第二十八章 锐角三角函数 单元检测题 2024--2025学年人教版九年级数学下册

阶段检测卷（第二十八章） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.60°角的正切值为（　D　） A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果各边长都扩大2倍，那么该三角形中各锐角的正弦值（　A　） A.没有变化 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来的 D.不能确定 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝.则cos A的值为（　B　） A.　 B. C.　 D. 4.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心，BO的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　D　） 第4题图 A.　 B.　 C. D. 5.若关于x的方程x2－x＋cos α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为（　C　） A.30° B.45° C.60° D.75° 6.如图，一艘快艇从A地出发，向正北方向航行5海里后到达B地，然后沿北偏东60°方向继续航行到达C地.若C地在A地的北偏东30°方向上，则两地之间的距离AC的长为（　C　） 第6题图 A.5海里 B.海里 C.5海里 D.海里 7.如图，已知△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sin A的值为（　B　） A. B. C. D. 8.数学中余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式表示为a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC的值是（　C　） A.5　 B.　 C.　　 D.2 9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝6 m，坝高为20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，则坝底AD的长度为（　B　） A.56 m B.（56＋20）m C.66 m D.（50＋20）m 10.某校数学"综合与实践"小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度.其测量示意图如图2所示，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G.测得AB＝3 m，CD＝5 m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（　C　） （结果保留一位小数，参考数据：sin 47°≈0.73，cos 47°≈0.68，tan 47°≈1.07） A.4.2 m B.4.0 m C.3.7 m D.3.6 m 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.若cos（α－15°）＝，则α＝　45°　. 12.如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面的坡度为i＝1∶，如果它把物体送到离地面3 m高的地方，那么物体所经过的路程为　3 m　. 13.如图，某飞机在空中探测某座山的高度，在A处飞机的飞行高度AF＝3 700 m，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300 m到达 B处，此时观测目标C的俯角是50°，则这座山的高度CD是　1 900　m.（参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.20） 14.如图，AB是☉O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝　　. 15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥CD，点E在AC上，连接DE，DE＝AC，DE∥BC，CD＝4，tan∠ABC＝2，则AB的长为　2　. 三、解答题（共40分） 16.（8分）计算： （1）｜－2｜＋2sin 30°－（－）2＋（tan 45°）－1； 解：原式＝2＋1－3＋1 ＝1. （2）cos245°－＋tan245°－tan260°. 解：原式＝（）2－＋12－（）2 ＝－1＋1－3 ＝－. 17.（10分）如图，已知AD是△ABC的高，cos B＝，sin C＝，AC＝10，求AD及AB的长. 解：∵在Rt△ACD中，sin C＝＝，AC＝10，∴＝，∴AD＝6. ∵在Rt△ABD中，cos B＝，∴∠B＝60°，∴∠BAD＝90°－∠B＝30°，∴cos∠BAD＝cos 30°＝＝， ∴＝，∴AB＝4. 18.（10分）火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾.火钳实物图如图1所示，示意图如图2所示.已知火钳打开到最大时，两钳臂OC，OD的夹角∠COD＝40°.若OC＝OD＝40 cm，求两钳臂端点C，D间的距离.（结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75） 　 解：如图，连接CD，过点O作OE⊥CD，垂足为E. ∵OC＝OD＝40 cm，∠COD＝40°，∴∠C＝∠D＝70°，CD＝2CE. 在Rt△OCE中，CE＝OC·cos 70°≈40×0.34＝13.6（cm），∴CD＝2CE≈27 cm. 答：两钳臂端点C，D间的距离约为27 cm. 19.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是边BC上的一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D.已知AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长. 解：在Rt△CDE中，sin C＝，∴CE＝＝＝12. 在Rt△ABC中，tan C＝， ∴BC＝＝＝8， ∴BE＝BC－CE＝8－12. 20.（12分）如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝. （1）求BC的长（结果保留根号）； （2）利用此图形求tan 15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）. 解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D. ∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，CD＝AC·cos 30°＝4×＝2. 在Rt△ABD中，tan B＝＝＝，∴BD＝16， ∴BC＝BD－CD＝16－2. （2）如图， 在边BC上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，则MD＝AC＋CD＝4＋2. ∵∠ACB＝150°， ∴∠AMC＝∠MAC＝15°， tan 15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2－≈0.3. 21.（12分）某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时如图1所示，四边形ABCD为矩形，AB长6 m，AD长2 m，点D距地面0.4 m.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行. （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4 m，求点P到MN的距离PF的长. （2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1 m，高3.2 m.当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由.（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33） 解：（1）如图2，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q. 由题意，得∠ADC＝60°，PE＝2.4 m，QE＝0.4 m. 在Rt△PDQ中，∠PDQ＝30°，PQ＝2.4－0.4＝2（m），tan 30°＝， ∴DQ＝＝2（m）， ∴PF＝AB－DQ＝（6－2）m. （2）货车能驶入小区.理由如下： 当∠ADC＝53°，PE＝3.2 m时，则∠DPQ＝53°，PQ＝3.2－0.4＝2.8（m）， ∴DQ＝PQ·tan 53°≈2.8×1.33＝3.724（m），∴PF＝AB－DQ≈6－3.724＝2.276（m）. ∵2.276＞2.1，∴货车能驶入小区. 22.（14分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.侧面示意图如图所示，遮阳篷AB的长为5 m，与水平面的夹角为16°，且靠墙端距离地面的高度BC为4 m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29） 解：如图，过点A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K. 在Rt△ABT中，BT＝AB·sin∠BAT＝5×sin 16°≈5×0.28＝1.4（m），AT＝AB·cos∠BAT＝5×cos 16°≈5×0.96＝4.8（m）. ∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°， ∴四边形ATCK是矩形， ∴CK＝AT≈4.8 m，AK＝CT＝BC－BT≈4－1.4＝2.6（m）. 在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°， ∴DK＝AK≈2.6 m， ∴CD＝CK－DK≈4.8－2.6＝2.2（m）. 答：阴影CD的长约为2.2 m. 23.（14分）阅读材料，并解决下列问题： 如图1，在锐角三角形ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作 AD⊥BC于点D，则sin B＝，sin C＝，∴AD＝csin B，AD＝bsin C，∴csin B＝bsin C，∴＝.同理有＝，∴＝＝. 也就是说，在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等.在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素. （1）如图2，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝　60°　，AC＝　2　； （2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°方向上，随后货轮以60海里/时的速度沿北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB. 　 （1）∵∠B＝45°，∠C＝75°， ∴∠A＝180°－45°－75°＝60°. ∵＝，∴＝，∴AC＝20. 故答案为60°，20. （2）如图3所示. 依题意，得BC＝60×0.5＝30（海里）. ∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°. ∵∠DCB＝30°，∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°， ∴∠A＝45°. 在△ABC中，＝，即＝， ∴AB＝15海里. 答：此时货轮距灯塔A的距离AB为15海里. 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段检测卷（第二十八章） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.60°角的正切值为（　　） A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果各边长都扩大2倍，那么该三角形中各锐角的正弦值（　 　） A.没有变化 B.扩大为原来的2倍 C.缩小为原来的 D.不能确定 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝.则cos A的值为（　　） A.　 B. C.　 D. 4.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心，BO的长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　　） A.　 B.　 C. D. 5.若关于x的方程x2－x＋cos α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为（ 　） A.30° B.45° C.60° D.75° 6.如图，一艘快艇从A地出发，向正北方向航行5海里后到达B地，然后沿北偏东60°方向继续航行到达C地.若C地在A地的北偏东30°方向上，则两地之间的距离AC的长为（　　） A.5海里 B.海里 C.5海里 D.海里 7.如图，已知△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sin A的值为（　 　） A. B. C. D. 8.数学中余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式表示为a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC的值是（　　） A.5　 B.　 C.　　 D.2 9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝6 m，坝高为20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，则坝底AD的长度为（　 　） A.56 m B.（56＋20）m C.66 m D.（50＋20）m 10.某校数学"综合与实践"小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度.其测量示意图如图2所示，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G.测得AB＝3 m，CD＝5 m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（　 　） （结果保留一位小数，参考数据：sin 47°≈0.73，cos 47°≈0.68，tan 47°≈1.07） A.4.2 m B.4.0 m C.3.7 m D.3.6 m 二、填空题（每小题5分，共20分） 11.若cos（α－15°）＝，则α＝　 　. 12.如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面的坡度为i＝1∶，如果它把物体送到离地面3 m高的地方，那么物体所经过的路程为　 　. 13.如图，某飞机在空中探测某座山的高度，在A处飞机的飞行高度AF＝3 700 m，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300 m到达 B处，此时观测目标C的俯角是50°，则这座山的高度CD是　 　m.（参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.20） 14.如图，AB是☉O的直径，AB＝13，AC＝5，则tan∠ADC＝　　. 15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥CD，点E在AC上，连接DE，DE＝AC，DE∥BC，CD＝4，tan∠ABC＝2，则AB的长为　　. 三、解答题（共40分） 16.（8分）计算： （1）｜－2｜＋2sin 30°－（－）2＋（tan 45°）－1； （2）cos245°－＋tan245°－tan260°. 17.（10分）如图，已知AD是△ABC的高，cos B＝，sin C＝，AC＝10，求AD及AB的长. 18.（10分）火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾.火钳实物图如图1所示，示意图如图2所示.已知火钳打开到最大时，两钳臂OC，OD的夹角∠COD＝40°.若OC＝OD＝40 cm，求两钳臂端点C，D间的距离.（结果精确到1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75） 　 19.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是边BC上的一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D.已知AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长. 20.（12分）如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝. （1）求BC的长（结果保留根号）； （2）利用此图形求tan 15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）. 21.（12分）某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时如图1所示，四边形ABCD为矩形，AB长6 m，AD长2 m，点D距地面0.4 m.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行. （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4 m，求点P到MN的距离PF的长. （2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1 m，高3.2 m.当道闸打开至∠ADC＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由.（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33） 22.（14分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.侧面示意图如图所示，遮阳篷AB的长为5 m，与水平面的夹角为16°，且靠墙端距离地面的高度BC为4 m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29） 23.（14分）阅读材料，并解决下列问题： 如图1，在锐角三角形ABC中，∠BAC，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作 AD⊥BC于点D，则sin B＝，sin C＝，∴AD＝csin B，AD＝bsin C，∴csin B＝bsin C，∴＝.同理有＝，∴＝＝. 也就是说，在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等.在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素. （1）如图2，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝　 　，AC＝　 　； （2）如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°方向上，随后货轮以60海里/时的速度沿北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB. 　 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$