 31 第二类，区域C，F涂不同颜色，区域A，F涂不同颜色， 先涂区域C，有4种方法，再涂区域F，有3种方法，然后 涂区域D，有2种方法，再涂区域E，有1种方法，再涂区域A， 有1种方法，最后涂区域B，有1种方法，由分步乘法计数原理，不同的涂色方法有4×3×2×1×1×1＝24种； 第三类，区域C，F涂不同颜色，区域A，F涂相同颜色， 先涂区域C，有4种方法，再涂区域F，有3种方法，然后涂区域D，有2种方法，再涂区域E，有1种方法，再涂区域A，有1种方法，最后涂区域B，有2种方法，由分步乘法计数原理，不同的涂色方法有4×3×2×1×1×2＝48种． 由分类加法计数原理，共有48＋24＋48＝120种不同的涂色方法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 32 　　　　　　　　　　　　　 R $$