2025年中考数学二轮专项练习：二次函数的性质

2025届中考数学二轮专项练习：二次函数的性质 · 知识点参考 1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 3．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 4．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． · 强化训练 一．选择题（共15小题） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A．（4，-2） B．（4，2） C．（-4，-2） D．（-4，2） 2．关于x的二次函数y=（a+1）x2+ax+a2-1的图象过原点，则a的值为（　　）． A．1 B．-1 C．±1 D．0 3．关于二次函数y=-2（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）． A．开口向上 B．对称轴为直线x=-1 C．最小值为2 D．顶点坐标为（1，2） 4．已知二次函数y=ax2+4ax-a2+3（a是常数，且a≠0），当x＜-3时，y随x的增大而减小，当-1≤x≤1时，y的最小值是-1，则a的值为（　　） A．4 B．-4或1 C．-4 D．1 5．关于二次函数y=-2（x-1）2+5下列说法正确的是（　　） A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值5 D．有最小值5 6．已知二次函数的表达式为y=x2-2ax+5（a为常数），当x=1时，y＜2，在自变量x满足2≤x≤4的取值范围时，对应函数值y的最小值为-4，则a的值为（　　） A． B．3 C．3或 D．-3或 7．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x=-1时，y的值为（　　） x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．3 C．-3 D．-13 8．已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=bx+ac的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 9．二次函数y=x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　） A．b＞-2 B．b≥-2 C．b＜-2 D．b=-2 10．已知二次函数y=-（x-1）2+2，当t＜x＜5时．y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是（　　） A．0＜t＜1 B．t＞1 C．1≤t＜5 D．t≥5 11．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m-1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m,5）和B（m+4，q），则q的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．已知二次函数y=（m-2）x2+2mx+m+8（m为常数，且m≠2），当x=2时，y＞18，则下列图象可能正确的是（　　） A． B． C． D． 13．如图，二次函数y=-2x2+bx+c的图象与y轴的交点纵坐标为1，对称轴为直线，有以下结论：①当x＞-1时，y随x的增大而减小；②若点P（-3，y1）、在二次函数图象上，则y1＜y2；③若将该二次函数的图象向右平移个单位，则顶点落在y轴上．其中正确的有（　　）​ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．如图，一次函数y=x+2的图象经过二次函数y=-x2+bx+c的图象顶点P，连接OP，当OP长度最小时，则b,c的值分别为（　　）​ A．-2，0 B．2，1 C．2，0 D．-2，1 15．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB=7，BC=3，CD=3，则MN的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共5小题） 16．已知二次函数y=-x2+2x-3，该函数图象的顶点坐标为 ______． 17．已知二次函数y=-（x-2）2+c,过A（x1，y1），B（x2，y2），假设|x1-2|＞|x2-2|，则y1，y2的大小关系是 ______． 18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），且顶点在直线x=2上，则的值为 ______． 19．如图，抛物线y=a（x+h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时，k=______． 20．抛物线y=-（x-m）2+2+m（-1＜m＜）与直线l交于点A（2m-，p）和点B（m+2，q），直线l与抛物线的对称轴交于点C（m,k），则下列结论正确的有 ______．（写出所有正确结论的序号） ①点A在对称轴的左侧； ②p＜q； ③点（m+1，）有可能在抛物线上； ④＜k. 三．解答题（共5小题） 21．如图，已知二次函数y=-x2+ax+a+4的图象经过点P（-2，2）． （1）求a的值和二次函数图象的顶点坐标． （2）已知点Q（m,n）在该二次函数图象上． ①当m=-3时，求n的值； ②当m-1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值-1，请结合函数图象求出m的值． 22．已知二次函数y=ax2-2ax-3a（a≠0）． （1）求该二次函数的对称轴． （2）求证：无论a取何值，该函数的图象必过某个定点． （3）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，且最高点M的纵坐标为24，求点M和点N的坐标． 23．如图，已知二次函数y=x2-ax的对称轴为直线x=2，过点A（5，b）． （1）直接写出a,b的值； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标； （3）在（2）的条件下，P是y轴上的点，当PA-PB的值最大时，求P的坐标． 24．如图，抛物线与抛物线相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D． （1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标； （2）求线段AB和CD的长； （3）点P（-2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，请比较p与q的大小关系并说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A'B'OC'．抛物线y=-x2+2x+3经过点A、C、A'三点． （1）求A、A'、C三点的坐标； （2）点M是第一象限内抛物线上的一动点． ①当点M为抛物线顶点时，求△AMA'面积． ②点M在何处时，△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标． 2025届中考数学二轮专项练习：二次函数的性质 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、B 2、A 3、D 4、D 5、C 6、D 7、C 8、A 9、B 10、C 11、D 12、A 13、C 14、A 15、D  二．填空题（共5小题） 16、（1，-2）； 17、y1＜y2； 18、； 19、4； 20、①④；  三．解答题（共5小题） 21、解：（1）将点P（-2，2）代入y=-x2+ax+a+4， 得-4-2a+a+4=2，解得a=-2， ∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+2， 配方，得y=-（x+1）2+3， ∴顶点坐标为（-1，3）； （2）解：①将x=-3代入y=-x2-2x+2，得y=-9+6+2=-1． ∴当m=-3时，n=-1． ②由（1）可知抛物线的对称轴为直线x=-1，点（-3，-1）关于直线x=-1的对称点为（1，-1），如解图所示： 根据函数图象，若满足当m-1≤x≤m+3时，该二次函数有最大值-1，则m+3=-3或m-1=1， ∴m=-6或m=2． 22、（1）解：y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a, ∴函数的对称轴为直线x=1． （2）证明：∴y=ax2-2ax-3a=a（x2-2x-3）=a（x-3）（x+1）， ∴该函数的图象必过定点（3，0），（-1，0）； （3）解：∵y=a（x-1）2-4a, ∴抛物线顶点坐标为（1，-4a）， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0，顶点（1，-4a）为图象最低点N， ∵5-1＞1-（-1）， ∴直线x=5与抛物线交点为最高点M， 把x=5代入y=ax2-2ax-3a得y=12a, ∴M（5，12a）， ∵12a=24， ∴a=2， ∴M（5，24），N（1，-8）． 23、解：（1）∵二次函数y=x2-ax的对称轴为直线x=2， ∴-=2， ∴a=4， ∴y=x2-4x, ∵过点A（5，b）， ∴b=25-20=5. （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设B（2，m）（m＞0）， 设直线OA的解析式为y=kx, 则5k=5， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x, 设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2）， ∴BH=m-2， ∵S△OAB=15， ∴×|m-2|×5=15， 解得：m=8或-4（舍去）， ∴点B的坐标为（2，8）； （3）设直线AB的解析式为y=cx+d,把A（5，5），B（2，8）代入得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y=-x+10， 当PA-PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上， ∵P是y轴上的点， ∴P（0，10）． 24、解：（1）抛物线C1的对称轴为x=-=-1， ∵AB∥x轴， ∵点A与点T关于对称轴x=-1对称， ∴点A的横坐标为-3； （2）∵抛物线C2的对称轴为x=-=2， ∵AB∥x轴， ∴点B与点T关于对称轴x=2对称， ∴点B的横坐标为3， ∴AB=3-（-3）=3+3=6； ∵点T是抛物线C1与抛物线C2的交点， ∴1+2+c=1-4+d, ∴c=d-6， 令x=0，则C（0，c），D（0，d）， ∴CD=d-c=d-（d-6）=d-d+6=6； （3）根据A，T，B的横坐标以及函数图象可知，点P在AB下方，点Q在AB上方， ∴p＜q. 25、解：（1）当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1， ∴C（-1，0），A′（3，0）； 当x=0时，y=3， ∴A（0，3）； （2）①∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴抛物线的顶点M为（1，4）， ∴△AMA'面积=（3+4）×1+×4×（3-1）-=3； ②连接OM，如图所示． 设点M的坐标为（x,-x2+2x+3）， ∴S△AMA′=S△AOM+S△OA′M-S△AOA′ =×3x+×3（-x2+2x+3）-×3×3 =-x2+x =-（x-）2+， ∴当x=时，S△AMA′取最大值，最大面积是，此时点M的坐标为（，）． 故点M为（，）时，△AMA'的面积最大，最大面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $$