6.1.1 函数的平均变化率-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教B版2019）

　　　　　　　　　　　　　 6.1.1　函数的平均变化率 (教师独具内容) 课程标准：1.理解函数平均变化率的概念，知道函数平均变化率的几何意义.2.会求函数在指定区间上的平均变化率． 教学重点：函数平均变化率的概念及函数平均变化率的求法． 教学难点：利用函数的平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 核心素养：通过学习函数平均变化率的概念及其几何意义培养数学抽象素养和直观想象素养． 知识点一　函数的平均变化率 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量；称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量；称＝为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1＜x2时指的是[x1，x2]，而x1＞x2时指的是[x2，x1]． 平均变化率的实际意义是，在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位． 上述Δx在x1＜x2时是大于0的，在x1＞x2时是小于0的，而且x2总可以用x1和Δx表示，即x2＝x1＋Δx，此时“以x1，x2为端点的闭区间”也可表述为“以x1，x1＋Δx为端点的闭区间”，而且f(x2)＝f(x1＋Δx)，因此平均变化率也可表示为＝＝． [注意]　(1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)实数x1，x2在定义域内不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝y2－y1是Δx＝x2－x1相应的改变量，Δy的值可正可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负、也可为零． 知识点二　函数平均变化率的几何意义 函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率＝表示函数y＝f(x)图象上过点(x1，f(x1))和点(x2，f(x2))的直线的斜率． [说明]　(1)函数的平均变化率可正可负，也可为零． (2)函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． (3)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然． 知识点三　平均速度与平均变化率的关系 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1＜t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段时间内的平均速度为 (m/s)． 这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在平均变化率中，自变量的改变量与因变量的改变量均为正值．(　　) (2)平均变化率不能为0.(　　) (3)平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢．(　　) (4)用函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率可估计x0∈[x1，x2]时对应的函数值f(x0)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数y＝，当自变量x由2变为1.5时，相应函数值的改变量Δy＝________． (2)函数f(x)＝2x＋1在区间[1，2]上的平均变化率为________． (3)一物体的运动方程为s＝5t2(s的单位：m，t的单位：s)，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s. 答案：(1)　(2)2　(3)20 题型一　求函数的平均变化率　 　求函数f(x)＝在区间[－1，0]，[1，3]，[x0，x0＋1](－2∉[x0，x0＋1])上的平均变化率． [解]　f(x)＝在区间[－1，0]上的平均变化率为＝＝＝－. f(x)＝在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝＝－. f(x)＝在区间[x0，x0＋1]上的平均变化率为＝＝－＝. 感悟提升　求函数平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δf＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； (3)然后利用平均变化率＝计算即可． [跟踪训练1]　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 解：函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 题型二　利用平均变化率求平均速度及位移　 　已知某物体运动的位移s m是时间t s的函数，而且t＝0.2时，s＝0.36；t＝0.6时，s＝3.36. (1)求这个物体在时间段[0.2，0.6]内的平均速度； (2)估计出t＝0.4时物体的位移． [解]　(1)所求平均速度为＝＝7.5(m/s)． (2)将s在[0.2，0.6]上的图象看成直线， 则由(1)可知，直线的斜率为7.5，且直线通过点(0.2，0.36)， 因此，s与t的关系可近似地表示为s－0.36＝7.5(t－0.2)． 在该式中令t＝0.4，可得s＝1.86， 即物体在t＝0.4时的位移可以估计为1.86 m. 感悟提升 (1)要计算物体在某段时间内的平均速度，只要求出时间的改变量Δt，及相应位移的改变量Δs，然后利用平均速度＝即可求出平均速度． (2)估计物体在某段时间内某一时刻的位移时，常采用“以直代曲”的思想，将该段时间上的图象看成直线，求出直线的方程，最后估计出物体在该段时间内某一时刻的位移． [跟踪训练2]　已知某物体运动的位移s m是时间t s的函数，而且t＝0.5时，s＝3.05；t＝0.8时，s＝0.35. (1)求这个物体在时间段[0.5，0.8]内的平均速度； (2)估计出t＝0.7时物体的位移． 解：(1)所求平均速度为＝－＝－9(m/s)． (2)将s在[0.5，0.8]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为－9，且直线通过点(0.5，3.05)， 因此，s与t的关系可近似地表示为s－3.05＝－9(t－0.5)． 在该式中令t＝0.7，可得s＝1.25， 即物体在t＝0.7时的位移可以估计为1.25 m. 题型三　平均变化率的应用　 　(1)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________． [解析]　1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，而由图象，知kOA<kAB<kBC，所以1<2<3. [答案]　1<2<3 (2)已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1，2，3，Δx＝时平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？ [解]　函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 ＝ ＝＝－2x0－Δx， 当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－； 当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－； 当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－， 因为－>－>－，所以函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大． 感悟提升　关于平均变化率的应用 根据平均变化率的意义，平均变化率可以衡量因变量变化的快慢，以及函数对应曲线倾斜程度的大小．平均变化率绝对值的大小对应于因变量变化的快慢、曲线倾斜程度的大小． [跟踪训练3]　(1)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是(　　) A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙 C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定 答案：B 解析：由题图知，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)>0，所以<，所以v甲<v乙．故选B. (2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算函数在区间[1，2]与[3，5]上的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 解：在区间[1，2]上，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝. 在区间[3，5]上，函数f(x)的平均变化率为 ＝＝. 因为<， 所以函数f(x)＝x＋在区间[3，5]上函数值变化得较快． 1．已知函数y＝2x＋3，则函数在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案：B 解析：＝＝＝2.故选B. 2．(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数f(x)的图象上，若函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为，则下列叙述正确的是(　　) A．直线AB的斜率为 B．直线AB的斜率为－ C．直线AB的倾斜角为 D．直线AB的倾斜角为 答案：AD 解析：函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率就是直线AB的斜率kAB，所以kAB＝，故直线AB的倾斜角为.故选AD. 3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 答案：B 解析：由题意，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.故选B. 4．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为________，在[－2，3]上的平均变化率为________． 答案：　 解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝，在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 5．已知w是t的函数，部分函数值如下表所示． t 4 5 7 10 w 42 31 23.8 11.2 且[5，7]和[7，10]都是这个函数的定义域的子集，当t＝6时，估计w＝________；当t＝8时，估计w＝________． 答案：27.4　19.6 解析：将w在[5，7]上的图象看成直线，得该直线的斜率为＝－3.6.又该直线过点(5，31)，所以w与t在[5，7]上的关系可近似地表示为w－31＝－3.6(t－5)．令t＝6，得w＝27.4，即t＝6时，w的估计值为27.4.同理可得w与t在[7，10]上的关系可近似地表示为w－23.8＝－4.2(t－7)，令t＝8，得w＝19.6，即t＝8时，w的估计值为19.6. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求直线的斜率 求某段时间内质点运动的平均速度 比较同一函数在不同区间上平均变化率的大小 比较不同函数在同一区间上平均变化率的大小 平均变化率的几何意义 由函数在某一区间上的平均变化率求参数的值 计算物体在某时间段内的平均速度；估计物体在某时刻的位移 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用函数平均变化率的几何意义比较平均变化率的大小 计算同一函数在不同区间上的平均变化率并比较它们的大小；计算直线AB、直线BC的斜率并比较它们的大小 计算不同函数在同一区间上的平均变化率并比较它们的大小 平均变化率的实际意义 平均变化率的实际意义；由平均变化率的值求参数的值 函数的平均变化率及其实际意义 由函数的平均变化率证明不等式 一、选择题 1．已知函数f(x)＝2x2图象上的两点A，B，xA＝1，xB＝2，则直线AB的斜率为(　　) A．－6 B．6 C．－3 D．3 答案：B 解析：因为f(1)＝2×12＝2，f(2)＝2×22＝8，所以直线AB的斜率为＝＝6.故选B. 2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内质点运动的平均速度为(　　) A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6 C．3Δt－6 D．－3Δt－6 答案：D 解析：因为Δs＝5－3(1＋Δt)2－(5－3×12)＝－3(Δt)2－6Δt，所以＝＝＝－3Δt－6.故选D. 3．若记函数y＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率为k1，在区间[4，8]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不能确定 答案：A 解析：由题意，可知k1＝＝＝＝，k2＝＝＝＝.所以k1>k2.故选A. 4．已知四个函数：①y＝x；②y＝2x；③y＝x3；④y＝，其中在区间[2，4]上的平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 答案：B 解析：对于函数①y＝x，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝1；对于函数②y＝2x，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝6；对于函数③y＝x3，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝28；对于函数④y＝，其在区间[2，4]上的平均变化率为＝－.故选B. 5.(多选)A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量WA(t)，WB(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小 D．A机关与B机关自节能以来用电总量是一样大 答案：BC 解析：由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率小，且A机关比B机关节能效果好．故选BC. 二、填空题 6．若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________． 答案：5 解析：因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)． 7．已知某物体的位移s m是时间t s的函数，而且t＝2时，s＝7；t＝5时，s＝19，则这个物体在时间段[2，5]内的平均速度为________m/s，估计t＝4时物体的位移为________m. 答案：4　15 解析：这个物体在时间段[2，5]内的平均速度为＝＝4(m/s)；将s在[2，5]上的图象看成直线，则该直线的斜率为4，又该直线过点(2，7)，所以s与t的关系可近似地表示为s－7＝4(t－2)，令t＝4，得s＝15.故估计t＝4时物体的位移为15 m. 8.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________． 答案：[x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，分别计算函数在区间[3，4]与[4，5]上的平均变化率，并比较它们的大小．若记A(3，f(3))，B(4，f(4))，C(5，f(5))，试判断直线AB与直线BC斜率的相对大小． 解：因为＝＝2(x2＋x1)＋3，所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率为2×(3＋4)＋3＝17，函数f(x)在区间[4，5]上的平均变化率为2×(4＋5)＋3＝21，因为17＜21，所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率小于函数f(x)在区间[4，5]上的平均变化率．由平均变化率的几何意义可知，直线AB的斜率小于直线BC的斜率． 10．已知函数f(x)＝2x2＋3，g(x)＝2x2＋x，h(x)＝2x2－x，分别计算这三个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解：因为＝ ＝＝10， ＝＝＝11， ＝＝＝9， 11>10>9，因此在区间[2，3]上，g(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 11．某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天比(　　) A．公司亏损且亏损幅度变大 B．公司的盈利增加，增加的幅度变大 C．公司亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利增加，增加的幅度变小 答案：D 解析：平均变化率为正，说明盈利是增加的，平均变化率变小，说明盈利增加的幅度变小．故选D. 12．(2024·贵州贵阳一中高二月考)将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________． 答案：2 解析：因为体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，所以由题意可得＝＝，整理，得m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)． 13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间． (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解：(1)T(10)－T(0)＝＋15－＝－16， 即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是＝＝－1.6， 它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 14．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且f(x)在定义域内的任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1在同一区间内的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)>10. 证明：函数g(x)在区间[2，4]上的平均变化率为＝＝5. 根据题意，可知函数f(x)在区间[2，4]上的平均变化率＝>5，所以f(4)－f(2)>10. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$