7.2 离散型随机变量及其分布列-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

(教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列． 教学重点：1.离散型随机变量的概念.2.离散型随机变量分布列的概念． 教学难点：1.离散型随机变量与事件的关系.2.求简单的离散型随机变量的分布列． 核心素养：通过学习离散型随机变量及其分布列，提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　随机变量 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 知识点二　离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量． 知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质 1．概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．表示：与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(如下)，还可以用图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3.性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 知识点四　两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． [拓展]　一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)． 1．(离散型随机变量的概念、离散型随机变量分布列的性质)下列说法正确的是(　　) A．手机电池的使用寿命X是离散型随机变量 B．在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数 C．在离散型随机变量的分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积 D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 答案：D 2．(离散型随机变量的可能取值)甲进行3次射击，每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为________． 答案：0，1，2，3 3．(两点分布)在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为________． 答案： X 0 1 P 0.1 0.9 4.(利用离散型随机变量分布列的性质求参数值)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，则C＝________． 答案： 题型一　离散型随机变量的概念　 　(1)(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和X [解析]　∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量．∵A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量．而C中X的取值不能一一列举出来，∴C中的X不是离散型随机变量． [答案]　ABD (2)一个袋中有大小相同的5个钢球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中任意抽取2个球，设2个球的号码之和为X，则X的所有可能取值的个数为(　　) A．5 B．7 C．6 D．9 [解析]　任取2个球，计算其号码之和，X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝2＋3＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋4＝7，3＋5＝8，4＋5＝9，共7个． [答案]　B (3)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果． [解]　根据题意可知X的所有可能取值为4，5，6，7.X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了1局，最后1局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后1局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，最后1局中有1人胜出． 感悟提升 理解离散型随机变量的切入点 (1)判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下： ①明确随机试验的所有可能结果； ②将随机试验的结果数量化； ③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量． (2)明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． [跟踪训练1]　(1)下列叙述中是离散型随机变量的是(　　) A．某人早晨在车站等公交车的时间 B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 C．任意掷一枚质地均匀的硬币3次，出现正面向上的次数 D．工厂加工的某种零件的尺寸与规定尺寸之差 答案：C 解析：选项A，B，D是随机变量，但不是离散型随机变量；对于C，任意掷一枚质地均匀的硬币3次，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，是离散型随机变量．故选C. (2)抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值为Y，写出随机变量Y可能的取值，并说明随机变量Y所取的值表示的随机试验的结果． 解：Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 用(a，b)表示一个样本点，且第一枚骰子掷出的点数为a，第二枚骰子掷出的点数为b. Y＝0表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的样本点有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)． Y＝1表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的样本点有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)． Y＝2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的样本点有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)． Y＝3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3)． Y＝4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的样本点有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)． Y＝5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的样本点有(1，6)，(6，1)． 题型二　离散型随机变量的分布列　 　袋中装有4个大小相同的小球，编号为1，2，3，4，现从袋中有放回地取球2次． (1)求2次都取得3号球的概率； (2)记这2次取得球的号码的最大值为X，求X的分布列． [解]　(1)由题意，从袋中有放回地取球2次，每次取到3号球的概率为， 故2次都取得3号球的概率为P＝×＝. (2)X的所有可能取值为1，2，3，4，则 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＋＝， P(X＝3)＝＋＝， P(X＝4)＝＋＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 感悟提升 离散型随机变量分布列的求解步骤 [跟踪训练2]　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列． 解：X的所有可能取值为1，2，3，4，5， 则第1次取到白球的概率为 P(X＝1)＝， 第2次取到白球的概率为 P(X＝2)＝＝， 第3次取到白球的概率为 P(X＝3)＝＝， 第4次取到白球的概率为 P(X＝4)＝＝， 第5次取到白球的概率为 P(X＝5)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 题型三　离散型随机变量分布列的性质　 　设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 1－2q q2 (1)求q的值； (2)求P(X<0)，P(X≤0)． [解]　(1)由分布列的性质，得0≤1－2q≤，0≤q2≤，＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－. (2)P(X<0)＝P(X＝－1)＝， P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0) ＝＋1－2×＝－. 感悟提升 应熟悉离散型随机变量分布列的基本性质：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，取这些值的概率为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，则①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法；③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． [跟踪训练3]　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求常数a的值； (2)求P； (3)求P. 解：题目所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)解法一：P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝. 解法二：P＝1－P＝1－＝. (3)因为<X<，所以X的可能取值为，，. 故P＝P＋P＋P＝＋＋＝. 题型四　两点分布　 　(1)若随机变量X服从两点分布，且X取0的概率是取1的概率的3倍，求X的分布列． [解]　由题意及分布列满足的条件知P(X＝0)＋P(X＝1)＝3P(X＝1)＋P(X＝1)＝1， 所以P(X＝1)＝，故P(X＝0)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P (2)袋中有红球10个、白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出2个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布？并求分布列． [解]　从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下： X＝ 显然X服从两点分布， 且P(X＝1)＝＝， ∴P(X＝0)＝1－＝， ∴X的分布列为 X 0 1 P 感悟提升 两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的． (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0.由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))． (3)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它(如本例(2)中随机变量X)． [跟踪训练4]　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝，所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 答案：C 解析：逐一考查所给的选项，A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D中的量也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量． 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 则常数c的值为(　　) A.或 B. C. D．1 答案：C 解析：根据离散型随机变量分布列的性质知解得c＝. 3．(多选)设随机变量X的分布列为 X －1 2 3 P m 则下列结果正确的是(　　) A．m＝ B．P(X<3)＝ C．P(－1<X<3)＝ D．P＝ 答案：AD 解析：∵＋m＋＝1，∴m＝，∴P(X<3)＝P(X＝－1)＋P(X＝2)＝＋＝，P(－1<X<3)＝P(X＝2)＝，P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝. 4．若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是________． 答案：(1，2] 解析：由随机变量X的分布列知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2]． 5．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若Y表示经销一件该商品的利润，求Y的分布列． 解：依题意，Y的所有可能取值为200，250，300， 且P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4， P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. 所以Y的分布列为 Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 离散型随机变量的概念 离散型随机变量取值的含义 离散型随机变量分布列的性质 由离散型随机变量的分布列求概率 离散型随机变量分布列的性质 由离散型随机变量的分布列求概率 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 两点分布 离散型随机变量分布列的性质 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量分布列的性质；求离散型随机变量的分布列 利用定义求条件概率；离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率 一、选择题 1．(多选)下列X是离散型随机变量的是(　　) A．某宾馆每天入住的旅客数量X B．某网站中某歌曲一天内被点击的次数为X C．一天内的温度为X D．射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 答案：ABD 解析：由离散型随机变量的定义可知A，B，D中的X均是离散型随机变量，而一天内的温度X变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不是离散型随机变量．故选ABD. 2．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用X表示甲的得分，则{X＝3}表示(　　) A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次 答案：D 解析：由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，所以{X＝3}可以分成两种情况，即3＋0＋0或1＋1＋1，即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．故选D. 3．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a，i＝1，2，3，则a的值为(　　) A．1 B. C. D. 答案：C 解析：∵P(X＝i)＝a，i＝1，2，3，∴根据分布列的性质有a×＋a×＋a×＝1，∴a＝. 4．若某一射击手射击所得环数X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则“此射击手射击一次命中环数X≥7”的概率是(　　) A．0.88 B．0.12 C．0.79 D．0.09 答案：A 解析：P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. 5．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　) X －1 0 1 P a b c A.a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 答案：BD 解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.故选BD. 二、填空题 6．随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 则X为奇数的概率是________． 答案： 解析：X为奇数的概率是＋＋＝. 7．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 答案：0.8 解析：由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－0.2＝0.8. 8．一批产品分为一、二、三级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品为二级产品的一半．从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则P＝________． 答案： 解析：设二级产品有k个，从而得一级产品有2k个，三级产品有个，总数为个，所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以P＝P(X＝1)＝. 三、解答题 9．甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列． 解：由题意知，随机变量X的所有可能取值为1，2， 且P(X＝2)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝. 所以X的分布列为 X 1 2 P 10.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量Y1＝2X＋1的分布列； (2)求随机变量Y2＝|X－1|的分布列； (3)求随机变量Y3＝X2的分布列． 解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 从而Y1＝2X＋1的分布列为 Y1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)首先列表为 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 P(Y2＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(Y2＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(Y2＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(Y2＝3)＝P(X＝4)＝0.3. 故Y2＝|X－1|的分布列为 Y2 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (3)首先列表为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 从而Y3＝X2的分布列为 Y3 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 11．文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔．市第一中学甲、乙、丙三位数学教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出． (1)在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率； (2)抽取3次后，记取出红笔的数量为X，求随机变量X的分布列． 解：(1)根据题意，记事件A为“第1次取出红笔”，事件B为“第2次取出黑笔”， 则P(B)＝×＋×＝， P(AB)＝×＝， 所以在第2次取出黑笔的前提下，第1次取出红笔的概率为P(A|B)＝＝. (2)由题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 可得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 12.红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏．游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质地均匀的骰子一次，当骰子向上的面是1或6时，则得10(i－3)分(i为3人的顺序编号，i＝1，2，3，当得分为负值时即为扣分)，否则，得10i分，各人掷骰子的结果相互独立”．记游戏小组A一局游戏所得分数之和为X. (1)求X的分布列； (2)若游戏小组A进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分X>0的概率． 解：(1)由条件可知， 当一组中三人都掷出1或6面向上时X的取值为－30， 当一组中两人掷出1或6面向上时X的取值为0， 当一组中一人掷出1或6面向上时X的取值为30， 当一组中都没有掷出1或6面向上时X的取值为60， 掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为P1＝＝， 向上的面不是1或6的概率为P2＝＝. ∴P(X＝－30)＝××＝， P(X＝0)＝××＋××＋××＝， P(X＝30)＝××＋××＋××＝， P(X＝60)＝××＝. ∴X的分布列为 X －30 0 30 60 P (2)由(1)可知，P(X>0)＝P(X＝30)＋P(X＝60)＝＋＝. 记“游戏小组A进行两局游戏，至少一局游戏得分X>0”为事件M，则 P(M)＝C××＋C×＝. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$