6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

第1课时　两个计数原理及其简单应用 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 教学重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 教学难点：用两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 核心素养：通过两个计数原理的学习，提升数学抽象素养和逻辑推理素养． 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． [拓展]　分类加法计数原理中两类不同方案可推广到n类，分步乘法计数原理中两个步骤可推广到n个步骤． 1．(分类加法计数原理)从10名任课教师，54名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有________种不同的选法． 答案：64 2．(分步乘法计数原理)一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法． 答案：48 3．(分步乘法计数原理的推广)某校为学生提供3种课后活动，甲、乙、丙、丁四位同学每人从中任选1种，则一共有________种选择方式． 答案：81 题型一　分类加法计数原理　 　有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？ [解]　有三类不同的方案：第1类，从第一个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第二个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第三个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法． 其中，从这三个袋子的任意一个中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种． 感悟提升 1．利用分类加法计数原理解题的注意点 (1)标准明确：明确分类标准，确定完成一件事的各类方案． (2)不重不漏：完成这件事的各类方案必须既不重复，又不遗漏． (3)方法独立：确定用每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事． 2．利用分类加法计数原理解题的一般思路 [跟踪训练1]　高二(1)班有学生50人，男生30人；高二(2)班有学生60人，女生30人；高二(3)班有学生55人，男生35人． (1)从这三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 解：(1)选一名学生有三类不同的方案： 第1类，从高二(1)班选一名，有50种不同的选法； 第2类，从高二(2)班选一名，有60种不同的选法； 第3类，从高二(3)班选一名，有55种不同的选法． 故从这三个班中选一名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法． (2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的方案： 第1类，从高二(1)班男生中选一名，有30种不同的选法； 第2类，从高二(2)班男生中选一名，有60－30＝30种不同的选法； 第3类，从高二(3)班女生中选一名，有55－35＝20种不同的选法． 故从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任学生会体育部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法． 题型二　分步乘法计数原理　 　已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P(a，b)可表示多少个不在直线y＝x上的点？ [解]　(1)确定平面上的点，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种方法；第2步确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示平面上6×6＝36个不同的点． (2)确定第二象限的点，可分两步完成：第1步确定a，因为a<0，所以有3种方法；第2步确定b，因为b>0，所以有2种方法．由分步乘法计数原 理，得到P(a，b)可表示平面上3×2＝6个第二象限的点． (3)分两步：第1步确定a，有6种方法；第2步确定b，有5种方法．根据分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示6×5＝30个不在直线y＝x上的点． 感悟提升 1．利用分步乘法计数原理解题的注意点 (1)将一个复杂问题分解为若干“步骤”，要先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程． (2)在分步过程中，任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关． (3)分步的标准不同，分成的步骤数一般也不同． 2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路 [跟踪训练2]　书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书． (1)从这些书中任取一本数学、一本语文和一本英语共三本书的不同取法有多少种？ (2)从这些书中任取三本，并按次序排好，有多少种不同的排法？ 解：(1)完成这个工作可分三个步骤： 第1步，从第一层中任取一本数学书，有6种不同的取法； 第2步，从第二层中任取一本语文书，有6种不同的取法； 第3步，从第三层中任取一本英语书，有5种不同的取法． 根据分步乘法计数原理，共有6×6×5＝180种不同的取法． (2)本题实际上是从17本书中任取三本放在三个不同位置．完成这个工作可分三个步骤： 第1步，从17本书中任取一本放在第一个位置上，有17种不同的方法； 第2步，从16本书中任取一本放在第二个位置上，有16种不同的方法； 第3步，从15本书中任取一本放在第三个位置上，有15种不同的方法． 根据分步乘法计数原理，共有17×16×15＝4080种不同的排法． 题型三　两个计数原理的简单应用　 　某校高中二年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出2人管理生活，要求这2人不同班，有多少种不同的选法？ [解]　(1)推选1人为总负责人有三类不同的方案：第1类，从一班的8名优秀团员中选1人，有8种不同的选法；第2类，从二班的10名优秀团员中选1人，有10种不同的选法；第3类，从三班的6名优秀团员中选1人，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有8＋10＋6＝24种不同的选法． (2)完成这个工作可分三个步骤：第1步，从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法；第2步，从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法；第3步，从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有8×10×6＝480种不同的选法． (3)完成这个工作有三类不同的方案：每一类又分两步，第1类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第2类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第3类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有8×10＋10×6＋8×6＝188种不同的选法． 感悟提升 (1)运用两个计数原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”，即任何一类中任何一种方法，都能完成这件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任何一种方法只能完成事件中的某一部分． (2)在既有分类又有分步的题型中，一般先分类，然后在每一类中再分步． [跟踪训练3]　设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选1幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解：(1)任选1幅画可分三类： 第1类，从5幅不同的国画中选1幅，有5种不同的选法； 第2类，从2幅不同的油画中选1幅，有2种不同的选法； 第3类，从7幅不同的水彩画中选1幅，有7种不同的选法． 根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法． (2)从现有的3种画中各选1幅画可分三步： 第1步，从5幅不同的国画中选1幅，有5种不同的选法； 第2步，从2幅不同的油画中选1幅，有2种不同的选法； 第3步，从7幅不同的水彩画中选1幅，有7种不同的选法． 根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法． (3)任选2幅不同种类的画可分三类： 第1类，一幅选自国画，一幅选自油画，有5×2＝10种不同的选法； 第2类，一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法； 第3类，一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法． 根据分类加法计数原理，共有10＋35＋14＝59种不同的选法． 1．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中任选一名学生，则(　　) A．有29种不同的选法 B．有30种不同的选法 C．有59种不同的选法 D．有29×30种不同的选法 答案：C 解析：分两类：第1类，从甲班选一名学生，有29种选法；第2类，从乙班选一名学生，有30种选法．由分类加法计数原理知，共有29＋30＝59种不同的选法．故选C. 2．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为(　　) A．30 B．14 C．33 D．90 答案：D 解析：因为备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，所以荤菜有6种选法，素菜有5种选法，汤有3种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为6×5×3＝90.故选D. 3．(多选)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、历史这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(　　) 第1节 第2节 第3节 第4节 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 政治B层1班 物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班 历史1班 物理A层3班 历史2班 历史3班 A.此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式 C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节 答案：BD 解析：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：第1类，若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节历史、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)选法；第2类，若生物选第3节，则地理只能选第1节，历史只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种选法．根据分类加法计数原理可得，共有4＋1＝5种选课方式．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD. 4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个． 答案：36 解析：∵a＋bi为虚数，∴b≠0，完成这件事，分两步进行：第1步确定b，有6种不同的方法；第2步确定a，由于a≠b，但a可以为0，故有6种不同的方法．故共有6×6＝36个虚数． 5．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有多少种坐法？ (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种坐法？ 解：(1)小明爸爸选凳子可分两类： 第1类：选东面的空闲凳子，有8种坐法； 第2类：选西面的空闲凳子，有6种坐法． 根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法． (2)小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 第1步，小明先就座，从东、西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13) 第2步，小明爸爸再就座，从东、西面共13个空闲凳子中选一个坐下，有13种坐法． 根据分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座，共有14×13＝182种坐法． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★ 对点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 两个计数原理的简单应用　 两个计数原理的简单应用　 两个计数原理的简单应用　 分类加法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的简单应用　 题号 9 10 11 12 难度 ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 分类加法计数原理 两个计数原理的简单应用 两个计数原理的简单应用 分类加法计数原理 一、选择题 1．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有(　　) A．90种 B．14种 C．33种 D．21种 答案：B 解析：由分类加法计数原理可知，共有6＋5＋3＝14种不同的选法．故选B. 2．某商场共有7个大门，东、南、西侧各2个，北侧1个，1人到该商场购物，则他进出门的走法有(　　) A．8种 B．7种 C．24种 D．49种 答案：D 解析：完成“进出门”这件事，需分两步：第1步，进商场门，有7种走法；第2步，购物后出商场门，也有7种走法．根据分步乘法计数原理，进出门的走法共有7×7＝49种． 3．李芳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有(　　) A．24种 B．14种 C．10种 D．9种 答案：B 解析：不选连衣裙有4×3＝12种方式，选连衣裙有2种方式，故李芳不同的选择方式共有12＋2＝14种． 4．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成(　　) A．25组 B．36组 C．60组 D．61组 答案：C 解析：分两类：第1类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30组不同的结果；第2类，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，则有5×6＝30组不同的结果．共可配成30＋30＝60组． 5．(多选)已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，下列说法正确的是(　　) A．第一象限内不同的点有8个 B．第二象限内不同的点有7个 C．第三象限内不同的点有4个 D．第四象限内不同的点有5个 答案：AC 解析：对于A，此问题可分为两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，在集合M中只能取1，3两个元素中的一个，方法有2种，在集合N中只能取5，6两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有2×2＝4个；②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，在集合N中只能取5，6两个元素中的一个，方法有2种，在集合M中只能取1，3两个元素中的一个，方法有2种，根据分步乘法计数原理，有2×2＝4个．综合①②，利用分类加法计数原理知，共有4＋4＝8个，故A正确；对于B，同理分两类：①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有1×2＝2个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2×2＝4个．综合①②，共有2＋4＝6个，故B错误；对于C，①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有1×2＝2个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2×1＝2个．综合①②，共有2＋2＝4个，故C正确；对于D，①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，有2×2＝4个，②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素作为纵坐标，有2×1＝2个．综合①②，共有4＋2＝6个，故D错误．故选AC. 二、填空题 6.如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递．则单位时间内传递的最大信息量是________． 答案：19 解析：若以网线为标准，则完成“从结点A向结点B传递信息”这件事可分为四类：第1类，网线为12→5→3，单位时间内传递的最大信息量是3；第2类，网线为12→6→4，单位时间内传递的最大信息量是4；第3类，网线为12→6→7，单位时间内传递的最大信息量是6；第4类，网线为12→8→6，单位时间内传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19. 7．已知椭圆方程＋＝1，m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的个数为________；若椭圆的焦点在y轴上，则椭圆的个数为________． 答案：10　20 解析：若椭圆的焦点在x轴上，则m＞n＞0，考虑m依次取1，2，3，4，5时，符合条件的n值分别有0，1，2，3，4个，由分类加法计数原理知，椭圆的个数为0＋1＋2＋3＋4＝10.若椭圆的焦点在y轴上，则0<m<n，考虑m依次取1，2，3，4，5时，符合条件的n值分别有6，5，4，3，2个，由分类加法计数原理知，椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20. 8.某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一枚棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人掷三次骰子后，棋子恰好又回到顶点A处的所有不同走法共有________种． 答案：25 解析：由题意知，正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12，掷三次骰子后，棋子恰好又回到顶点A处表示三次骰子的点数之和是12，三个数字能够使得和为12的有1、5、6，2、4、6，3、4、5，3、3、6，5、5、2，4、4、4，共6种组合．①1、5、6，2、4、6，3、4、5这三种组合中，每一种又可以列出3×2×1＝6种不同结果，所以有3×6＝18种；②3、3、6，5、5、2这两种组合中，每一种又可以列出3种不同结果，所以有2×3＝6种；③组合4、4、4只有1种结果．根据分类加法计数原理知，共有18＋6＋1＝25种不同的走法． 三、解答题 9．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，该市的一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，那么该市的一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 解：(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为三类： 第1类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第2类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第3类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，该市的一台电视机共可以选看12＋10＋46＝68个不同的节目． (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，所以这3个频道播放的节目只有1个，而其余频道正在播放的互不相同的节目共有(12＋10＋46－3)个，所以该市的一台电视机共可以选看1＋(12＋10＋46－3)＝66个不同的节目． 10．某校高二(4)班有34人，分为四个小组，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人． (1)若每组选1名组长，有多少种不同的选法？ (2)若推选2人发言，这2人需来自不同的组，则有多少种不同的选法？ 解：(1)分成四步： 第1步，一组选1名组长有7种选法； 第2步，二组选1名组长有8种选法； 第3步，三组选1名组长有9种选法； 第4步，四组选1名组长有10种选法． 所以每组选1名组长，有7×8×9×10＝5040种不同的选法． (2)分为六类： 2人来自一、二组的选法有7×8＝56种； 2人来自一、三组的选法有7×9＝63种； 2人来自一、四组的选法有7×10＝70种； 2人来自二、三组的选法有8×9＝72种； 2人来自二、四组的选法有8×10＝80种； 2人来自三、四组的选法有9×10＝90种． 所以共有56＋63＋70＋72＋80＋90＝431种不同的选法． 11．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球． (1)若取出的2个小球颜色不同，有多少种取法？ (2)若取出的2个小球颜色相同，有多少种取法？ 解：(1)若取出的2个小球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个或B，C袋中各取一个，故有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法． (2)若取出的2个小球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个，故有1＋3＝4种取法． 12．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方(包括右上、右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？ 解：依题意，蜜蜂爬到0号蜂房有1种爬法；爬到1号蜂房有2种爬法；爬到2号蜂房有1＋2＝3种爬法(在爬到0号或1号蜂房后再爬到2号蜂房)；同理，爬到3号蜂房有2＋3＝5种爬法；爬到4号蜂房有3＋5＝8种爬法；爬到5号蜂房有5＋8＝13种爬法；爬到6号蜂房有8＋13＝21种爬法．所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有21种不同的爬法． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$