专题11 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型解读与提分精练（人教版）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题11. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·江苏八年级阶段练习）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为　　． 例2．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    例3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 例4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 例6．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长；(2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：；(3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 4．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 5．（2024·重庆·九年级期中）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 7．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值；（3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 8．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究：(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决：(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 9．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 10．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． (1)求点，，，的坐标．(2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 12．（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______． 学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．    13．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11. 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·江苏八年级阶段练习）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为　　． 解：设BM＝x，则BN＝6﹣x，∵MN2＝BM2+BN2， ∴MN2＝x2+（6﹣x）2＝2（x﹣3）2+18，∴当x＝3时，MN最小，此时Q点离AD最近， ∵BM＝BN＝3，∴Q点是AC和BD的交点，∴AQ＝DQ＝AD＝3， 过点Q作QM′⊥AD于点M′，在△ADQ内部过A、D分别作∠M′DP＝∠M′AP＝30°，则∠APD＝∠APQ＝∠DPQ＝120°，点P就是费马点，此时PA+PD+PQ最小， 在等腰Rt△AQD中，AQ＝DQ＝3，QM′⊥AD， ∴AM＝QM′＝AQ＝3，故cos30°＝，解得：PA＝2，则PM′＝， 故QP＝3﹣，同法可得PD＝2，则PA+PD+PQ＝2×+3﹣＝3+3， ∴点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为3+3，故答案为3+3． 例2．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，将逆时针旋转得到， ∴，，∴是等边三角形 ∴∴    ∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度， ∵菱形的边长为4∴ ∵，∴∴ ∴的最小值为．故答案为：． 例3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______． 【答案】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3， ∴MA+MD+ME的最小值为4+3． 例4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：；(2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析(2)正方形的边长为 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，．由旋转的性质可得， ．即，． （2）解：连接，由（1）知，，， ，，是等边三角形．．． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于， ．设正方形的边长为，则，． 在中，，． 解得，（舍去负值）．正方形的边长为． 例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形，∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上，同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 例6．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长；(2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：；(3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，，， ，，，； （2）证明：如图，在线段上取一点，使， 于点，，，，， ，，，， ，，， 四边形是平行四边形，，，， ，，，，，； （3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， 连接，则， 当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长度， 作交的延长线于点， ，， ，，，， ，， ，的最小值为． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于E点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：如图，作于E点，连接，∵菱形中，，    ∴，为等边三角形，，互相平分， ∴，，∴，∴， 根据垂线段最短，此时最短，当A，P，E三点共线时，即最小， ∵菱形的边长为8，为等边三角形，∴，∴， ∴，∴最小值为，故答案为：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握菱形的性质，垂线段最短是解题关键． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 【答案】B 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF， ∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=30°，AC=2AB=， ∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴AE==.故选B． 3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 4．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 【答案】 【详解】解：如图，以A为中心，逆时针旋转△APD至△AP´D´，则△PAP´为等边三角形，则PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，∴当点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD´长.作直线D´M⊥AB交BA延长线于M点， ∵AD´=AD=4，∠D´AM=30°，∴D´M=2，∴根据勾股定理得，AM=，∴BM=4+， ∴根据勾股定理得，BD´= == . ∴的最小值为.故答案为： 5．（2024·重庆·九年级期中）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______． 解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°， ∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC， 当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝， ∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形， ∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝ 所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，将以为中心，顺时针旋转，得到，连接，， 由旋转得，，，， 是等边三角形，，， 当，，，共线时，的值最小，即等于的值，， 过点作的垂线，交延长线于点，设， ，四边形是矩形，，， ，， ，，，， ，，解得， ，，，故答案为：． 7．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点、、距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【详解】（1）解：；理由如下：是等边三角形，， 四点在同一直线上，，， 由旋转得：，，； （2）解：如图，由【问题解决】同理将绕点逆时针旋转得到， 当四点在同一直线上时，最小， 此时，由旋转得：，， 是等边三角形，，，，， ，，， 在中，故最小值为； （3）解：如图，绕点逆时针旋转得到，过作交的延长线于， 当四点在同一直线上时，最小， 此时，由旋转得：，， ，设正方形的边长为，则有，， ，， 在中，，，解得：，（舍去）， ，故正方形的边长为． 8．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究：(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决：(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析 【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求． （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等边三角形，，， ，，，， ；故； （3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，，，，， 、是等边三角形，，， 根据两点间线段距离最短得：当时最短， 是等边三角形，以为一边作等边三角形， 最小值为的长，此时点在线段上，点为、的交点． 若点与点重合，即在对角线 上，则点为与的交点，此时点（E）与点重合， 显然不符合题意，故点不在对角线上， 即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小． 9．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 【答案】(1)(2 （1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60° ∴，∴ ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴ ∴△BEF为等边三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5 在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5 ∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5 法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴， ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在中 ， ∵是的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∵EF＝5，EF＝BE＝AB ∴∴AF＝5 在中， DF＝＝5∴的值为． （2）解：如图a 在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP． 以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD ∴BD＝BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB＝PD ∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小． 如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°， ∴△PCG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°． ∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD． 连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7， ∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝， ∴BP＝BD＝即当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 【点睛】本题考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋转，二次根式等知识点．解题的关键是灵活综合运用菱形的性质，旋转等知识． 10．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴, ∵，∴，∴，∵，∴； （2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接， 由（1）得，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 根据两点之间线段最短，当点在同一条直线上时，取最小值，最小值为． （3）以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，如图所示， 则，，，是等边三角形， ，，， 当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值， ，，，，，， ，． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． (1)求点，，，的坐标．(2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 【答案】(1)(2)存在，，理由见详解(3) 【详解】（1）解：，∴， ∴，∴，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴； （2）解：存在，点，理由如下，如图所示， 在中，，∴， ∵点在的正半轴上，∴当轴时，四边形是平行四边形，设与交于点， ∴，轴，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，，， ∴，，， ∵，即，∴是直角三角形，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长到，使得，连接，∴，∴， ∵点分别是的中点，∴，即，∴， ∵，，∴是等边三角形，， ∴，， ∴，∴， ∴，∴，在中，， 当点在线段上时，的值最小， ∵，∴，且，，， ∵，∴，∴，即点三点共线， 在中，，，∴的最小值为，故答案为：． 12．（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______． 学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．    【答案】； 【分析】问题解决：将绕点逆时针旋转至，连接、，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可得出答案；学以致用：将绕点逆时针旋转，得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值． 【详解】解：问题解决：将绕点逆时针旋转至，连接、，          ，，， 为腰长为，顶角为的等腰三角形，如下图，在中，过点作，垂足为， ，， ，， ，，是等边三角形，， ， 当、、、共线时，有最小值，最小值为，故答案为：； 学以致用：如图，将绕点逆时针旋转，得到， ，，，为等边三角形，为等边三角形，， 作于点，交于点，，，， ，当点、、、四点共线且垂直时，有最小值为， ，，的最小值为． 13．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在内部，且满足时花费最少，最少费用为元 【详解】解：任务一：如图，由旋转得：，∴是等边三角形，∴， ∵，∴；    任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小， 研发区E建在内的区域比较合适，故选：A； （3）如图， 把绕点B逆时针旋转60度得到，则 ， 连接，为等边三角形，， 绕点B逆时针旋转60度得到，， ，， 当且仅当在上时，的值为最小，为， 此时，点E在内部，且满足， 过点作，交延长线于点H， 在中，，，， 在中，， 最小值为，此时费用为元．    9 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$