专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）解读与提分精练（人教版）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 1 8 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2024·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 【答案】4+2 【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形， 又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE， ∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'， 由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'， 所以EF＝EF'． 在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）． ∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'． 观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴， 在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2， ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2． 例2．（2024九年级·山东·培优）如图，为等边三角形，点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作于点E，过点Q作于点M，延长，取，连接，过点C作于点F，如图所示：则， ∵线段绕点顺时针旋转得到，∴，， ∴，∴，∴，∴，， ∵，∴，∴，即，∴， ∵，∴，∴点Q在过点D，且与的夹角为直线上， ∵垂线段最短，∴当点Q在点F处时，最小，且最小值为的长， ∵为等边三角形，，∴， ∴，∴， ∵，，∴为等腰直角三角形， ∴，∴最小值为．故答案为：． 例3．（2024·湖南邵阳·一模）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H， 四边形是矩形，点是的中点，点在对角线，的交点，， ，，点的运动轨迹是直线，当时，的值最小， ，，，，， ，，， ，，， ，，，， 的最小值为．故答案为：． 例4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，边长的等边中，点为上一点，且，点为边上的一个动点，点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 是等边三角形，，， ，是等边三角形，，，， 点绕点顺时针旋转得到点，，，， 在和中，，， ，，， 点在过点平行于的直线上运动，当时，有最小值， 此时，，，，，故答案为：． 例5．（2024·山东泰安·校考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故选B． 例6．（2024·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________． 【答案】3 【详解】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°． ∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF 由旋转可得：EC=FC， 在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． ∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3， 当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3． 1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点．连接，，，作交的延长线于， ，，，点是的中点，，， ，是等边三角形，，， ，，，， ，，点的运动轨迹是射线， ，，，， ，在中，，，，，， 在中，，，的最小值为，故选：C． 2．（2024·河南开封·统考一模）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点E，以为边作正方形，点H是上一点，．连接，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：连接CG． ∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形， ∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG， 根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．此时CH＝ ∴故答案为：． 3．（23-24九年级·重庆北碚·自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ． 【答案】． 【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK． ∵BE＝BF，BK＝BA，又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE， ∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°， ∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°， ∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°， 设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2， ∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝， ∴AF的最小值为．故答案为． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1） ；（2）若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）连接， ∵菱形，∴，∵，∴为等边三角形，∴， ∵E是中点，∴平分，∴；故答案为：； （2）取的中点，的中点，连接， 则：，，∴三点共线，∴点在线段上运动，∴当时，最小， ∵菱形，∴，，，由（1）知：为等边三角形， ∵E是中点，∴，∴，， ∴，∴，同法可得：，， ∴四边形为矩形，∴，∴，∴；故答案为：． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，作，过点G作于H，延长，交于点N，过点A作，    ∵点E绕点F逆时针旋转至点G，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点G在平行于且与的距离为1的直线上运动，∴当点G在上时，有最小值， ∵，∴， ∴，，∴，， ∴的最小值，故答案为：． 6．（2024·广东清远·统考一模）如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为________． 【答案】4 【详解】解：∵动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动， ∴AE=CF∴EF不论如何运动，EF的中点始终在矩形的对角线的交点上， ∴当EF⊥BC时，即，E、F分别是AD、BC的中点时，CP取得最小值，此时P与F重合， ∴CP= 故答案为：4 7．（2024·湖北·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__． 【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于． ，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，在和中，，， ，，点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，，，，，∴GT//AB ∵BG//AT四边形是平行四边形，，， ∴ ； ；在中， ∴ ，的最小值为，故答案为：． 8. （2024·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 【解答】6 【解析】连接AM、CM，如图所示：∵△ACD为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60º， ∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM， 在△ADM与△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM， ∵∠DAC＝60º，∴∠ACM＝30º，即直线AM的位置是固定的，∴点D在直线BD上运动 ∴当BM⊥AM时，MB有最小值，此时. 9．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，∴，∴， ∴点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵，∴，∴，故答案为：． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 【答案】75 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，设交于G点，如下图所示：在矩形中，，，根据折叠可知，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴点在上， ∵垂线段最短，∴当时，有最小值，∴与均为、、直角三角形， 设，，则，，， ∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 故答案为：． 11．（2024·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：连接，作于，如图，    四边形为菱形，，而， 和都是等边三角形，，， 在中，，，，在和中，， ，，， 为等边三角形，，而当点运动到点时，的值最小，其最小值为， 的最小值为，故答案为：． 12．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示：∵为等边三角形，∴，， ∵四边形为正方形，∴，∵，∴， ∴，∴点O一定在射线上， ∵垂线段最短，∴点O在点M处时，线段取最小值， ∵，，∴，∴线段取最小值为5．故答案为：5． 13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接．当时， ；当从运动至过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】当时，∵，，∴是等腰直角三角形，则∴ 又∵∴∵∴， ∵，∴∴在中，； 将绕点顺时针旋转，使与重合，∴，           ∴，，点在垂直于所在直线上，过作于点， ∴当与重合时，最小，如图，过作于点， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，∴，在中，由勾股定理得：， ∴由题意得：，∴，∴， 则的最小值为，故答案为：，． 14．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值；作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形， 则CM＝MP+CP＝HEEC＝1故答案为． 15．（2023上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，问是否有最小值？如果有，求出的最小值． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J． ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为． 16．（2024·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：．（）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2）． 【详解】（1）（i）证明： ∵，，∴， ∵是边长为5等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∵， ∴，∴，∴； ②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，       ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接， 则，，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，，由（）得，∴， ∵，且，∴点在线段上运动，∵当点与点重合时，则点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，∴点运动的路径长为． （2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K， ∵作顶角的等腰，∴，，∴， ∵， ∴，∵四边形是长方形，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动， ∴当时，线段最短，∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴的最小值是． 7 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 1 8 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2024·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 例2．（2024九年级·山东·培优）如图，为等边三角形，点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 例3．（2024·湖南邵阳·一模）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ． 例4．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，边长的等边中，点为上一点，且，点为边上的一个动点，点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值为 ． 例5．（2024·山东泰安·校考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 例6．（2024·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________． 1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）. A．4 B． C． D． 2．（2024·河南开封·统考一模）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点E，以为边作正方形，点H是上一点，．连接，则的最小值是________． 3．（23-24九年级·重庆北碚·自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1） ；（2）若，则的最小值为 ． 5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    6．（2024·广东清远·统考一模）如图，矩形中，，，动点、分别从点、同时出发，以相同的速度分别沿、向终点、移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，则长的最小值为________． 7．（2024·湖北·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__． 8. （2024·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 9．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 10．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 11．（2024·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为 ．    12．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ． 13．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接．当时， ；当从运动至过程中，的最小值为 ． 14．（2024·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______． 15．（2023上·内蒙古赤峰·九年级统考期中）如图，长方形中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，问是否有最小值？如果有，求出的最小值． 16．（2024·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：．（）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$