专题12 几何最值模型之逆等线模型解读与提分精练（人教版）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题12 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 5 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 8 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 10 14 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．    例3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 . 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用勾股或相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 例3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 2．（2024·河南周口·统考一模）如图，在矩形中，E是的中点，点F在边上，点P在矩形内部，，，连接．若，则的最小值等于（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为 ． 6．（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是 ． 8．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图，，平分，平分，交于点，，分别是线段，上的动点，且，若，，则的最小值为 ． 9．（2024·天津·校考二模）如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 11．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，且，点在边上，连接，，若，则的最小值是 ． 12．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知直线分别交轴、轴于点，两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为 ． 13．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点E． (1)如图①，当点E在边CD上时，求证：；(2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若，求PF的长；(3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1），为的边上的一点，，过点作，且，连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图（2），在中，，平分，点在上，且，若点分别到，的距离之比为，求证：； 【拓展创新】（3）如图（3），在中，，，，，分别是，上的点，且，直接写出的最小值． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 16．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）在中，，，，E是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，求的面积；(2)如图2，若，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明； (3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度． 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 几何最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 1 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 5 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 8 模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 10 14 模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 注意：题中的角度，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。 例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，， ，，， 当时，即时，最短，则有最小值， 此时，，， 的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．    【答案】 【详解】解：由题意可得如图所示：       过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE， ∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD， ∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值， ∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴， ∵，∴，∵， ∴（AAS），∴，， ∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴， ∴，∴在Rt△MNC中，， ∴，∴CD+BE的最小值为；故答案为． 例3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于，连接． ，，，，，， ，的最小值为的长，∵，∴， ∵，∴，， 在中，，，，， ∴， 在中，．故答案为：． 模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 . 【答案】 【详解】过点C作CG⊥DC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示： ∵为等边三角形，∴，， ∵CD平分，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，，， 当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小， 的值最小为：．故答案为：． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 【答案】 【详解】解：在下方作，使，连接． 则，．∴， 即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，，，，，， ，，，， ，，，， 当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，． 的最小值是的长，，，， ，，，的最小值是．故答案为：． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，，，， ，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用勾股或相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，， 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，， ∴，，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点，∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，，∴， ∴，∴， 在中，，∴的最小值是，故答案为：． 例3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：连接AC，作点A关于BC的对称点H，连接AH，交BC于N，连接FH，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，，∴， ∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∵点A，点H关于BC对称，∴AH⊥BC，AN＝NH，∴FH＝AF， 又∵△ABC是等边三角形，∴BN＝NC＝，， ∴AH＝2AN＝， ∵AE＝CF，AB=BC，∴BE＝BF，∵在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴AF＝CE，∴DF＋CE＝DF＋AF＝DF＋FH， ∴当点F，点D，点H三点共线时，DF＋CE的最小值为DH的长， ∵AH⊥BC，∴，∵，∴， ∴，即的最小值为4．故答案为：4． 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，则的最小值是（    ）    A．4 B．10 C．6 D．20 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，      四边形是矩形，，，，， ，，， ，，又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，， 移项得，解得，或 ，则不符合题意，，，故选B． 2．（2024·河南周口·统考一模）如图，在矩形中，E是的中点，点F在边上，点P在矩形内部，，，连接．若，则的最小值等于（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：取的中点H，在上截取点G，使，连接， ∵在矩形中，，∴，， ∵，∴，∵，∴， ，∴， ∵，且，∴， ∴，∴，∵，且，∴， ∴点P在线段上，即点P在的角平分线上， ∵，，，∴，∴， ∴当A、P、C在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 由勾股定理得，故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形中，，E，F分别是，上的动点，，连，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为2，∴．， ∴．∴．∴． 在和中，，∴． ∴．∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）在中，，，，，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，，则最小值为 ；的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接， 在中，，∴，∴， ∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长， ∵，，，∴ ∵，∴， 在中，，∴， ∴，如图所示，延长至使得，连接，则， ， ∴，故答案为：，． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：要求的最小值及使最小，时，最短， 在是边长为的等腰直角三角形中，， 根据等面积法：，解得 的最小值为．故答案为：． 6．（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知中，，，，，，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，，， ∵是的外角，∴， 由旋转可知：，，， 在和中，，， ，则当时，最小，即最小，，，，， 点到的距离为，的最小值为，故答案为：． 7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，如图所示： ，，，， 又，，垂直平分，，， 又，，，， ，，，，，， ，，，，， ，，，， 当最小时，最小，当、、三点共线时，最小，且最小值为， 的最小值为：，故答案为：． 8．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图，，平分，平分，交于点，，分别是线段，上的动点，且，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， 平分，平分，，， ， ， ，，，， 在和中，，，，， 又，四边形是平行四边形，，四边形是菱形， 如图，在上取点，使，连接，作点关于的对称点，连接，，，与交于点，过点作于点，作于点，， ，，，，，，当、、三点在同一直线上时，取最小值为， 如图，取点为中点，连接，则， ，为中点，，， ，，又， ， 为等边三角形，，，， 四边形是平行四边形，， ，，， ，，， ，， 点是点关于的对称点，，，， 又，，， ，，，，四边形是矩形， ，，，， ，，， ，， ， 的最小值为，故答案为：． 9．（2024·天津·校考二模）如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 【答案】 【详解】解：连接， ∵且四边形为正方形，∴，即，， 在和中，∴，∴；∴， 以为对称轴，作点关于的对应点连接，与交点即为点， ∵点和点关于对称，∴，， 由勾股定理可得：，∴的最小值为，故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，且，连接， 由题意，得：，∵正方形，∴，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在中，，∴的最小值为；故答案为：． 11．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，且，点在边上，连接，，若，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接， 由轴对称的性质可得：，，， ∵矩形，∴，，∵，∴， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∴当，，三点共线时，，此时最小， 过作于，则四边形为矩形，∴，， ∴，∴，故答案为： 12．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知直线分别交轴、轴于点，两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先求得， 取点，连接，证明，即可推导，即有，因为，即当共线时，的值最小；利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案． 【详解】解：对于直线：， 当时，可有，当时，可有，解得，∴，， 又∵，∴，如下图，取点，连接， ∵，∴，∴，∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴的最小值为线段的长，即当共线时，的值最小， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为．故答案为：． 13．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点E． (1)如图①，当点E在边CD上时，求证：；(2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若，求PF的长；(3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：方法一：证明：如下图中，连接PD， ∵四边形ABCD是正方形，∴，． 在△PCB和△PCD中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．∴，∴． 方法二：过点P做AD的平行线，构造一线三等角的方法证明全等也可以． （2）解：如下图中，过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J， ∵，，，∴， ∵△BPE是等腰直角三角形，PL⊥BE，∴，∴， ∵FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC，∴，∵， ∴，∴，∴． （3）解：过点C作CR⊥AC，使CR=AB=3，连接QR，BR，过点R作RT⊥BC，交BC延长线于T，如图③所示；∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=∠ACD=∠BAP=45°， ∵CR⊥AC，∴∠RCQ=90°－45°=45°，∠RCT=180°－90°－45°=45°， ∴△CTR是等腰直角三角形，∠BAP=∠RCQ，∴，∴， 在△BAP和△RCQ中，，∴△BAP≌△RCQ（SAS），∴BP=QR， ∴B、Q、R三点共线时，QR+BQ最短，即BP+BQ最短，此时，t=BR， 在Rt△BTR中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 14．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1），为的边上的一点，，过点作，且，连接，求证：； 【变式迁移】（2）如图（2），在中，，平分，点在上，且，若点分别到，的距离之比为，求证：； 【拓展创新】（3）如图（3），在中，，，，，分别是，上的点，且，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠B， 在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（SAS）； （2）如图，过点C作CG∥AB交BD的延长线于G，过点C作CF⊥BG交于K，CH⊥AB于H，连接， ∴∠CGB=∠GBA∵平分，∴∠CBG=∠GBA，∴∠CBG=∠CGB，∴CG=CB， 由（1）可得△CDG≌△AEC（SAS），，， 是的角平分线，，即， ，，是的垂直平分线，， ，四边形是菱形， ∵点分别到，的距离之比为，∴CH=，， 即，即，，即， （3）如图，过点作，且由（1）可得 ，当三点共线时取得最小值， 如图，过点作交的延长线于点，过点作，则四边形是矩形， ，，，四边形是正方形， 即的最小值． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点，和直线，如何在直线上确定一点，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在上任取一点，作点关于的对称点，与直线相交于点．连接，易知______，从而有．这样，在中，根据“_______”可知与的交点即为所求． 解决问题（2）如图②，在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究（3）如图③，在中，，，，点，分别为，上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【详解】解：（1）由对称可知：，在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求，故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； 则四边形为平行四边形，∴，， ∵，∴，∵，∴，， ∴，∴的最小值为； （3）作，使得，作，连接，如图所示： ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴的最小值． 16．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）在中，，，，E是线段上一动点，连接． (1)如图1，若，求的面积；(2)如图2，若，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明； (3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度． 【答案】(1)(2)见解析(3)6 【详解】（1）如图，作于点，       在中，，， 在中， ，，， ． （2）证明: 如图，取的中点连接 ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，，在的垂直平分线上， ∵，∴， ∴是的中点， ∴，∴，∴点在的垂直平分线上，和点重合，∴； （3）如图，在的下方作， 截取， 连接，，交于点，作关于对称 连接∴，    ∵，∴，∴，∴， ∴当共线时，最小，此时点在处，点在连接， ∵，∴，又∵，，∴， ∴，∴四边形是等腰梯形，∴ ∴，， ， ∴，作于，∴ ，，即: 13 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$