第7章 随机变量及其分布 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第七章　随机变量 及其分布 章末总结 知识系统整合 规律方法收藏 学科素养培优 目录 知识系统整合 堵点自记：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 知识系统整合 4 规律方法收藏 规律方法收藏 6 规律方法收藏 7 规律方法收藏 8 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 规律方法收藏 9 X 1 0 P p 1－p 规律方法收藏 10 规律方法收藏 11 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 规律方法收藏 12 规律方法收藏 13 规律方法收藏 14 规律方法收藏 15 学科素养培优 在计算条件概率时，必须搞清楚要求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中需特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减样本点总数，求出其包含的样本点数，再在这些样本点中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的样本点数，然后利用古典概型公式求得条件概率． 全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，应用了“化整为零，各个击破”的解题策略． 一、条件概率与全概率公式 学科素养培优 17 有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求： (1)第一次抽到次品的概率； (2)第一次和第二次都抽到次品的概率； (3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率． 学科素养培优 18 学科素养培优 19 在计算条件概率时，必须搞清楚要求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中需特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．在计算时，在事件A发生的前提下缩减样本点总数，求出其包含的样本点数，再在这些样本点中，找出事件A发生的条件下，事件B包含的样本点数，然后利用古典概型公式求得条件概率． 全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，应用了“化整为零，各个击破”的解题策略． 学科素养培优 20 某学生的手机不见了，落在宿舍的概率为60%，在这种情况下找到的概率为98%；落在教室的概率为25%，在这种情况下找到的概率为50%；落在路上的概率为15%，在这种情况下找到的概率为20%. 求：(1)该学生找到手机的概率； *(2)在找到的条件下，手机落在宿舍的概率(精确到0.001)． 学科素养培优 21 学科素养培优 22 均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中应用广泛． 离散型随机变量的均值与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤： 二、离散型随机变量的分布列及均值、方差 学科素养培优 23 (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和均值的定义求出E(X)； (5)由方差的定义，求D(X)． 学科素养培优 24 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片． (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与均值． 学科素养培优 25 学科素养培优 26 甲、乙两人掷一枚质地均匀的硬币，甲掷3次，记正面朝上的次数为X；乙掷2次，记正面朝上的次数为Y. (1)分别求X与Y的均值与方差； (2)规定：若X>Y，则甲获胜；若X<Y，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率． 学科素养培优 27 学科素养培优 28 学科素养培优 29 (1)正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用． (2)熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点． 三、有关正态分布的问题 学科素养培优 30 已知某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩X服从正态分布N(500，502)，求成绩在区间(550，600]内的考生人数． 学科素养培优 31 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)： 97　97　98　102　105　107　108　109　113　114 设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ. (1)求μ与σ； (2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2)． ①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X，求E(4X＋3)； 学科素养培优 32 ②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：cm)分别为86，95，103，109，118.以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试？说明理由． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，0.99734≈0.99. 学科素养培优 33 学科素养培优 34 学科素养培优 35 四、数形结合思想在正态分布中的应用 学科素养培优 36 学科素养培优 37 五、分类讨论思想在分布列求解中的应用 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者答对前两个问题的概率都是0.8，答对第三个问题的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负分(即X≥0)的概率． 学科素养培优 38 学科素养培优 39 学科素养培优 40 学科素养培优 41 　　　　　　　　　　　　　 R 1．条件概率与全概率公式 (1)条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)条件概率的性质 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设eq \o(B,\s\up12(－))和B互为对立事件，则P(eq \o(B,\s\up12(－))|A)＝1－P(B|A)． (3)乘法公式：由条件概率的计算公式P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)可知，P(AB)＝P(A)P(B|A)． (4)全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)．这称为全概率公式． (5)*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq \f(P（Ai）P（B|Ai）,P（B）)＝eq \f(P（Ai）P（B|Ai）,\o(∑,\s\up14(n),\s\do14(k＝1))P（Ak）P（B|Ak）)，i＝1，2，…，n. 2．离散型随机变量的分布列 (1)分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量X的分布列也可以用如下形式的表格表示． 离散型随机变量分布列的性质： ①pi≥0，i＝1，2，…，n；②eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))pi＝1. (2)两点分布 两点分布也称0－1分布，它只有两个试验结果0和1，其分布列为 (3)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． (4)超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝k,M)eq \f(CCeq \o\al(n－k,N－M),Ceq \o\al(n,N)) ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 3．离散型随机变量的均值与方差 (1)均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）；D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do14(i＝1))(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差． (2)均值与方差的性质 若X是离散型随机变量，则①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)两点分布与二项分布的均值与方差、超几何分布的均值 ①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； ③若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝eq \f(nM,N). 4．正态分布 (1)正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))e－eq \s\up7(\f(（x－μ）2, 2σ2))，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． (2)正态分布的3σ原则：如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5， P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，并称之为3σ原则． 解　记“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B. (1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝＝. (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝×＝. (3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝＝＝. 解　设“手机落在宿舍”为事件B1，“手机落在教室”为事件B2，“手机落在路上”为事件B3，“找到手机”为事件A，则Ω＝B1∪B2∪B3， (1)P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝60%×98%＋25%×50%＋15%×20%＝0.743. (2)P(B1|A)＝＝＝≈0.791. 解　(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝＝. (2)X的所有可能取值为1，2，3， 且P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 解　(1)依题意，X～B，Y～B， 所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝， E(Y)＝2×＝1，D(Y)＝2××＝. (2)P(X＝0)＝C×＝，P(X＝1)＝C×＝， P(X＝2)＝C×＝，P(X＝3)＝C×＝； P(Y＝0)＝C×＝，P(Y＝1)＝C×＝， P(Y＝2)＝C×＝. 甲获胜的情况有X＝1，Y＝0；X＝2，Y＝0，1；X＝3，Y＝0，1，2， 所以甲获胜的概率为P1＝×＋×＋×＝. 乙获胜的情况有Y＝1，X＝0；Y＝2，X＝0，1， 所以乙获胜的概率为P2＝×＋×＝. 解　∵考生成绩X～N(500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P(550<X≤600)＝[P(500－2×50≤X≤500＋2×50)－P(500－50≤X≤500＋50)]≈×(0.9545－0.6827)＝0.1359. ∴成绩在区间(550，600]内的考生人数约为2500×0.1359≈340. 解　(1)μ＝×(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105， σ2＝×(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6. (2)①∵Z服从正态分布N(105，36)， ∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ) ≈0.5－＝0.00135， 则X～B(5，0.00135)， ∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.00135＋3＝3.027. ②∵Z服从正态分布N(105，36)， ∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973， ∴5个零件中恰有一个内径不在[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为C×0.99734×(1－0.9973)＝0.013365，通常认为这种情况几乎不可能发生． ∵86∉[87，123]，∴试生产的5个零件就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内， ∴需要进一步调试． (多选)已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ，σ2)，其密度函数f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)·e－eq \s\up7(\f(（x－μ）2, 2σ2))的曲线如图所示，若从中随机取一件，则下列结论正确的是(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973)(　　) A．σ＝3 B．长度误差落在(－3，3)内的概率为0.6827 C．长度误差落在(3，6)内的概率为0.1359 D．长度误差落在(3，9)内的概率为0.1599 解析　由题图可知，正态曲线关于直线x＝0对称，峰值为，所以μ＝0，σ＝3，A正确；长度误差落在(－3，3)内的概率为P(－3<X<3)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，B正确；长度误差落在(3，6)内的概率为P(3<X<6)＝[P(－6<X<6)－P(－3<X<3)]＝[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(0.9545－0.6827)＝0.1359，C正确；长度误差落在(3，9)内的概率为P(3<X<9)＝[P(－9<X<9)－P(－3<X<3)]＝[P(μ－3σ<X<μ＋3σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(0.9973－0.6827)＝0.1573，D错误．故选ABC. 解　(1)三个问题均答错，得分为0＋0＋(－10)＝－10. 三个问题均答对，得分为10＋10＋20＝40. 三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错，得分为10＋0＋(－10)＝0； ②前两个问题错，第三个问题对，得分为0＋0＋20＝20. 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错，得分为10＋10＋(－10)＝10； ②第三个问题对，前两个问题一对一错，得分为20＋10＋0＝30. 故X的所有可能取值为－10，0，10，20，30，40. P(X＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016， P(X＝0)＝C×0.2×0.8×0.4＝0.128， P(X＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256， P(X＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024， P(X＝30)＝C×0.8×0.2×0.6＝0.192， P(X＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以X的分布列为 所以X的分布列为 X －10 0 10 20 30 40 P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384 E(X)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P(X≥0)＝1－P(X<0)＝1－0.016＝0.984. $$